Задание 7 ЕГЭ по базовой математике: решения ФИПИ с ответами по шагам

Значение выражения с дробями

Найдите значение выражения $36\cdot\left(\frac{5}{6}-\frac{7}{36}-\frac{9}{12}\right)$.

1. 1
   Умножим число $36$ на каждое слагаемое в скобках:$$36\cdot\left(\frac{5}{6}-\frac{7}{36}-\frac{9}{12}\right)=30-7-27$$
2. 2
   Выполним вычитание:$$30-7-27=23-27=-4$$

Гипотенуза прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $120^\circ$. Катет $AC = 34$. Найдите гипотенузу $AB$.

1. 1
   Внутренний угол при вершине $A$ supplementary внешнему углу:$$\angle A = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике катет $AC$ прилежит к углу $A$, а $AB$ — гипотенуза:$$\cos 60^\circ = \frac{AC}{AB}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Знаки коэффициентов параболы

На рисунках изображены графики функций вида $y=ax^2+bx+c$. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов $a$ и $c$.

1. 1
   Для квадратичной функции $y=ax^2+bx+c$ знак коэффициента $a$ определяют по направлению ветвей параболы: при $a<0$ ветви направлены вниз, при $a>0$ — вверх.$$a<0 \Rightarrow \text{ветви вниз},\quad a>0 \Rightarrow \text{ветви вверх}$$
2. 2
   Коэффициент $c$ равен значению функции при $x=0$, поэтому его знак определяется расположением точки пересечения графика с осью $Oy$.$$f(0)=c$$

Ещё 4 шага — в полном решении

Знаки функции и производной

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ и отмечены точки $A$, $B$, $C$ и $D$ на оси $Ox$. Пользуясь графиком, установите соответствие между каждой точкой и характеристикой функции и её…

1. 1
   По графику определяем знак значения функции в каждой отмеченной точке: положение выше оси $Ox$ соответствует положительному значению, ниже оси $Ox$ — отрицательному.
2. 2
   По направлению графика в каждой точке определяем знак производной: на возрастающем участке $f'(x)>0$, на убывающем участке $f'(x)<0$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Соответствие по графику функции

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ и отмечены точки $A$, $B$, $C$ и $D$ на оси $Ox$. Пользуясь графиком, установите соответствие между каждой точкой и характеристикой функции и её…

1. 1
   Точка $A$ лежит на оси $Ox$, поэтому $f(A)=0$. График в этой точке убывает, следовательно, $f'(A)<0$.$$A\to 3$$
2. 2
   Точка $B$ лежит на оси $Ox$, поэтому $f(B)=0$. График в этой точке возрастает, следовательно, $f'(B)>0$.$$B\to 2$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Производная по касательной

На рисунках изображены графики функций и касательные, проведённые к ним в точках с абсциссой $x_0$. Установите соответствие между графиками функций и значениями производной этих функций в точке $x_0$.

1. 1
   Производная функции в точке $x_0$ равна угловому коэффициенту касательной к графику в этой точке.$$f'(x_0)=k$$
2. 2
   По наклону касательных на рисунках определяем значения производных: для графика А — положительный пологий наклон, для Б — отрицательный крутой, для В — положительный крутой, для Г — отрицательный пологий.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Производная по графику

На рисунке изображены график функции и касательные, проведённые к нему в точках с абсциссами $A$, $B$, $C$ и $D$. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной…

1. 1
   Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику в этой точке.$$f'(x_0)=k_{тангенса}$$
2. 2
   В точке $A$ касательная резко возрастает, поэтому ей соответствует наибольшее положительное значение $4$ — номер 2.

Ещё 3 шага — в полном решении

Производная по касательной

На рисунках изображены графики функций и касательные, проведённые к ним в точках с абсциссой $x_0$. Установите соответствие между графиками функций и значениями производной этих функций в точке $x_0$.

1. 1
   Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведённой в этой точке.$$f'(x_0)=k$$
2. 2
   На графике А касательная возрастает с угловым коэффициентом $1$, поэтому А соответствует значению 3.$$f'_А(x_0)=1$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Знаки коэффициентов линейной функции

На рисунках изображены графики функций вида $y = kx + b$. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов $k$ и $b$.

1. 1
   В функции $y = kx + b$ знак коэффициента $k$ определяется направлением наклона прямой: возрастающая прямая имеет $k > 0$, убывающая — $k < 0$.$$y = kx + b$$
2. 2
   Знак коэффициента $b$ определяется положением точки пересечения графика с осью $Oy$: выше начала координат — $b > 0$, ниже — $b < 0$.$$b = y(0)$$

Ещё 4 шага — в полном решении

Изменение атмосферного давления

На рисунке точками показано атмосферное давление в некотором городе на протяжении трёх суток, с 4 по 6 апреля 2023 года. В течение суток давление измеряется 4 раза: в 0:00, в 6:00, в 12:00 и в…

1. 1
   Вечером 4 апреля давление уменьшилось с 757 до 754 мм рт. ст., поэтому периоду А соответствует характеристика 4.$$757 > 754$$
2. 2
   Днём 5 апреля давление увеличилось с 759 до 760 мм рт. ст. и не превысило 760 мм рт. ст., поэтому периоду Б соответствует характеристика 3.$$759 < 760$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Соответствие графиков функциям

Установите соответствие между графиками функций и характеристиками этих функций на отрезке $[-1;1]$.

1. 1
   На графике А при движении слева направо значения функции увеличиваются, поэтому функция возрастает.
2. 2
   На графике Б есть впадина, то есть точка минимума.

Ещё 2 шага — в полном решении

Знаки функции и производной

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ и отмечены точки $A$, $B$, $C$ и $D$ на оси $Ox$. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке характеристику функции и её производной.

1. 1
   В точке $A$ график расположен выше оси $Ox$, поэтому значение функции положительно. График убывает, значит производная отрицательна.$$A \to 2$$
2. 2
   В точке $B$ график расположен ниже оси $Ox$ и убывает. Поэтому значение функции и значение производной отрицательны.$$B \to 3$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Знаки коэффициентов функции

На рисунках изображены графики функций вида $y = kx + b$. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов $k$ и $b$.

1. 1
   Коэффициент $k$ определяет направление наклона прямой: при $k > 0$ функция возрастает, при $k < 0$ — убывает. Коэффициент $b$ равен ординате точки пересечения графика с осью $y$.$$y = kx + b$$
2. 2
   На графике А прямая убывает и пересекает ось $y$ выше начала координат, поэтому $k < 0$, $b > 0$: это вариант 2.$$А \to 2$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Соответствие функций и свойств

Установите соответствие между функциями и характеристиками этих функций.

1. 1
   Функция $y=7-x$ — линейная, её угловой коэффициент равен $-1<0$, поэтому она убывает.$$А \to 4$$
2. 2
   Функция $y=6x-x^2$ — парабола с отрицательным коэффициентом при $x^2$, поэтому её ветви направлены вниз и она имеет точку максимума.$$Б \to 1$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Соответствие графиков и свойств

Установите соответствие между графиками функций и характеристиками этих функций на отрезке $[-1; 1]$.

1. 1
   На графике А функция на всём отрезке $[-1; 1]$ расположена ниже оси $x$, поэтому принимает отрицательные значения.$$А \to 1$$
2. 2
   На графике Б при движении слева направо значения функции уменьшаются, поэтому функция убывает.$$Б \to 4$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Производная по касательной

На рисунке изображены график функции и касательные, проведённые к нему в точках с абсциссами $A$, $B$, $C$ и $D$. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной…

1. 1
   Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику в этой точке.$$f'(x_0)=k$$
2. 2
   По наклонам касательных на рисунке устанавливаем соответствия: в точке $A$ наклон равен $2$, в точке $B$ — $-0{,}3$, в точке $C$ — $-1{,}5$, в точке $D$ — $0{,}5$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Графики функций и производных

Установите соответствие между графиками линейных функций и графиками их производных.

1. 1
   У линейной функции $y = kx + b$ производная равна угловому коэффициенту прямой.$$y' = k$$
2. 2
   График А имеет большой положительный наклон, поэтому ему соответствует самая высокая положительная горизонтальная прямая — график 2.

Ещё 3 шага — в полном решении

Характеристики крутящего момента

На графике изображена зависимость крутящего момента двигателя от числа оборотов в минуту. На горизонтальной оси отмечено число оборотов в минуту, на вертикальной оси — крутящий момент в Н · м…

1. 1
   На интервале А: от 0 до 1500 об/мин крутящий момент увеличивается, но остаётся не выше 40 Н · м. Поэтому А соответствует характеристике 1.
2. 2
   На интервале Б: от 1500 до 2000 об/мин график имеет самый большой наклон вверх, то есть крутящий момент растёт быстрее всего. Поэтому Б соответствует характеристике 3.

Ещё 2 шага — в полном решении

Производная по касательной

На рисунке изображены график функции и касательные, проведённые к нему в точках с абсциссами $A$, $B$, $C$ и $D$. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной…

1. 1
   Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику в этой точке.$$f'(x_0)=k_{\text{касательной}}$$
2. 2
   В точке $A$ касательная имеет крутой положительный наклон, поэтому производная равна $2$ — значение под номером 3.$$f'(A)=2$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Знаки функции и производной

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ и отмечены точки $A$, $B$, $C$ и $D$ на оси $Ox$. Пользуясь графиком, установите соответствие между каждой точкой, характеристикой функции и её…

1. 1
   В точке $A$ график расположен выше оси $Ox$, поэтому $f(A)>0$. График убывает, значит $f'(A)<0$. Это характеристика 1.$$A\to1$$
2. 2
   В точке $B$ график расположен ниже оси $Ox$, поэтому $f(B)<0$. График убывает, значит $f'(B)<0$. Это характеристика 3.$$B\to3$$

Ещё 2 шага — в полном решении