Решения заданий ФИПИ ОГЭ по математике: «Треугольники» — с ответами

Угол при биссектрисе

В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle BAC = 86^\circ$, $AD$ — биссектриса. Найдите угол $BAD$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как $AD$ — биссектриса угла $BAC$, она делит этот угол пополам.$$\angle BAD = \frac{1}{2}\angle BAC$$
2. 2
   Подставим известную величину угла:$$\angle BAD = \frac{86^\circ}{2} = 43^\circ$$

Медиана треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 12$, $BM$ — медиана, $BM = 11$. Найдите $AM$.

1. 1
   Так как $BM$ — медиана треугольника $ABC$, точка $M$ является серединой стороны $AC$.$$AM = MC$$
2. 2
   Следовательно, длина отрезка $AM$ равна половине длины $AC$.$$AM = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{12}{2} = 6$$

Высота равностороннего треугольника

Сторона равностороннего треугольника равна $10\sqrt{3}$. Найдите высоту этого треугольника.

1. 1
   Высота равностороннего треугольника выражается через его сторону формулой:$$h=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$$
2. 2
   Подставим значение стороны и упростим выражение:$$h=\dfrac{10\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{2}=\dfrac{10\cdot3}{2}=15$$

Катет по косинусу угла

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\cos B = \dfrac{2}{5}$, $AB = 10$. Найдите $BC$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой, а $BC$ — прилежащим к углу $B$ катетом.$$\cos B = \dfrac{BC}{AB}$$
2. 2
   Подставим известные значения и найдём длину катета $BC$.$$\dfrac{2}{5} = \dfrac{BC}{10},\quad BC = \dfrac{2 \cdot 10}{5} = 4$$

Внешний угол треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $142^\circ$. Найдите внешний угол при вершине $C$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Внутренний и внешний углы при вершине $C$ являются смежными, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$$\alpha + 142^\circ = 180^\circ$$
2. 2
   Находим внешний угол:$$\alpha = 180^\circ - 142^\circ = 38^\circ$$

Нахождение катета по тангенсу

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\tg B = \dfrac{7}{6}$, $BC = 18$. Найдите $AC$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, стороны $AC$ и $BC$ являются катетами. Для угла $B$ катет $AC$ — противолежащий, а $BC$ — прилежащий.$$\tg B = \dfrac{AC}{BC}$$
2. 2
   Подставим известные значения и найдём длину катета $AC$.$$AC = BC \cdot \tg B = 18 \cdot \dfrac{7}{6} = 21$$

Средняя линия треугольника

Точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$, сторона $AB$ равна 21, сторона $BC$ равна 22, сторона $AC$ равна 28. Найдите $MN$.

1. 1
   Так как точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $BC$, отрезок $MN$ является средней линией треугольника $ABC$.$$MN \parallel AC$$
2. 2
   Средняя линия треугольника равна половине третьей стороны.$$MN = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{28}{2} = 14$$

Катет прямоугольного треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\tg B = \dfrac{8}{5}$, $BC = 20$. Найдите $AC$.

1. 1
   В прямоугольном треугольнике относительно угла $B$ катет $AC$ является противолежащим, а катет $BC$ — прилежащим.$$\tg B = \dfrac{AC}{BC}$$
2. 2
   Подставим известные значения и найдём длину катета $AC$.$$\dfrac{8}{5} = \dfrac{AC}{20},\quad AC = 20 \cdot \dfrac{8}{5} = 32$$

Гипотенуза прямоугольного треугольника

Катеты прямоугольного треугольника равны 16 и 30. Найдите гипотенузу этого треугольника.

1. 1
   Обозначим гипотенузу через $c$. По теореме Пифагора:$$c^2 = 16^2 + 30^2$$
2. 2
   Вычислим сумму квадратов катетов:$$c^2 = 256 + 900 = 1156$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Катет прямоугольного треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\tg B = \dfrac{4}{7}$, $BC = 35$. Найдите $AC$.

1. 1
   В прямоугольном треугольнике тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему.$$\tg B = \dfrac{AC}{BC}$$
2. 2
   Подставим известные значения.$$\dfrac{4}{7} = \dfrac{AC}{35}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Средняя линия треугольника

Точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$, сторона $AB$ равна 26, сторона $BC$ равна 39, сторона $AC$ равна 48. Найдите $MN$.

1. 1
   Точки $M$ и $N$ — середины двух сторон треугольника, поэтому $MN$ является средней линией.$$MN \parallel AC$$
2. 2
   Средняя линия треугольника равна половине третьей стороны.$$MN = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{48}{2} = 24$$

Синус острого угла

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AC = 16$, $AB = 40$. Найдите $\sin B$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Для угла $B$ противолежащая сторона — $AC$.$$\sin B = \dfrac{AC}{AB}$$
2. 2
   Подставим известные значения и сократим дробь.$$\sin B = \dfrac{16}{40} = 0{,}4$$

Угол в треугольнике

В треугольнике проведена биссектриса. Найдите градусную меру указанного угла, если даны значения двух углов треугольника.

1. 1
   По свойству биссектрисы соответствующий угол делится на две равные части.$$\angle_1=\angle_2$$
2. 2
   Используем, что сумма углов треугольника равна $180^\circ$, и подставляем данные условия.$$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Тангенс угла прямоугольного треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 5$, $AC = 3$. Найдите $\tg B$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, стороны $AC$ и $BC$ являются катетами. Для угла $B$ противолежащий катет — $AC$, а прилежащий катет — $BC$.$$\tg B = \dfrac{AC}{BC}$$
2. 2
   Подставим известные длины катетов:$$\tg B = \dfrac{3}{5} = 0.6$$

Угол при высоте треугольника

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $BH$, $\angle BAC = 73^\circ$. Найдите угол $ABH$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Высота $BH$ перпендикулярна стороне $AC$, поэтому угол $AHB$ прямой.$$\angle AHB = 90^\circ$$
2. 2
   Угол $BAH$ совпадает с углом $BAC$, поскольку точки $A$, $H$ и $C$ лежат на одной прямой.$$\angle BAH = \angle BAC = 73^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол при биссектрисе

В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle BAC = 24^\circ$, $AD$ — биссектриса. Найдите угол $BAD$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как $AD$ — биссектриса угла $BAC$, она делит этот угол на два равных угла.$$\angle BAD = \frac{1}{2}\angle BAC$$
2. 2
   Подставим значение угла $BAC$:$$\angle BAD = \frac{24^\circ}{2} = 12^\circ$$

Гипотенуза прямоугольного треугольника

Катеты прямоугольного треугольника равны 20 и 15. Найдите гипотенузу этого треугольника.

1. 1
   По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.$$c^2 = a^2 + b^2$$
2. 2
   Подставим значения катетов:$$c^2 = 20^2 + 15^2 = 400 + 225 = 625$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Катет прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 9 и 41 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.

1. 1
   По теореме Пифагора квадрат неизвестного катета равен разности квадратов гипотенузы и известного катета.$$x^2=41^2-9^2$$
2. 2
   Вычислим значение:$$x^2=1681-81=1600$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол при высоте треугольника

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $BH$, угол $\angle BAC = 9^\circ$. Найдите угол $\angle ABH$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Поскольку $BH$ — высота треугольника $ABC$, она перпендикулярна стороне $AC$. Поэтому $\angle AHB = 90^\circ$.$$\angle AHB = 90^\circ$$
2. 2
   Точка $H$ лежит на стороне $AC$, поэтому угол $\angle BAH$ равен углу $\angle BAC$.$$\angle BAH = 9^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина половины основания

В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 58$, $BM$ — медиана, $BM = 37$. Найдите $AM$.

1. 1
   Так как $BM$ — медиана треугольника $ABC$, точка $M$ является серединой стороны $AC$.$$AM = MC = \dfrac{AC}{2}$$
2. 2
   Подставим значение длины стороны $AC$.$$AM = \dfrac{58}{2} = 29$$