Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Радиус вписанной окружности

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по формуле $r = \dfrac{a+b-c}{2}$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза. Пользуясь этой формулой, найдите $r$, если $a=24$…

1. 1
   Подставим известные значения в формулу радиуса:$$r=\dfrac{24+143-145}{2}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения:$$r=\dfrac{22}{2}=11$$

Радиус описанной окружности

Радиус окружности, описанной около треугольника, можно вычислить по формуле $R = \dfrac{a}{2\sin\alpha}$, где $a$ — сторона, $\alpha$ — противолежащий ей угол треугольника. Пользуясь этой формулой…

1. 1
   Подставим в формулу значения стороны и синуса угла:$$R = \dfrac{8}{2 \cdot \frac{1}{7}}$$
2. 2
   Деление на $\dfrac{1}{7}$ заменяем умножением на $7$ и вычисляем:$$R = \dfrac{8 \cdot 7}{2} = 28$$

Площадь треугольника по Герону

Площадь треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ можно найти по формуле Герона $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \dfrac{a+b+c}{2}$. Найдите площадь треугольника, если длины его сторон равны 10…

1. 1
   Найдём полупериметр треугольника:$$p = \dfrac{10+24+26}{2} = 30$$
2. 2
   Применим формулу Герона:$$S = \sqrt{30(30-10)(30-24)(30-26)}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь треугольника по радиусу

Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \dfrac{abc}{4R}$, где $a$, $b$ и $c$ — стороны треугольника, а $R$ — радиус окружности, описанной около этого треугольника. Пользуясь этой…

1. 1
   Подставим известные значения в формулу площади:$$S = \dfrac{11 \cdot 25 \cdot 30}{4 \cdot \frac{125}{8}}$$
2. 2
   Вычислим числитель и знаменатель дроби:$$S = \dfrac{8250}{\frac{500}{8}} = \dfrac{8250}{62{,}5}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина медианы треугольника

Длина медианы $m_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $m_c = \dfrac{\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}}{2}$. Найдите длину медианы $m_c$, если…

1. 1
   Подставим данные в формулу медианы:$$m_c = \dfrac{\sqrt{2 \cdot 3^2 + 2 \cdot (\sqrt{7})^2 - 4^2}}{2}$$
2. 2
   Вычислим выражение под корнем:$$2 \cdot 3^2 + 2 \cdot (\sqrt{7})^2 - 4^2 = 18 + 14 - 16 = 16$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина биссектрисы треугольника

Длина биссектрисы $l_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $l_c = \dfrac{1}{a+b}\sqrt{ab\bigl((a+b)^2-c^2\bigr)}$. Найдите биссектрису $l_c$…

1. 1
   Вычислим необходимые выражения:$$a+b=3+9=12,\quad ab=3\cdot 9=27,\quad c^2=(4\sqrt{6})^2=96$$
2. 2
   Подставим найденные значения в формулу:$$l_c=\frac{1}{12}\sqrt{27\bigl(12^2-96\bigr)}=\frac{1}{12}\sqrt{27\cdot48}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Радиус вписанной окружности

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по формуле $r = \dfrac{a + b - c}{2}$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза. Пользуясь этой формулой, найдите $r$, если…

1. 1
   Подставим значения $a = 19$, $b = 180$ и $c = 181$ в формулу радиуса.$$r = \dfrac{19 + 180 - 181}{2}$$
2. 2
   Выполним вычисления.$$r = \dfrac{18}{2} = 9$$

Медиана треугольника

Длина медианы $m_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $m_c = \dfrac{\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}}{2}$. Найдите медиану $m_c$, если $a = 5$…

1. 1
   Подставим значения сторон в формулу медианы.$$m_c = \dfrac{\sqrt{2 \cdot 5^2 + 2 \cdot (3\sqrt{3})^2 - 10^2}}{2}$$
2. 2
   Вычислим выражение под корнем.$$2 \cdot 25 + 2 \cdot 27 - 100 = 4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина биссектрисы треугольника

Длина биссектрисы $l_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $l_c = \dfrac{1}{a+b}\sqrt{ab\left((a+b)^2-c^2\right)}$. Найдите биссектрису…

1. 1
   Вычислим необходимые значения:$$a+b=8+12=20,\quad ab=8\cdot12=96,\quad c^2=(5\sqrt{10})^2=250$$
2. 2
   Подставим полученные значения в формулу:$$l_c=\dfrac{1}{20}\sqrt{96\left(20^2-250\right)}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь треугольника по сторонам

Площадь треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ можно найти по формуле Герона $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \dfrac{a+b+c}{2}$. Найдите площадь треугольника, если длины его сторон равны 13…

1. 1
   Найдём полупериметр треугольника:$$p = \dfrac{13+14+15}{2} = 21$$
2. 2
   Подставим стороны и полупериметр в формулу Герона:$$S = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Теорема синусов

Теорему синусов можно записать в виде $\dfrac{a}{\sin\alpha}=\dfrac{b}{\sin\beta}$, где $a$ и $b$ — две стороны треугольника, а $\alpha$ и $\beta$ — углы треугольника, лежащие против них…

1. 1
   Из теоремы синусов выразим синус угла $\alpha$:$$\sin\alpha=\frac{a\sin\beta}{b}$$
2. 2
   Подставим известные значения:$$\sin\alpha=\frac{4\cdot\frac{2}{5}}{2}=\frac{4}{5}=0{,}8$$

Площадь треугольника по формуле

Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \dfrac{abc}{4R}$, где $a$, $b$ и $c$ — стороны треугольника, а $R$ — радиус окружности, описанной около этого треугольника. Пользуясь этой…

1. 1
   Подставим значения $a$, $b$, $c$ и $R$ в формулу площади треугольника.$$S = \dfrac{6 \cdot 25 \cdot 29}{4 \cdot \dfrac{145}{8}}$$
2. 2
   Вычислим числитель и знаменатель.$$S = \dfrac{4350}{\dfrac{145}{2}}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина биссектрисы треугольника

Длина биссектрисы $l_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $l_c = \dfrac{1}{a+b}\sqrt{ab\left((a+b)^2-c^2\right)}$. Найдите биссектрису…

1. 1
   Подставим заданные значения в формулу:$$l_c=\dfrac{1}{2+8}\sqrt{2\cdot8\left((2+8)^2-(5\sqrt{3})^2\right)}$$
2. 2
   Вычислим значения выражений под корнем:$$l_c=\dfrac{1}{10}\sqrt{16\left(100-75\right)}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Диагональ четырёхугольника

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2}d_1d_2\sin\alpha$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей четырёхугольника, $\alpha$ — угол между диагоналями. Пользуясь этой…

1. 1
   Подставим известные значения в формулу площади:$$19 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot d_2 \cdot \frac{1}{3}$$
2. 2
   Упростим выражение: множители $\frac{1}{2}$, $6$ и $\frac{1}{3}$ дают $1$.$$19 = d_2$$

Диагональ четырёхугольника

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле $S = \dfrac{1}{2}d_1d_2\sin\alpha$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей четырёхугольника, а $\alpha$ — угол между диагоналями. Пользуясь этой…

1. 1
   Выразим длину диагонали $d_1$ из формулы площади:$$d_1 = \dfrac{2S}{d_2\sin\alpha}$$
2. 2
   Подставим известные значения:$$d_1 = \dfrac{2 \cdot 36}{15 \cdot \frac{2}{5}} = \dfrac{72}{6} = 12$$

Площадь трапеции по формуле

Площадь трапеции можно вычислить по формуле $S = \dfrac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания трапеции, $h$ — её высота. Пользуясь этой формулой, найдите площадь трапеции $S$, если $a = 8$…

1. 1
   Подставим заданные значения в формулу площади трапеции.$$S = \dfrac{8+14}{2} \cdot 10$$
2. 2
   Вычислим сумму оснований и разделим её пополам.$$S = \dfrac{22}{2} \cdot 10 = 11 \cdot 10$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Синус угла треугольника

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \dfrac{1}{2}bc\sin\alpha$, где $b$ и $c$ — две стороны треугольника, а $\alpha$ — угол между ними. Пользуясь этой формулой, найдите величину…

1. 1
   Выразим синус угла из формулы площади треугольника.$$\sin\alpha = \dfrac{2S}{bc}$$
2. 2
   Подставим известные значения.$$\sin\alpha = \dfrac{2 \cdot 6}{5 \cdot 6} = \dfrac{12}{30} = 0.4$$

Теорема косинусов

Теорему косинусов можно записать в виде $\cos \alpha = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$, где $a$, $b$ и $c$ — стороны треугольника, а $\alpha$ — угол между сторонами $a$ и $b$. Пользуясь этой формулой…

1. 1
   Подставим значения $a = 5$, $b = 8$ и $c = 9$ в формулу теоремы косинусов.$$\cos \alpha = \dfrac{5^2 + 8^2 - 9^2}{2 \cdot 5 \cdot 8}$$
2. 2
   Вычислим числитель и знаменатель дроби.$$\cos \alpha = \dfrac{25 + 64 - 81}{80} = \dfrac{8}{80} = 0.1$$

Нахождение стороны треугольника

Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \dfrac{(a+b+c)r}{2}$, где $a$, $b$ и $c$ — стороны треугольника, а $r$ — радиус окружности, вписанной в этот треугольник. Пользуясь этой…

1. 1
   Подставим в формулу значения $a$, $c$, $S$ и $r$:$$14\sqrt{5} = \dfrac{(7+b+9)\sqrt{5}}{2}$$
2. 2
   Сократим обе части равенства на $\sqrt{5}$ и умножим на 2:$$28 = 16+b$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение косинуса угла

Теорему косинусов можно записать в виде $\cos\gamma = \dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$, где $a$, $b$ и $c$ — стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между сторонами $a$ и $b$. Пользуясь этой формулой…

1. 1
   Подставим известные значения в формулу теоремы косинусов.$$\cos\gamma = \frac{7^2+10^2-11^2}{2\cdot7\cdot10}$$
2. 2
   Вычислим числитель и знаменатель дроби.$$\cos\gamma = \frac{49+100-121}{140}=\frac{28}{140}=0.2$$