ФИПИ тапсырмаларының шешімдері ЕГЭ по базалық математикаға: «Дәрежелер, түбірлер, логарифмдер» — жауаптарымен

Произведение квадратных корней

Найдите значение выражения $\sqrt{18}\cdot\sqrt{4{,}5}$.

1. 1
   Объединим произведение квадратных корней в один корень.$$\sqrt{18}\cdot\sqrt{4{,}5}=\sqrt{18\cdot4{,}5}$$
2. 2
   Вычислим подкоренное выражение и найдём квадратный корень.$$\sqrt{18\cdot4{,}5}=\sqrt{81}=9$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{3^{-5} \cdot 3^4}{3^{-6}}$.

1. 1
   Применим правило умножения степеней с одинаковым основанием:$$3^{-5} \cdot 3^4 = 3^{-5+4} = 3^{-1}$$
2. 2
   При делении степеней с одинаковым основанием вычитаем показатели:$$\dfrac{3^{-1}}{3^{-6}} = 3^{-1-(-6)} = 3^5$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Сумма логарифмов

Найдите значение выражения $\log_{6}18 + \log_{6}72$.

1. 1
   Применим свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием:$$\log_{6}18 + \log_{6}72 = \log_{6}(18 \cdot 72)$$
2. 2
   Вычислим произведение под логарифмом:$$18 \cdot 72 = 1296 = 6^4$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\dfrac{\sqrt{27}\cdot\sqrt{8}}{\sqrt{6}}$.

1. 1
   Объединим произведение корней и частное под одним корнем.$$\dfrac{\sqrt{27}\cdot\sqrt{8}}{\sqrt{6}}=\sqrt{\dfrac{27\cdot8}{6}}$$
2. 2
   Вычислим подкоренное выражение и извлечём квадратный корень.$$\sqrt{\dfrac{27\cdot8}{6}}=\sqrt{36}=6$$

Значение числового выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{3}{25} : 0{,}6 + \dfrac{1}{10}$.

1. 1
   Переведём обыкновенные дроби в десятичные:$$\dfrac{3}{25}=0{,}12,\quad \dfrac{1}{10}=0{,}1$$
2. 2
   Выполним деление и сложение:$$0{,}12 : 0{,}6 + 0{,}1 = 0{,}2 + 0{,}1 = 0{,}3$$

Упрощение степенного выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{8^{10} \cdot 3^{11}}{24^9}$.

1. 1
   Разложим числа $8$ и $24$ на простые множители:$$8 = 2^3, \qquad 24 = 2^3 \cdot 3$$
2. 2
   Подставим разложения в исходное выражение:$$\dfrac{8^{10} \cdot 3^{11}}{24^9} = \dfrac{(2^3)^{10} \cdot 3^{11}}{(2^3 \cdot 3)^9}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Упрощение арифметических корней

Найдите значение выражения $\dfrac{\sqrt{392}}{\sqrt{8}}$.

1. 1
   Применим свойство частного арифметических корней.$$\dfrac{\sqrt{392}}{\sqrt{8}} = \sqrt{\dfrac{392}{8}}$$
2. 2
   Вычислим значение подкоренного выражения и извлечём квадратный корень.$$\sqrt{\dfrac{392}{8}} = \sqrt{49} = 7$$

Значение числового выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{19}{4} - \dfrac{3}{14} \cdot 3{,}5$.

1. 1
   Представим десятичную дробь в виде обыкновенной:$$3{,}5 = \dfrac{7}{2}$$
2. 2
   Вычислим произведение дробей:$$\dfrac{3}{14} \cdot \dfrac{7}{2} = \dfrac{3}{4}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Значение логарифмического выражения

Найдите значение выражения $7^{5\log_7 2}$.

1. 1
   Преобразуем показатель степени, вынеся множитель $5$ как степень:$$7^{5\log_7 2}=(7^{\log_7 2})^5$$
2. 2
   По свойству $a^{\log_a b}=b$ получаем:$$(7^{\log_7 2})^5=2^5=32$$

Значение произведения с корнями

Найдите значение выражения $\left(\sqrt{2}-2\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2}+2\sqrt{3}\right)$.

1. 1
   Применяем формулу разности квадратов.$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$
2. 2
   Подставляем $a=\sqrt{2}$ и $b=2\sqrt{3}$.$$\left(\sqrt{2}-2\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2}+2\sqrt{3}\right)=(\sqrt{2})^2-(2\sqrt{3})^2$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Значение числового выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{0{,}9}{1 + \dfrac{1}{5}}$.

1. 1
   Вычислим знаменатель выражения.$$1 + \dfrac{1}{5} = 1 + 0{,}2 = 1{,}2$$
2. 2
   Разделим числитель на полученный знаменатель.$$\dfrac{0{,}9}{1{,}2} = 0{,}75$$

Значение числового выражения

Найдите значение выражения $1{,}26 : 1{,}4 - 0{,}5$.

1. 1
   Сначала выполним деление:$$1{,}26 : 1{,}4 = 0{,}9$$
2. 2
   Вычтем $0{,}5$ из полученного результата:$$0{,}9 - 0{,}5 = 0{,}4$$

Вычисление выражения со степенями

Найдите значение выражения $(4 \cdot 10^4) \cdot (2{,}4 \cdot 10^{-1})$.

1. 1
   Перемножим коэффициенты и степени он отдельно.$$(4 \cdot 2{,}4) \cdot (10^4 \cdot 10^{-1})$$
2. 2
   При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются.$$4 \cdot 2{,}4 \cdot 10^{4-1} = 9{,}6 \cdot 10^3$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Значение числового выражения

Найдите значение выражения $1{,}8 : 0{,}6 \cdot 2{,}5$.

1. 1
   Выполним деление:$$1{,}8 : 0{,}6 = 3$$
2. 2
   Умножим полученный результат на $2{,}5$:$$3 \cdot 2{,}5 = 7{,}5$$

Произведение сопряжённых выражений

Найдите значение выражения $(3\sqrt{11}-4)(3\sqrt{11}+4)$.

1. 1
   Применим формулу разности квадратов к произведению сопряжённых выражений.$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$
2. 2
   Возводим первый множитель в квадрат и вычитаем квадрат второго:$$(3\sqrt{11})^2-4^2=9\cdot11-16=99-16=83$$

Значение степени дроби

Найдите значение выражения $\dfrac{49^2}{7^2}$.

1. 1
   Применим свойство деления степеней с одинаковым показателем:$$\dfrac{49^2}{7^2} = \left(\dfrac{49}{7}\right)^2$$
2. 2
   Вычислим отношение и возведём результат в квадрат:$$\left(\dfrac{49}{7}\right)^2 = 7^2 = 49$$

Разность логарифмов

Найдите значение выражения $\log_3 117 - \log_3 13$.

1. 1
   Применим свойство разности логарифмов с одинаковым основанием:$$\log_3 117 - \log_3 13 = \log_3\left(\frac{117}{13}\right)$$
2. 2
   Вычислим частное под знаком логарифма:$$\frac{117}{13}=9$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Значение выражения с логарифмом

Найдите значение выражения $7^{-2\log_7 2}$.

1. 1
   Применим свойство степени произведения показателя:$$7^{-2\log_7 2}=\left(7^{\log_7 2}\right)^{-2}$$
2. 2
   По определению логарифма $7^{\log_7 2}=2$.$$\left(7^{\log_7 2}\right)^{-2}=2^{-2}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Значение числового выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{0{,}6}{1 + \dfrac{1}{2}}$.

1. 1
   Вычислим знаменатель дроби:$$1 + \dfrac{1}{2} = 1{,}5$$
2. 2
   Разделим числитель на найденный знаменатель:$$\dfrac{0{,}6}{1{,}5} = 0{,}4$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{2^{12}}{4^2}:8^2$.

1. 1
   Представим все числа в выражении как степени числа $2$:$$4^2=(2^2)^2=2^4,\qquad 8^2=(2^3)^2=2^6$$
2. 2
   Применим правила деления степеней с одинаковым основанием:$$\dfrac{2^{12}}{4^2}:8^2=\dfrac{2^{12}}{2^4}:2^6=2^{12-4-6}=2^2$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде