Задание 4 ЕГЭ по базовой математике: решения ФИПИ с ответами по шагам

Среднее гармоническое чисел

Среднее гармоническое трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $h=\left(\dfrac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}{3}\right)^{-1}$. Найдите среднее гармоническое чисел $\dfrac{1}{3}$…

1. 1
   Подставим числа в формулу среднего гармонического:$$h=\left(\dfrac{3+11+16}{3}\right)^{-1}$$
2. 2
   Вычислим сумму в числителе и разделим её на 3:$$\dfrac{3+11+16}{3}=\dfrac{30}{3}=10$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Расчёт сопротивления по мощности

Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле $P = I^2R$, где $I$ — сила тока (в амперах), $R$ — сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите $R$ (в омах), если $P = 891$…

1. 1
   Выразим сопротивление из формулы $P = I^2R$:$$R = \dfrac{P}{I^2}$$
2. 2
   Подставим значения мощности и силы тока:$$R = \dfrac{891}{9^2} = \dfrac{891}{81} = 11$$

Площадь треугольника по формуле

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \dfrac{1}{2}bc\sin\alpha$, где $b$ и $c$ — длины двух сторон треугольника, $\alpha$ — угол между ними. Пользуясь этой формулой, найдите площадь $S$…

1. 1
   Подставим данные в формулу площади треугольника.$$S = \dfrac{1}{2} \cdot 14 \cdot 12 \cdot \dfrac{1}{3}$$
2. 2
   Сократим множители и вычислим значение выражения.$$S = 7 \cdot 4 = 28$$

Итоговая сумма вклада

Для определения итоговой суммы вклада без возможности пополнения и частичного снятия денежных средств в банках используется формула расчёта $S = A \cdot \left(1 + \dfrac{p}{100}\right)^n$, где $A$…

1. 1
   Подставим данные в формулу расчёта итоговой суммы вклада.$$S = 50\,000 \cdot \left(1 + \dfrac{12}{100}\right)^2$$
2. 2
   Вычислим значение степени и умножим на первоначальную сумму.$$S = 50\,000 \cdot 1{,}12^2 = 50\,000 \cdot 1{,}2544 = 62\,720$$

Синус угла по теореме синусов

Теорему синусов можно записать в виде $\dfrac{a}{\sin \alpha}=\dfrac{b}{\sin \beta}$, где $a$ и $b$ — две стороны треугольника, а $\alpha$ и $\beta$ — углы треугольника, лежащие против них…

1. 1
   Выразим синус угла $\alpha$ из теоремы синусов.$$\sin \alpha=\frac{a\sin\beta}{b}$$
2. 2
   Подставим известные значения.$$\sin\alpha=\frac{13\cdot\frac{1}{26}}{5}=\frac{1}{10}=0{,}1$$

Масса тела по энергии

Потенциальная энергия тела (в джоулях) в поле тяготения Земли вблизи поверхности вычисляется по формуле $E = mgh$, где $m$ — масса тела (в килограммах), $g$ — ускорение свободного падения (в м/с^2)…

1. 1
   Из формулы $E = mgh$ выразим массу тела:$$m = \dfrac{E}{gh}$$
2. 2
   Подставим известные значения:$$m = \dfrac{392}{9{,}8 \cdot 8} = \dfrac{392}{78{,}4} = 5$$

Нахождение стороны треугольника

Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \dfrac{(a+b+c)r}{2}$, где $a$, $b$ и $c$ — стороны треугольника, а $r$ — радиус окружности, вписанной в этот треугольник. Пользуясь этой…

1. 1
   Подставим в формулу значения $a$, $c$, $S$ и $r$:$$12\sqrt{5} = \dfrac{(7+b+9)\sqrt{5}}{2}$$
2. 2
   Сократим обе части равенства на $\sqrt{5}$ и умножим на 2:$$24 = 16+b$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Среднее гармоническое чисел

Среднее гармоническое трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $h=\left(\dfrac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}{3}\right)^{-1}$. Найдите среднее гармоническое чисел $\dfrac{1}{2}$…

1. 1
   Подставим данные числа в формулу:$$h=\left(\dfrac{\frac{1}{\frac{1}{2}}+\frac{1}{\frac{1}{4}}+\frac{1}{\frac{1}{9}}}{3}\right)^{-1}$$
2. 2
   Вычислим обратные величины и их среднее:$$h=\left(\dfrac{2+4+9}{3}\right)^{-1}=5^{-1}=\dfrac{1}{5}$$

Площадь треугольника по сторонам

Площадь треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ можно найти по формуле Герона $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \dfrac{a+b+c}{2}$. Найдите площадь треугольника, если длины его сторон равны 5…

1. 1
   Найдём полупериметр треугольника:$$p = \dfrac{5+122+123}{2} = 125$$
2. 2
   Подставим длины сторон и найденный полупериметр в формулу Герона:$$S = \sqrt{125(125-5)(125-122)(125-123)}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Стоимость поездки на такси

В фирме «Эх, прокачу!» стоимость поездки на такси длительностью меньше 5 минут составляет 150 рублей. Если поездка длится 5 минут или дольше, то её стоимость в рублях рассчитывается по формуле…

1. 1
   Длительность поездки равна 14 минутам, поэтому в формуле берём $t = 14$.$$C = 150 + 11(14 - 5)$$
2. 2
   Вычисляем стоимость поездки.$$C = 150 + 11 \cdot 9 = 150 + 99 = 249$$

Мощность постоянного тока

Мощность постоянного тока (в ваттах) можно вычислить по формуле $P = \dfrac{U^2}{R}$, где $U$ — напряжение (в вольтах), $R$ — сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите мощность…

1. 1
   Подставим в формулу $P = \dfrac{U^2}{R}$ значения $U = 14$ и $R = 7$.$$P = \dfrac{14^2}{7}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения.$$P = \dfrac{196}{7} = 28$$

Медиана треугольника

Длина медианы $m_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $m_c = \dfrac{\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}}{2}$. Найдите медиану $m_c$, если $a = 4$…

1. 1
   Подставим значения $a = 4$, $b = 7$ и $c = 9$ в формулу:$$m_c = \dfrac{\sqrt{2 \cdot 4^2 + 2 \cdot 7^2 - 9^2}}{2}$$
2. 2
   Вычислим выражение под корнем:$$2 \cdot 4^2 + 2 \cdot 7^2 - 9^2 = 32 + 98 - 81 = 49$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Медиана треугольника

Длина медианы $m_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $m_c = \dfrac{\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}}{2}$. Найдите медиану $m_c$, если $a = 2$…

1. 1
   Подставим значения сторон в формулу медианы.$$m_c = \dfrac{\sqrt{2 \cdot 2^2 + 2 \cdot (\sqrt{6})^2 - 4^2}}{2}$$
2. 2
   Вычислим выражение под корнем.$$2 \cdot 2^2 + 2 \cdot (\sqrt{6})^2 - 4^2 = 8 + 12 - 16 = 4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь треугольника по сторонам

Площадь треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ можно найти по формуле Герона $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \dfrac{a+b+c}{2}$. Найдите площадь треугольника, если длины его сторон равны 7…

1. 1
   Найдём полупериметр треугольника:$$p = \dfrac{7+15+20}{2} = 21$$
2. 2
   Подставим значения в формулу Герона:$$S = \sqrt{21(21-7)(21-15)(21-20)}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Теорема синусов

Теорему синусов можно записать в виде $\dfrac{a}{\sin \alpha}=\dfrac{b}{\sin \beta}$, где $a$ и $b$ — две стороны треугольника, $\alpha$ и $\beta$ — углы треугольника, лежащие против них…

1. 1
   Из теоремы синусов выразим сторону $a$:$$a=b\cdot\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}$$
2. 2
   Подставим известные значения:$$a=9\cdot\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}}=9\cdot\frac{1}{3}=3$$

Среднее гармоническое чисел

Среднее гармоническое трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле.

1. 1
   Подставим числа в формулу среднего гармонического:$$h=\left(\frac{\frac{1}{\frac{1}{2}}+\frac{1}{\frac{1}{5}}+\frac{1}{1}}{3}\right)^{-1}$$
2. 2
   Вычислим обратные величины и упростим выражение:$$h=\left(\frac{2+5+1}{3}\right)^{-1}=\left(\frac{8}{3}\right)^{-1}=\frac{3}{8}=0.375$$

Площадь треугольника по радиусу

Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \dfrac{abc}{4R}$, где $a$, $b$ и $c$ — стороны треугольника, а $R$ — радиус окружности, описанной около этого треугольника. Пользуясь этой…

1. 1
   Подставим значения $a$, $b$, $c$ и $R$ в формулу площади:$$S = \dfrac{12 \cdot 17 \cdot 25}{4 \cdot \frac{85}{6}}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения:$$S = \dfrac{5100}{\frac{170}{3}} = 90$$

Тангенс угла второй четверти

Найдите $\tg \alpha$, если $\cos \alpha = -\dfrac{5}{\sqrt{34}}$ и $90^\circ < \alpha < 180^\circ$.

1. 1
   Угол $\alpha$ находится во второй четверти, поэтому $\sin\alpha > 0$, а $\cos\alpha < 0$.
2. 2
   По основному тригонометрическому тождеству найдём синус:$$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \frac{25}{34} = \frac{9}{34},\quad \sin\alpha = \frac{3}{\sqrt{34}}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Перевод температуры в Фаренгейты

Чтобы перевести температуру из шкалы Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой $t_F = 1{,}8t_C + 32$, где $t_C$ — температура в градусах по шкале Цельсия, $t_F$ — температура в градусах по…

1. 1
   Подставим $t_C = 5$ в формулу перевода температуры:$$t_F = 1{,}8 \cdot 5 + 32$$
2. 2
   Выполним вычисления:$$t_F = 9 + 32 = 41$$

Среднее геометрическое чисел

Среднее геометрическое трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $g = \sqrt[3]{abc}$. Вычислите среднее геометрическое чисел 4, 8, 16.

1. 1
   Подставим данные числа в формулу среднего геометрического.$$g = \sqrt[3]{4 \cdot 8 \cdot 16}$$
2. 2
   Вычислим произведение и извлечём кубический корень.$$g = \sqrt[3]{512} = 8$$