Определите количество девятеричных шестизначных чисел, которые не начинаются с нечётных цифр, не оканчиваются цифрами 1 или 2, а также содержат не менее двух цифр 8.
- 1
Первая цифра должна быть чётной и ненулевой: $4$ варианта. Последняя цифра не может быть равна $1$ или $2$: $7$ вариантов. Остальные четыре цифры выбираются из девяти цифр.$$N=4\cdot 9^4\cdot 7=183708$$
- 2
Посчитаем числа без цифры $8$. Для первой цифры остаётся $3$ варианта, для каждой из четырёх средних цифр — по $8$ вариантов, для последней — $6$ вариантов.$$N_0=3\cdot 8^4\cdot 6=73728$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Определите количество пятизначных чисел, записанных в девятеричной системе счисления, в записи которых ровно одна цифра 1, при этом никакая чётная цифра не стоит рядом с цифрой 1.
- 1
В девятеричной системе используются цифры от 0 до 8. Так как цифра 1 должна встречаться ровно один раз, на остальных позициях доступны 8 цифр. Рядом с цифрой 1 могут стоять только нечётные цифры 3, 5 и 7.
- 2
Если цифра 1 стоит на первой позиции, рядом с ней 3 варианта, а на трёх остальных позициях по 8 вариантов:$$3\cdot8\cdot8\cdot8=1536$$
Ещё 5 шагов — в полном решении
243ФИПИ 6A61CF№ 8Повышенная Все 4-буквенные слова, в составе которых могут быть только буквы А, И, О, У, Э, записаны в алфавитном порядке и пронумерованы. Под каким номером стоит слово ИЭУЭ?
- 1
Упорядочим буквы и сопоставим им номера, начиная с нуля: А — 0, И — 1, О — 2, У — 3, Э — 4.$$ИЭУЭ \rightarrow 1,4,3,4$$
- 2
Поскольку все слова имеют длину 4, их порядок совпадает с порядком четырёхзначных чисел в системе счисления с основанием 5.$$1 \cdot 5^3 + 4 \cdot 5^2 + 3 \cdot 5 + 4 = 244$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
244ФИПИ 6CFD30№ 8Повышенная Все пятибуквенные слова, в составе которых могут быть только русские буквы А, Л, П, Ц, Я, записаны в алфавитном порядке и пронумерованы начиная с 1. Под каким номером в списке идёт первое слово…
- 1
В алфавитном порядке буквы имеют номера: А — 0, Л — 1, П — 2, Ц — 3, Я — 4. Так как буква Л запрещена, а слово должно содержать не более одной буквы А и ровно две буквы Ц, минимальное подходящее слово начинается с А.
- 2
После единственной буквы А выбираем минимальные допустимые буквы. До двух букв Ц можно поставить две буквы П, поэтому первое подходящее слово — АППЦЦ.$$АППЦЦ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
245ФИПИ 74CBA5№ 8Повышенная Все пятибуквенные слова, в составе которых могут быть только русские буквы Л, А, Й, М, записаны в алфавитном порядке и пронумерованы начиная с 1. Ниже приведено начало списка. 1. ААААА 2. ААААЙ 3…
- 1
Буквы упорядочены так: А, Й, Л, М. Каждое пятибуквенное слово можно рассматривать как запись числа в системе счисления с основанием 4, где буквам соответствуют цифры 0, 1, 2, 3.
- 2
Чтобы получить последнее подходящее слово, первая буква должна быть М. После неё букву М использовать нельзя. Максимальное слово без соседних букв Л имеет вид МЛЙЛЙ.
Ещё 1 шаг — в полном решении
246ФИПИ 77B365№ 8Повышенная Все 4-буквенные слова, в составе которых могут быть только буквы Л, Е, М, У, Р, записаны в алфавитном порядке и пронумерованы, начиная с 1. Ниже приведено начало списка: 1. ЕЕЕЕ; 2. ЕЕЕЛ; 3. ЕЕЕМ…
- 1
В алфавитном порядке перед буквой У находятся четыре буквы: Е, Л, М и Р.$$4$$
- 2
Для каждого варианта первой буквы оставшиеся три позиции заполняются любыми из пяти букв.$$5^3 = 125$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
247ФИПИ 7CE284№ 8Повышенная Все 6-буквенные слова, составленные из букв А, И, О, У, Э, записаны в алфавитном порядке и пронумерованы. Вот начало списка: 1. АААААА; 2. АААААИ; 3. АААААО; 4. АААААУ. Под каким номером стоит слово…
- 1
Буквы упорядочены так: А, И, О, У, Э. Для третьей буквы И перед ней есть одна буква — А. После неё остаются три позиции, поэтому таких слов $1 \cdot 5^3$.$$1 \cdot 5^3 = 125$$
- 2
Для четвёртой буквы Э перед ней расположены четыре буквы, а после неё остаются две позиции.$$4 \cdot 5^2 = 100$$
Ещё 2 шага — в полном решении
248ФИПИ 89D841№ 8Повышенная Все пятибуквенные слова, в составе которых могут быть только русские буквы Ц, И, Т, Р, У, С, записаны в алфавитном порядке и пронумерованы начиная с 1. Под каким номером в списке идёт последнее…
- 1
В алфавитном порядке разрешённые буквы идут так: И, Р, С, Т, У, Ц. Всего возможны $6^5$ слов.
- 2
Последнее слово с ровно одной буквой И должно иметь максимально возможные буквы в первых позициях. Букву И выгоднее поставить в последнюю позицию, а перед ней поставить четыре буквы Ц. Получаем слово ЦЦЦЦИ.
Ещё 2 шага — в полном решении
249ФИПИ 8A0A76№ 8Повышенная Определите количество восьмеричных пятизначных чисел, в записи которых не более двух цифр $7$.
- 1
Если цифр $7$ нет, первая цифра выбирается 6 способами: $1$–$6$, а остальные четыре цифры — по 7 способов, так как цифра $7$ запрещена.$$N_0=6\cdot7^4=14406$$
- 2
Если ровно одна цифра равна $7$, она может стоять первой, либо на одной из четырёх оставшихся позиций.$$N_1=7^4+6\cdot4\cdot7^3=2401+8232=10633$$
Ещё 2 шага — в полном решении
250ФИПИ 8B3602№ 8Повышенная Все 6-буквенные слова, составленные из букв К, Л, Н, Т, Э, записаны в алфавитном порядке и пронумерованы. Вот начало списка: 1. КККККК 2. КККККЛ 3. КККККН 4. КККККТ …… Под каким номером стоит слово…
- 1
Алфавит содержит 5 букв: К, Л, Н, Т, Э. Слова упорядочены как записи в пятеричной системе счисления с цифрами от 0 до 4.$$К=0,\ Л=1,\ Н=2,\ Т=3,\ Э=4$$
- 2
В слове ККЛККН третья буква Л. Перед ней на этой позиции может стоять только К, поэтому перед нужной группой находятся слова с началом ККК. Таких слов $5^3=125$.$$5^3=125$$
Ещё 2 шага — в полном решении
251ФИПИ 8C0410№ 8Повышенная Все 4-буквенные слова, в составе которых могут быть только буквы Л, Е, М, У, Р, записаны в алфавитном порядке и пронумерованы, начиная с 1. Под каким номером в списке идёт первое слово, которое…
- 1
В алфавитном порядке буква Е идёт перед буквой Л, поэтому сначала будут записаны все слова, начинающиеся с Е.
- 2
После первой буквы остаются три позиции. Каждую из них можно заполнить одной из пяти разрешённых букв.$$5^3 = 125$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
252ФИПИ 927AAC№ 8Повышенная Все шестибуквенные слова, составленные из букв А, В, О, Р, Т, записаны в алфавитном порядке и пронумерованы начиная с 1. Под каким номером стоит слово ВОРОТА?
- 1
Буквы упорядочены так: А, В, О, Р, Т. Позиции букв слова ВОРОТА имеют номера $1, 2, 3, 4, 5$ соответственно, если считать с нуля.$$В\,О\,Р\,О\,Т\,А \rightarrow 1,2,3,2,4,0$$
- 2
До слова ВОРОТА находится указанное количество слов с меньшей буквой на каждой позиции.$$1\cdot5^5 + 2\cdot5^4 + 3\cdot5^3 + 2\cdot5^2 + 4\cdot5^1 + 0\cdot5^0 = 3125+1250+375+50+20=4820$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
253ФИПИ 967986№ 8Повышенная Все 4-буквенные слова, составленные из букв М, А, Р, Т, записаны в алфавитном порядке и пронумерованы, начиная с 1. Ниже приведено начало списка: 1. АААА 2. АААМ 3. АААР 4. АААТ 5. ААМА … Под каким…
- 1
Алфавитный порядок букв: А, М, Р, Т. Перед словами, начинающимися с Т, расположены все слова, начинающиеся с А, М или Р.
- 2
Для каждой фиксированной первой буквы оставшиеся три позиции можно заполнить любыми из четырёх букв.$$4^3 = 64$$
Ещё 2 шага — в полном решении
254ФИПИ 977F25№ 8Повышенная Все пятибуквенные слова, составленные из букв С, Т, Р, О, К, А, записаны в алфавитном порядке и пронумерованы. Определите, под каким номером в этом списке стоит последнее слово с чётным номером…
- 1
Буквы в алфавитном порядке имеют номера: А — 0, К — 1, О — 2, Р — 3, С — 4, Т — 5. Всего используется система счисления с основанием 6.
- 2
Чтобы слово было последним, оно должно начинаться с максимально возможной буквы Т. Единственную букву С выгоднее поставить как можно правее; последняя позиция должна быть максимальной буквой Т. Получаем слово ТТТРТ.
Ещё 2 шага — в полном решении
255ФИПИ 9CD54C№ 8Повышенная Все 4-буквенные слова, составленные из букв М, А, Р, Т, записаны в алфавитном порядке и пронумерованы, начиная с 1. Ниже приведено начало списка: 1. АААА; 2. АААМ; 3. АААР; 4. АААТ; 5. ААМА. Под…
- 1
В алфавитном порядке сначала идут все слова, начинающиеся с буквы А.
- 2
После первой буквы остаются три позиции. Каждую из них можно заполнить одной из четырёх букв, поэтому количество слов, начинающихся с А, равно:$$4^3 = 64$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
256ФИПИ A25EED№ 8Повышенная Все 5-буквенные слова, составленные из букв К, М, Р, записаны в алфавитном порядке. Под каким номером стоит слово РРРМР?
- 1
Перед словами, начинающимися с Р, находятся все слова, начинающиеся с К или М. Таких слов $2 \cdot 3^4$.$$2 \cdot 3^4 = 162$$
- 2
После первой буквы Р учитываем слова с меньшими вариантами второй и третьей букв: перед Р стоят К и М.$$2 \cdot 3^3 + 2 \cdot 3^2 = 54 + 18$$
Ещё 2 шага — в полном решении
257ФИПИ A2F421№ 8Повышенная Определите количество пятизначных чисел, записанных в девятеричной системе счисления, в записи которых ровно одна цифра 3, при этом никакая из цифр 5, 6, 7, 8 не стоит рядом с цифрой 3.
- 1
Единственная цифра 3 может находиться в одной из пяти позиций. Для каждой позиции учитываем ограничения на соседние цифры и запрет ведущего нуля.
- 2
В соседних позициях с цифрой 3 разрешены только цифры 0, 1, 2 и 4, а в остальных позициях используются цифры девятеричной системы, кроме 3.
Ещё 1 шаг — в полном решении
258ФИПИ A6473A№ 8Повышенная Все пятибуквенные слова, составленные из букв А, К, Ц, Е, Н, Т, записаны в алфавитном порядке и пронумерованы. Определите, под каким номером в этом списке стоит первое слово с чётным номером…
- 1
В алфавитном порядке буквы расположены так: А, Е, К, Н, Т, Ц. Условие на первую букву исключает А, Е и К, поэтому наиболее ранняя возможная первая буква — Н.
- 2
Чтобы слово с первой буквой Н было самым ранним и содержало не менее двух букв Ц, две буквы Ц нужно поставить в самые правые позиции, а остальные позиции заполнить наименьшей буквой А. Получаем слово НААЦЦ.
Ещё 2 шага — в полном решении
259ФИПИ AC04ED№ 8Повышенная Все 4-буквенные слова, в составе которых могут быть буквы Н, О, Т, К, И, записаны в алфавитном порядке и пронумерованы, начиная с 1. Под каким номером в списке идёт первое слово, которое начинается…
- 1
Расположим данные буквы в алфавитном порядке: И, К, Н, О, Т. Первое слово, начинающееся с О, появится после всех слов, начинающихся с И, К и Н.
- 2
Для каждой из трёх первых букв остальные три позиции могут быть заполнены любой из пяти букв.$$3 \cdot 5^3 = 375$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
260ФИПИ B2493A№ 8Повышенная Все пятибуквенные слова, составленные из букв А, К, Ц, Е, Н, Т, записаны в алфавитном порядке и пронумерованы. Вот начало списка: 1. ААААА 2. ААААЕ 3. ААААК 4. ААААН 5. ААААТ 6. ААААЦ Определите…
- 1
Порядок букв в алфавите: А, Е, К, Н, Т, Ц. Слово не должно содержать Ц, а его первая буква не может быть Н или Т. Поэтому первая буква последнего подходящего слова — К.
- 2
Чтобы получить последнее слово в алфавитном порядке, после К ставим максимально возможные разрешённые буквы Т. Буква А должна присутствовать, поэтому помещаем её в самую правую позицию: КТТТА.
Ещё 2 шага — в полном решении