Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Стереометрия» — с ответами

Объём треугольной пирамиды

В треугольной пирамиде $ABCD$ рёбра $AB$, $AC$ и $AD$ взаимно перпендикулярны. Найдите объём этой пирамиды, если $AB = 5$, $AC = 14$ и $AD = 3$.

1. 1
   Выберем треугольник $ABC$ в качестве основания. Так как $AB \perp AC$, его площадь равна:$$S_{ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 14 = 35$$
2. 2
   Ребро $AD$ перпендикулярно рёбрам $AB$ и $AC$, поэтому оно является высотой пирамиды.$$h = AD = 3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высота четырёхугольной пирамиды

Основанием четырёхугольной пирамиды является прямоугольник со сторонами 12 и 5. Найдите высоту этой пирамиды, если её объём равен 60.

1. 1
   Найдём площадь прямоугольного основания:$$S_{\text{осн}} = 12 \cdot 5 = 60$$
2. 2
   Используем формулу объёма пирамиды и выразим высоту:$$V = \dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} h$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь боковой поверхности пирамиды

Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 8, а боковые рёбра равны 5. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

1. 1
   Каждая боковая грань является равнобедренным треугольником со сторонами 5, 5 и 8. Высота этой грани делит основание пополам.$$h = \sqrt{5^2 - \left(\frac{8}{2}\right)^2} = \sqrt{25 - 16} = 3$$
2. 2
   Найдём площадь одной боковой грани.$$S_1 = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3 = 12$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь поверхности шара

Даны два шара с радиусами 6 и 2. Во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности меньшего?

1. 1
   Площадь поверхности шара пропорциональна квадрату радиуса.$$S = 4\pi r^2$$
2. 2
   Составим отношение площади большего шара к площади меньшего:$$\dfrac{S_{\text{б}}}{S_{\text{м}}} = \dfrac{4\pi\cdot 6^2}{4\pi\cdot 2^2} = \left(\dfrac{6}{2}\right)^2 = 9$$

Площадь боковой поверхности пирамиды

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 22, боковое ребро равно 61. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

1. 1
   Боковая поверхность правильной шестиугольной пирамиды состоит из шести равных равнобедренных треугольников с боковыми сторонами 61 и основанием 22.$$n = 6$$
2. 2
   Высота бокового треугольника делит его основание пополам. По теореме Пифагора найдём эту высоту:$$h = \sqrt{61^2 - 11^2} = \sqrt{3721 - 121} = \sqrt{3600} = 60$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Объём прямоугольного параллелепипеда

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ рёбра $CD$, $CB$ и диагональ $CD_1$ боковой грани равны соответственно $2$, $4$ и $2\sqrt{10}$. Найдите объём параллелепипеда.

1. 1
   Рассмотрим прямоугольную грань $CDD_1C_1$. По теореме Пифагора найдём третье ребро параллелепипеда:$$DD_1 = \sqrt{CD_1^2 - CD^2} = \sqrt{(2\sqrt{10})^2 - 2^2} = \sqrt{40 - 4} = 6$$
2. 2
   Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений:$$V = CD \cdot CB \cdot DD_1 = 2 \cdot 4 \cdot 6 = 48$$

Объём отсечённого конуса

Объём конуса равен 27. Через точку, делящую высоту конуса в отношении $1:2$, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса…

1. 1
   Точка делит высоту конуса в отношении $1:2$, считая от вершины, поэтому высота отсечённого конуса составляет одну треть высоты исходного конуса.$$\frac{h}{H}=\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}$$
2. 2
   Отсечённый конус подобен исходному с коэффициентом подобия $\frac{1}{3}$. Объёмы подобных тел относятся как кубы коэффициента подобия.$$\frac{V_1}{V}=\left(\frac{1}{3}\right)^3=\frac{1}{27}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Радиус основания конуса

Объём конуса равен $48\pi$, а его высота равна $9$. Найдите радиус основания конуса.

1. 1
   Запишем формулу объёма конуса.$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$$
2. 2
   Подставим известные значения объёма и высоты.$$48\pi = \dfrac{1}{3}\pi r^2 \cdot 9 = 3\pi r^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь поверхности параллелепипеда

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $S = 2(ab + ac + bc)$. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами 3, 4 и…

1. 1
   Подставим значения рёбер в формулу площади поверхности:$$S = 2(3 \cdot 4 + 3 \cdot 10 + 4 \cdot 10)$$
2. 2
   Вычислим сумму произведений:$$S = 2(12 + 30 + 40) = 2 \cdot 82 = 164$$

Объём прямой призмы

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 2, а гипотенуза равна $2\sqrt{5}$. Найдите объём призмы, если её высота равна 3.

1. 1
   По теореме Пифагора найдём второй катет прямоугольного треугольника:$$b=\sqrt{(2\sqrt{5})^2-2^2}=\sqrt{20-4}=4$$
2. 2
   Вычислим площадь основания призмы:$$S_{\text{осн}}=\frac{1}{2}\cdot2\cdot4=4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём треугольной пирамиды

В основании пирамиды $SABC$ лежит правильный треугольник $ABC$ со стороной $2$, а боковое ребро $SA$ перпендикулярно основанию и равно $\sqrt{3}$. Найдите объём пирамиды $SABC$.

1. 1
   Высота пирамиды равна боковому ребру $SA$, так как $SA$ перпендикулярно плоскости основания:$$h=SA=\sqrt{3}$$
2. 2
   Площадь основания — площадь правильного треугольника со стороной $2$:$$S_{\text{осн}}=\frac{2^2\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Отношение объёмов конусов

Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно 6 и 4, а второго — 3 и 4. Во сколько раз объём первого конуса больше объёма второго?

1. 1
   Объём конуса вычисляется по формуле:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
2. 2
   Составим отношение объёмов двух конусов. Высоты и общий множитель сокращаются:$$\dfrac{V_1}{V_2} = \dfrac{\frac{1}{3}\pi\cdot 6^2\cdot 4}{\frac{1}{3}\pi\cdot 3^2\cdot 4} = \dfrac{36}{9} = 4$$

Площадь поверхности шара

Даны два шара с радиусами 8 и 1. Во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности меньшего?

1. 1
   Площадь поверхности шара вычисляется по формуле:$$S = 4\pi r^2$$
2. 2
   Отношение площадей равно квадрату отношения радиусов:$$\dfrac{S_\text{больш}}{S_\text{меньш}} = \left(\dfrac{8}{1}\right)^2 = 64$$

Объём прямоугольного параллелепипеда

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ рёбра $AB$, $AD$ и диагональ $AB_1$ боковой грани равны соответственно $6$, $4$ и $3\sqrt{5}$. Найдите объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

1. 1
   По теореме Пифагора найдём третье ребро параллелепипеда:$$AA_1 = \sqrt{AB_1^2 - AB^2} = \sqrt{(3\sqrt{5})^2 - 6^2} = \sqrt{45 - 36} = 3$$
2. 2
   Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений:$$V = AB \cdot AD \cdot AA_1 = 6 \cdot 4 \cdot 3 = 72$$

Радиус основания конуса

Объём конуса равен $25\pi$, а его высота равна $3$. Найдите радиус основания конуса.

1. 1
   Запишем формулу объёма конуса.$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$$
2. 2
   Подставим известные значения объёма и высоты.$$25\pi = \dfrac{1}{3}\pi r^2 \cdot 3 = \pi r^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь боковой поверхности цилиндра

Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 9 и 8, а второго — 12 и 3. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого цилиндра больше площади боковой…

1. 1
   Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту.$$S_{\text{бок}} = 2\pi rh$$
2. 2
   Найдём отношение площадей боковых поверхностей двух цилиндров.$$\dfrac{S_1}{S_2} = \dfrac{2\pi \cdot 9 \cdot 8}{2\pi \cdot 12 \cdot 3}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём правильной призмы

Сторона основания правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равна $4$, а высота этой призмы равна $3\sqrt{3}$. Найдите объём призмы $ABCA_1B_1C_1$.

1. 1
   Площадь основания — площадь равностороннего треугольника со стороной $4$.$$S_{\text{осн}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{4^2\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}$$
2. 2
   Объём призмы равен произведению площади основания на высоту.$$V=S_{\text{осн}}h=4\sqrt{3}\cdot 3\sqrt{3}=36$$

Площадь боковой поверхности конусов

Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 8 и 9, а второго — 2 и 8. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого конуса больше площади боковой…

1. 1
   Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:$$S_{\text{бок}} = \pi r l$$
2. 2
   Найдём отношение площади боковой поверхности первого конуса к площади боковой поверхности второго:$$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\pi \cdot 8 \cdot 9}{\pi \cdot 2 \cdot 8}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высота конуса по объёму

Объём конуса равен $16\pi$, а радиус его основания равен $2$. Найдите длину высоты этого конуса.

1. 1
   Объём конуса вычисляется по формуле:$$V=\dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
2. 2
   Подставим известные значения объёма и радиуса:$$16\pi=\dfrac{1}{3}\pi\cdot 2^2\cdot h$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь поверхности параллелепипеда

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами 3, 4 и 9.

1. 1
   Подставим значения рёбер в формулу площади поверхности:$$S = 2(3 \cdot 4 + 3 \cdot 9 + 4 \cdot 9)$$
2. 2
   Вычислим значение выражения:$$S = 2(12 + 27 + 36) = 2 \cdot 75 = 150$$