ФИПИ тапсырмаларының шешімдері ЕГЭ по базалық математикаға: «Логика және кестелер» — жауаптарымен

Скорость автомобиля из A

Из городов A и B, расстояние между которыми равно 350 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля и встретились через 2 часа на расстоянии 180 км от города B. Найдите скорость…

1. 1
   Расстояние от города A до места встречи равно разности общего расстояния и расстояния от города B:$$s_A = 350 - 180 = 170\text{ км}$$
2. 2
   Автомобиль ехал 2 часа, поэтому его скорость равна:$$v_A = \dfrac{s_A}{t} = \dfrac{170}{2} = 85\text{ км/ч}$$

Скорость туриста на спуске

Дорога между пунктами А и В состоит из подъёма и спуска, а её длина равна 30 км. Путь из А в В занял у туриста 11 часов, из них 8 часов ушло на спуск. Найдите скорость туриста на спуске, если она…

1. 1
   Пусть скорость туриста на спуске равна $x$ км/ч. Тогда скорость на подъёме равна $x-1$ км/ч.
2. 2
   Длина спуска равна $8x$ км, поскольку на него затрачено 8 часов. На подъём затрачено $11-8=3$ часа, поэтому его длина равна $3(x-1)$ км.

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Определение подъезда по квартире

В доме, в котором живёт Катя, 5 этажей и несколько подъездов. В каждом подъезде на каждом этаже находится по 3 квартиры. Катя живёт в квартире № 22. В каком подъезде живёт Катя?

1. 1
   Найдём количество квартир в одном подъезде: на каждом из 5 этажей по 3 квартиры.$$5 \cdot 3 = 15$$
2. 2
   В первом подъезде находятся квартиры с номерами 1–15, во втором — с номерами 16–30. Квартира № 22 относится ко второму подъезду.$$16 \leq 22 \leq 30$$

Подсчёт проводов между столбами

Девять столбов соединены между собой проводами так, что от каждого столба отходит ровно 4 провода. Сколько всего проводов протянуто между этими девятью столбами?

1. 1
   Подсчитаем общее число концов проводов, отходящих от столбов.$$9 \cdot 4 = 36$$
2. 2
   Каждый провод соединяет два столба, поэтому при подсчёте концов каждый провод учтён дважды.$$36 : 2 = 18$$

Розы в красной вазе

На прилавке цветочного магазина стоят 3 вазы с розами: оранжевая, красная и зелёная. Слева от зелёной вазы 13 роз, справа от оранжевой вазы 25 роз. Всего в вазах 32 розы. Сколько роз в красной вазе?

1. 1
   Оранжевая ваза находится слева от зелёной, поэтому розы в красной вазе входят и в число роз слева от зелёной вазы, и в число роз справа от оранжевой вазы.$$13 + 25 = 32 + x$$
2. 2
   Находим количество роз в красной вазе:$$x = 13 + 25 - 32 = 6$$

Пары соседних клеток

Клетки таблицы $7 \times 5$ раскрашены в чёрный и белый цвета так, что получилось 27 пар соседних клеток разного цвета и 21 пара соседних клеток чёрного цвета. Клетки считаются соседними, если у них…

1. 1
   Посчитаем число горизонтальных пар соседних клеток: в каждой из 7 строк по 5 клеток образуется 4 пары.$$7 \cdot 4 = 28$$
2. 2
   Посчитаем число вертикальных пар: в каждом из 5 столбцов по 7 клеток образуется 6 пар.$$5 \cdot 6 = 30$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Подсчёт договоров между странами

Из десяти стран четыре подписали договор о дружбе ровно с двумя другими странами, а каждая из оставшихся шести — ровно с пятью. Сколько всего было подписано договоров?

1. 1
   Сосчитаем суммарное количество договоров, если учитывать каждый договор со стороны каждой страны:$$4 \cdot 2 + 6 \cdot 5 = 8 + 30 = 38$$
2. 2
   Каждый договор заключён между двумя странами, поэтому при таком подсчёте он учтён дважды.$$38 : 2 = 19$$

Среднее арифметическое чисел

Среднее арифметическое четырёх различных натуральных чисел равно 11. Среднее арифметическое этих чисел и пятого числа равно 12. Чему равно пятое число?

1. 1
   Найдём сумму төрт чисел по формуле суммы через среднее арифметическое:$$S_4 = 4 \cdot 11 = 44$$
2. 2
   Найдём сумму всех пяти чисел:$$S_5 = 5 \cdot 12 = 60$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Подсчёт пар соседних клеток

Клетки таблицы $4 \times 5$ раскрашены в чёрный и белый цвета так, что получилось 15 пар соседних клеток разного цвета и 11 пар соседних клеток чёрного цвета. Клетки считаются соседними, если у них…

1. 1
   В каждой из 4 строк имеется 4 горизонтальные пары соседних клеток, всего $4 \cdot 4 = 16$ пар.$$4 \cdot (5 - 1) = 16$$
2. 2
   В каждом из 5 столбцов имеется 3 вертикальные пары соседних клеток, всего $5 \cdot 3 = 15$ пар.$$5 \cdot (4 - 1) = 15$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Количество рыжиков в корзине

В корзине лежит 30 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 12 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 20 грибов — хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине?

1. 1
   Из условия о любых 12 грибах следует, что груздей не может быть 12 или больше: иначе можно было бы выбрать 12 груздей без рыжиков. Поэтому груздей не более 11, а рыжиков не менее 19.$$30 - 11 = 19$$
2. 2
   Из условия о любых 20 грибах следует, что рыжиков не может быть 20 или больше: иначе можно было бы выбрать 20 рыжиков без груздей. Поэтому рыжиков не более 19.$$N_{\text{рыжиков}} \leq 19$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Среднее арифметическое чисел

Среднее арифметическое десяти различных натуральных чисел равно 19. Среднее арифметическое этих чисел и одиннадцатого числа равно 20. Чему равно одиннадцатое число?

1. 1
   Найдём сумму он чисел:$$S_{10}=10\cdot19=190$$
2. 2
   Среднее арифметическое десяти чисел и одиннадцатого числа равно 20, поэтому сумма всех одиннадцати чисел равна:$$S_{11}=11\cdot20=220$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Подсчёт проводов между столбами

Восемь столбов соединены между собой проводами так, что от каждого столба отходит ровно 6 проводов. Сколько всего проводов протянуто между этими восемью столбами?

1. 1
   Посчитаем общее число выходов проводов из столбов:$$8 \cdot 6 = 48$$
2. 2
   Каждый провод соединяет два столба, поэтому при таком подсчёте он учтён дважды.$$N = \dfrac{48}{2} = \dfrac{8 \cdot 6}{2} = 24$$

Подсчёт проводов между столбами

Десять столбов соединены между собой проводами так, что от каждого столба отходит ровно 9 проводов. Сколько всего проводов протянуто между этими десятью столбами?

1. 1
   Посчитаем общее количество концов проводов, отходящих от столбов.$$10 \cdot 9 = 90$$
2. 2
   Каждый провод соединяет два столба, поэтому при таком подсчёте каждый провод учтён дважды.$$N = \dfrac{90}{2} = 45$$

Подсчёт проводов между столбами

Десять столбов соединены между собой проводами так, что от каждого столба отходит ровно 4 провода. Сколько всего проводов протянуто между этими десятью столбами?

1. 1
   Посчитаем общее число концов проводов у всех столбов:$$10 \cdot 4 = 40$$
2. 2
   Каждый провод соединяет два столба, поэтому при подсчёте концов каждый провод учтён дважды:$$40 : 2 = 20$$

Номер подъезда по квартире

В доме, в котором живёт Женя, 5 этажей и несколько подъездов. На каждом этаже находится по 5 квартир. Женя живёт в квартире № 35. В каком подъезде живёт Женя?

1. 1
   Найдём количество квартир в одном подъезде:$$5 \cdot 5 = 25$$
2. 2
   В первом подъезде находятся квартиры с номерами от 1 до 25. Квартира № 35 находится в следующем подъезде.$$25 < 35 \leq 50$$

Грибы в корзине

В корзине лежит 34 гриба: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 20 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 16 грибов хотя бы один груздь. Сколько груздей в корзине?

1. 1
   Если бы груздей было не менее 20, можно было бы выбрать 20 груздей, среди которых нет рыжика. Поэтому груздей не больше 19.$$G \leq 19$$
2. 2
   Если бы рыжиков было не менее 16, можно было бы выбрать 16 рыжиков, среди которых нет груздя. Поэтому рыжиков не больше 15.$$R \leq 15$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Нумерация бет книги

Из книги выпало несколько идущих подряд листов. Номер последней страницы перед выпавшими листами — 498, номер первой страницы после выпавших листов записывается теми же цифрами, но в другом порядке…

1. 1
   Из цифр 4, 9 и 8 составляем перестановки. Наименьшее число, большее 498, — 849, поэтому номер первой страницы после выпавших листов равен 849.$$p=849$$
2. 2
   Выпавшие бет имеют нөмір от 499 до 848 включительно. Их количество равно:$$849-498-1=350$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Обмен монет в пункте

В обменном пункте можно совершить одну из двух операций: за 3 золотых монеты получить 4 серебряных и одну медную; за 6 серебряных монет получить 4 золотых и одну медную. У Николая были только…

1. 1
   Пусть $x$ — число операций, в которых за 3 золотые монеты получают 4 серебряные и одну медную, а $y$ — число операций, в которых за 6 серебряных монет получают 4 золотые и одну медную.$$x+y=35$$
2. 2
   Так как золотых монет сначала не было и в конце их тоже не появилось, количество выданных золотых монет должно равняться количеству затраченных.$$4y=3x$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Этаж по нөміріне квартиры

Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в восьмом подъезде в квартире № 468, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом двенадцатиэтажный. На каком этаже живёт Саша? (На…

1. 1
   Пусть на каждом этаже находится $x$ квартир. Тогда в одном подъезде $12x$ квартир.
2. 2
   Перед восьмым подъездом находятся семь подъездов, поэтому номер квартиры 468 удовлетворяет неравенству $7\cdot 12x < 468 \leq 8\cdot 12x$.

Ещё 3 қадам — толық шешімде

Длина большей реки

Длины двух рек относятся как 2 : 3, при этом одна из них длиннее другой на 30 км. Найдите длину большей реки. Ответ дайте в километрах.

1. 1
   Пусть длины рек выражаются через одну долю. Тогда меньшая река имеет длину $2x$, а большая — $3x$.$$3x - 2x = 30$$
2. 2
   Находим величину одной доли:$$x = 30$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде