ФИПИ тапсырмаларының шешімдері ЕГЭ по базалық математикаға: «Стереометрия» — жауаптарымен

Отношение объёмов шаров

Даны два шара с радиусами 7 и 1. Во сколько раз объём большего шара больше объёма меньшего?

1. 1
   Объём шара пропорционален кубу его радиуса.$$V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$$
2. 2
   Найдём отношение объёма большего шара к объёму меньшего:$$\dfrac{V_{б}}{V_{м}} = \left(\dfrac{7}{1}\right)^3 = 343$$

Площадь боковой поверхности конуса

Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 3 и 6, а второго — 4 и 9. Во сколько раз площадь боковой поверхности второго конуса больше площади боковой…

1. 1
   Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:$$S_{\text{бок}} = \pi r l$$
2. 2
   Составим отношение площади второго конуса к площади первого:$$\dfrac{S_2}{S_1} = \dfrac{\pi \cdot 4 \cdot 9}{\pi \cdot 3 \cdot 6}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Площадь боковой поверхности цилиндра

Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 4 и 18, а второго — 2 и 3. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого цилиндра больше площади боковой…

1. 1
   Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле:$$S_{\text{бок}} = 2\pi rh$$
2. 2
   Найдём отношение площади боковой поверхности первого цилиндра к площади боковой поверхности второго:$$\frac{S_1}{S_2} = \frac{2\pi r_1h_1}{2\pi r_2h_2} = \frac{4\cdot18}{2\cdot3} = 12$$

Объём правильной пирамиды

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6, а высота пирамиды равна $5\sqrt{3}$. Найдите объём этой пирамиды.

1. 1
   Площадь основания — площадь равностороннего треугольника со стороной 6:$$S_{\text{осн}} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$$
2. 2
   Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту:$$V = \frac{1}{3}S_{\text{осн}}h = \frac{1}{3}\cdot 9\sqrt{3}\cdot 5\sqrt{3} = 45$$

Объём правильной призмы

Сторона основания правильной треугольной призмы $ABC A_1B_1C_1$ равна $6$, а высота этой призмы равна $\sqrt{3}$. Найдите объём призмы $ABC A_1B_1C_1$.

1. 1
   Основание призмы — равносторонний треугольник со стороной $6$. Его площадь равна$$S_{осн} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$$
2. 2
   Объём призмы равен произведению площади основания на высоту:$$V = S_{осн}h = 9\sqrt{3}\cdot\sqrt{3} = 27$$

Площадь боковой поверхности пирамиды

Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 16, а боковые рёбра равны 17. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

1. 1
   Боковая поверхность состоит из трёх одинаковых равнобедренных треугольников с боковыми сторонами 17 и основанием 16.
2. 2
   Высота каждого бокового треугольника делит его основание пополам. По теореме Пифагора найдём высоту:$$h=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{289-64}=15$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Объём треугольной пирамиды

В треугольной пирамиде $ABCD$ рёбра $AB$, $AC$ и $AD$ взаимно перпендикулярны. Найдите объём этой пирамиды, если $AB = 6$, $AC = 18$ и $AD = 8$.

1. 1
   Так как рёбра $AB$, $AC$ и $AD$ взаимно перпендикулярны, объём пирамиды равен одной шестой произведения длин этих рёбер.$$V = \dfrac{1}{6} \cdot AB \cdot AC \cdot AD$$
2. 2
   Подставим данные из условия.$$V = \dfrac{1}{6} \cdot 6 \cdot 18 \cdot 8 = 144$$

Радиус основания конуса

Объём конуса равен $25\pi$, а его высота равна $3$. Найдите радиус основания конуса.

1. 1
   Запишем формулу объёма конуса:$$V=\dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
2. 2
   Подставим известные значения объёма и высоты:$$25\pi=\dfrac{1}{3}\pi r^2\cdot3=\pi r^2$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Объём прямоугольного параллелепипеда

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ рёбра $DA$, $DC$ и диагональ $DA_1$ боковой грани равны соответственно $6$, $5$ и $2\sqrt{10}$. Найдите объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

1. 1
   Рассмотрим прямоугольную боковую грань $DAA_1D_1$. По теореме Пифагора найдём ребро $AA_1$:$$AA_1^2 = DA_1^2 - DA^2 = (2\sqrt{10})^2 - 6^2 = 40 - 36 = 4$$
2. 2
   Следовательно, $AA_1 = 2$.

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Объём прямоугольного параллелепипеда

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ рёбра $DA$, $DC$ и диагональ $DA_1$ боковой грани равны соответственно $2$, $5$ и $\sqrt{29}$. Найдите объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

1. 1
   В прямоугольном треугольнике $DAA_1$ диагональ боковой грани $DA_1$ является гипотенузой.$$DD_1=\sqrt{DA_1^2-DA^2}=\sqrt{29-2^2}=\sqrt{25}=5$$
2. 2
   Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений.$$V=DA\cdot DC\cdot DD_1=2\cdot5\cdot5=50$$

Радиус основания конуса

Объём конуса равен $162\pi$, а его высота равна $6$. Найдите радиус основания конуса.

1. 1
   Объём конуса вычисляется по формуле:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
2. 2
   Подставим известные значения объёма и высоты:$$162\pi = \dfrac{1}{3}\pi r^2 \cdot 6 = 2\pi r^2$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Радиус основания конуса

Объём конуса равен $98\pi$, а его высота равна $6$. Найдите радиус основания конуса.

1. 1
   Объём конуса вычисляется по формуле:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
2. 2
   Подставим известные значения объёма и высоты:$$98\pi = \dfrac{1}{3}\pi r^2 \cdot 6 = 2\pi r^2$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Высота четырёхугольной пирамиды

Основанием четырёхугольной пирамиды является прямоугольник со сторонами 10 и 3. Найдите высоту этой пирамиды, если её объём равен 40.

1. 1
   Найдём площадь основания пирамиды — прямоугольника со сторонами 10 и 3:$$S_{\text{осн}} = 10 \cdot 3 = 30$$
2. 2
   Объём пирамиды выражается формулой:$$V = \dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} h$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Площадь боковой поверхности конусов

Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 4 и 6, а второго — 2 и 8. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого конуса больше площади боковой…

1. 1
   Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:$$S_{\text{бок}} = \pi r l$$
2. 2
   Составим отношение площадей первого и второго конусов:$$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\pi \cdot 4 \cdot 6}{\pi \cdot 2 \cdot 8}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Объём треугольной пирамиды

В треугольной пирамиде $ABCD$ рёбра $AB$, $AC$ и $AD$ взаимно перпендикулярны. Найдите объём этой пирамиды, если $AB = 8$, $AC = 12$ и $AD = 5$.

1. 1
   Так как рёбра $AB$, $AC$ и $AD$ взаимно перпендикулярны, объём треугольной пирамиды равен одной шестой произведения их длин.$$V = \dfrac{1}{6} \cdot AB \cdot AC \cdot AD$$
2. 2
   Подставим известные значения.$$V = \dfrac{1}{6} \cdot 8 \cdot 12 \cdot 5 = 80$$

Площадь боковой поверхности пирамиды

Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 20, а боковые рёбра равны 26. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

1. 1
   Боковая поверхность состоит из трёх равных боковых граней. Каждая грань является равнобедренным треугольником с боковыми сторонами 26 и основанием 20.
2. 2
   Высота боковой грани делит её основание пополам. По теореме Пифагора:$$h=\sqrt{26^2-10^2}=\sqrt{676-100}=24$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Объём прямой призмы

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 4, а гипотенуза равна $\sqrt{41}$. Найдите объём призмы, если её высота равна 6.

1. 1
   По теореме Пифагора найдём второй катет прямоугольного треугольника:$$b=\sqrt{(\sqrt{41})^2-4^2}=\sqrt{41-16}=5$$
2. 2
   Площадь основания призмы равна:$$S_{\text{осн}}=\frac{1}{2}\cdot4\cdot5=10$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Объём отсечённого конуса

Объём конуса равен 375. Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1:4, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса…

1. 1
   Плоскость, параллельная основанию конуса, отсекает конус, подобный исходному.
2. 2
   Поскольку точка делит высоту в отношении $1:4$, высота отсечённого конуса составляет $\dfrac{1}{1+4}=\dfrac{1}{5}$ высоты исходного конуса.$$k=\frac{1}{5}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Объём двух конусов

Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно 9 и 4, а второго — 6 и 6. Во сколько раз объём первого конуса больше объёма второго?

1. 1
   Объём конуса вычисляется по формуле:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
2. 2
   Составим отношение объёма первого конуса к объёму второго. Общие множители сокращаются:$$\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{\frac{1}{3}\pi\cdot9^2\cdot4}{\frac{1}{3}\pi\cdot6^2\cdot6}=\dfrac{81\cdot4}{36\cdot6}=\dfrac{324}{216}=1{,}5$$

Объём отсечённого конуса

Объём конуса равен $1125$. Через точку, делящую высоту конуса в отношении $1:4$, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса…

1. 1
   Точка делит высоту в отношении $1:4$ от вершины, поэтому высота отсечённого конуса составляет $\frac{1}{1+4}=\frac{1}{5}$ высоты исходного конуса.$$k=\frac{1}{5}$$
2. 2
   Отсечённый конус подобен исходному, поэтому его объём относится к объёму исходного как куб коэффициента подобия.$$\frac{V_{\text{мал}}}{1125}=\left(\frac{1}{5}\right)^3$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде