Математика ОГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Сложение десятичных дробей

Найдите значение выражения $9{,}8 + 8{,}6$.

1. 1
   Записываем числа друг под другом, совмещая запятые.$$9{,}8 + 8{,}6$$
2. 2
   Складываем десятичные части и целые части:

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\sqrt{\dfrac{16a^{14}}{a^8}}$ при $a=3$.

1. 1
   Упростим дробь степеней:$$\dfrac{16a^{14}}{a^8}=16a^{14-8}=16a^6$$
2. 2
   Извлечём квадратный корень:$$\sqrt{16a^6}=4a^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Рационализация знаменателей

Найдите значение выражения $\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}+\dfrac{1}{2-\sqrt{3}}$.

1. 1
   Приведём дроби к общему знаменателю:$$\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}+\dfrac{1}{2-\sqrt{3}}=\dfrac{(2-\sqrt{3})+(2+\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}$$
2. 2
   Упростим числитель и знаменатель, применив разность квадратов:$$\dfrac{4}{2^2-(\sqrt{3})^2}=\dfrac{4}{4-3}=4$$

Сложение дробей

Найдите значение выражения $\dfrac{1}{25} + \dfrac{43}{50}$.

1. 1
   Приведём дробь $\dfrac{1}{25}$ к знаменателю $50$.$$\dfrac{1}{25} = \dfrac{2}{50}$$
2. 2
   Сложим дроби и сократим результат.$$\dfrac{2}{50} + \dfrac{43}{50} = \dfrac{45}{50} = \dfrac{9}{10} = 0{,}9$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\sqrt{\dfrac{1}{25}\cdot x^8y^2}$ при $x=3$ и $y=5$.

1. 1
   Подставим $x=3$ и $y=5$ в выражение.$$\sqrt{\dfrac{1}{25}\cdot 3^8\cdot 5^2}$$
2. 2
   Сократим множитель $5^2=25$ с числом в знаменателе.$$\sqrt{\dfrac{1}{25}\cdot 3^8\cdot 25}=\sqrt{3^8}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Произведение сопряжённых выражений

Найдите значение выражения $(\sqrt{19}-\sqrt{2})(\sqrt{19}+\sqrt{2})$.

1. 1
   Применим формулу разности квадратов.$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$
2. 2
   Подставим значения под корнями и вычислим:$$(\sqrt{19}-\sqrt{2})(\sqrt{19}+\sqrt{2})=(\sqrt{19})^2-(\sqrt{2})^2=19-2=17$$

Степени с целым показателем

Найдите значение выражения $a^{-15} \cdot (a^9)^2$ при $a = 2$.

1. 1
   Применим правило возведения степени в степень:$$(a^9)^2 = a^{18}$$
2. 2
   При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются:$$a^{-15} \cdot a^{18} = a^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Деление обыкновенных дробей

Найдите значение выражения $\dfrac{3}{5} : \dfrac{4}{35}$.

1. 1
   Заменяем деление умножением на обратную дробь.$$\dfrac{3}{5} : \dfrac{4}{35} = \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{35}{4}$$
2. 2
   Сокращаем и вычисляем произведение.$$\dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{35}{4} = \dfrac{21}{4} = 5{,}25$$

Деление десятичных дробей

Найдите значение выражения $\dfrac{13{,}2}{1{,}2}$.

1. 1
   Умножим делимое и делитель на 10, чтобы представить дробь в виде деления целых чисел.$$\dfrac{13{,}2}{1{,}2}=\dfrac{132}{12}$$
2. 2
   Выполним деление.$$\dfrac{132}{12}=11$$

Значение степени и дроби

Найдите значение выражения $\dfrac{4^5}{16}$.

1. 1
   Представим число $16$ в виде степени с основанием $4$:$$16=4^2$$
2. 2
   Применим правило деления степеней с одинаковым основанием:$$\dfrac{4^5}{16}=\dfrac{4^5}{4^2}=4^{5-2}=4^3=64$$

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\left(\sqrt{45}-\sqrt{5}\right)\cdot\sqrt{5}$.

1. 1
   Разложим число $45$ на множители и упростим корень:$$\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot5}=3\sqrt{5}$$
2. 2
   Подставим полученное выражение и выполним действия:$$(3\sqrt{5}-\sqrt{5})\cdot\sqrt{5}=2\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}=2\cdot5=10$$

Деление обыкновенных дробей

Найдите значение выражения $\dfrac{14}{5}:\dfrac{7}{2}$.

1. 1
   Заменяем деление умножением на обратную дробь.$$\dfrac{14}{5}:\dfrac{7}{2}=\dfrac{14}{5}\cdot\dfrac{2}{7}$$
2. 2
   Сокращаем дробь и переводим результат в десятичную форму.$$\dfrac{14\cdot2}{5\cdot7}=\dfrac{4}{5}=0{,}8$$

Свойства степеней

Найдите значение выражения $a^6 \cdot a^{18} : a^{20}$ при $a = 2$.

1. 1
   Применим свойства степеней с одинаковым основанием: при умножении показатели складываются, а при делении вычитаются.$$a^6 \cdot a^{18} : a^{20} = a^{6+18-20} = a^4$$
2. 2
   Подставим значение $a = 2$ и вычислим степень.$$2^4 = 16$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $(a^3)^{-4} : a^{-14}$ при $a = 5$.

1. 1
   Преобразуем степень произведения показателей:$$(a^3)^{-4} = a^{-12}$$
2. 2
   При делении степеней с одинаковым основанием вычитаем показатели:$$a^{-12} : a^{-14} = a^{-12-(-14)} = a^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения с корнем

Найдите значение выражения $\left(\sqrt{19}-7\right)^2+14\sqrt{19}$.

1. 1
   Раскроем квадрат разности:$$\left(\sqrt{19}-7\right)^2=\left(\sqrt{19}\right)^2-2\cdot\sqrt{19}\cdot7+7^2$$
2. 2
   Подставим полученное выражение и упростим:$$19-14\sqrt{19}+49+14\sqrt{19}=68$$

Значение выражения с корнем

Найдите значение выражения $\sqrt{a^2 - 6ab + 9b^2}$ при $a = 3$ и $b = 6$.

1. 1
   Подкоренное выражение представляет собой квадрат разности:$$a^2 - 6ab + 9b^2 = (a - 3b)^2$$
2. 2
   Тогда значение выражения равно модулю разности:$$\sqrt{(a - 3b)^2} = |a - 3b|$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Умножение десятичных дробей

Найдите значение выражения $1{,}6 \cdot 5{,}1$.

1. 1
   Умножим числа без запятых и учтём две цифры после запятой в исходных множителях.$$1{,}6 \cdot 5{,}1 = \frac{16 \cdot 51}{100}$$
2. 2
   Выполним вычисление.$$\frac{16 \cdot 51}{100} = \frac{816}{100} = 8{,}16$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{7^{-3} \cdot 7^{13}}{7^8}$.

1. 1
   Применим свойства степеней с одинаковым основанием и объединим степени.$$\dfrac{7^{-3} \cdot 7^{13}}{7^8} = 7^{-3+13-8}$$
2. 2
   Вычислим показатель степени.$$-3+13-8=2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{(a^9)^3 \cdot a^7}{a^{29}}$ при $a = 2$.

1. 1
   Преобразуем степень в скобках и объединим степени с одинаковым основанием.$$(a^9)^3 \cdot a^7 = a^{9 \cdot 3} \cdot a^7 = a^{27+7} = a^{34}$$
2. 2
   Разделим степени с одинаковым основанием.$$\dfrac{a^{34}}{a^{29}} = a^{34-29} = a^5$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{(9^3)^{-4}}{9^{-14}}$.

1. 1
   Применим правило возведения степени в степень:$$(9^3)^{-4}=9^{3\cdot(-4)}=9^{-12}$$
2. 2
   При делении степеней с одинаковым основанием вычитаем показатели:$$\dfrac{9^{-12}}{9^{-14}}=9^{-12-(-14)}=9^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении