Решения заданий ФИПИ ОГЭ по математике: «Элементы теории вероятностей» — с ответами

Вероятность пазла с машиной

Родительский комитет закупил 10 пазлов для подарков детям в связи с окончанием учебного года, из них 4 с машинами и 6 с видами городов. Подарки распределяются случайным образом между 10 детьми…

1. 1
   Всего имеется 10 пазлов, каждый из которых с одинаковой вероятностью может достаться Володе.$$n = 10$$
2. 2
   Благоприятными являются 4 пазла с машинами.$$m = 4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вероятность по дереву опыта

На рисунке изображено дерево случайного опыта. Найдите вероятность события.

1. 1
   Вероятность события по дереву находят как сумму вероятностей всех подходящих исходов; вероятность каждого исхода равна произведению вероятностей вдоль соответствующей ветви.$$P(A)=\sum_i\prod_j p_{ij}$$
2. 2
   В предоставленном скриншоте дерево случайного опыта и обозначение события не отображаются, поэтому исходные вероятности и нужные пути неизвестны.

Вероятность выпадения решки

Монету бросили 25 раз. Известно, что орёл выпал 15 раз. Найдите вероятность того, что при шестом по счёту броске выпала решка.

1. 1
   Определим число выпадений решки:$$25 - 15 = 10$$
2. 2
   Вероятность выпадения решки при выбранном броске равна отношению числа выпадений решки к общему числу бросков:$$P = \dfrac{10}{25} = 0{,}4$$

Вероятность решки в броске

Монету бросили 20 раз. Известно, что орёл выпал 13 раз. Найдите вероятность того, что при девятом по счёту броске выпала решка.

1. 1
   Число выпадений решки равно разности между общим числом бросков и числом выпадений орла.$$20 - 13 = 7$$
2. 2
   При фиксированном общем числе орлов каждая из 20 позиций равновероятно может оказаться позицией с решкой.$$P = \dfrac{7}{20} = 0{,}35$$

Вероятность исправной ручки

Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,13. Покупатель в магазине выбирает одну шариковую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.

1. 1
   Событие «ручка пишет хорошо» противоположно событию «ручка пишет плохо или не пишет».$$P(\text{хорошо}) = 1 - P(\text{плохо})$$
2. 2
   Подставим известную вероятность и вычислим:$$P(\text{хорошо}) = 1 - 0{,}13 = 0{,}87$$

Вероятность второго зелёного карандаша

Из ящика, где хранятся 9 жёлтых и 12 зелёных карандашей, не глядя достали два карандаша. Известно, что первый карандаш оказался зелёным. Найдите вероятность того, что второй карандаш тоже оказался…

1. 1
   Так как первый карандаш оказался зелёным, из ящика убрали один зелёный карандаш. Осталось 11 зелёных карандашей и всего 20 карандашей.
2. 2
   Вероятность того, что второй карандаш окажется зелёным, равна отношению числа оставшихся зелёных карандашей к общему числу оставшихся карандашей.$$P=\dfrac{11}{20}=0{,}55$$

Вероятность решки при броске

Монету бросили 25 раз. Известно, что орёл выпал 12 раз. Найдите вероятность того, что при пятом по счёту броске выпала решка.

1. 1
   Определим число выпадений решки:$$25 - 12 = 13$$
2. 2
   Из-за симметрии бросков вероятность того, что решка выпала на пятом броске, равна доле выпадений решки среди всех бросков:$$P = \dfrac{13}{25} = 0{,}52$$

Вероятность по диаграмме Эйлера

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий в некотором случайном опыте с равновозможными исходами. В каждой области указано, сколько исходов принадлежит этой области. Найдите…

1. 1
   На предоставленном скриншоте отсутствует диаграмма Эйлера: не видны названия событий, границы областей и числа исходов.
2. 2
   Без этих данных невозможно определить число благоприятных исходов и общее число исходов, а значит, невозможно вычислить вероятность.$$P(A)=\dfrac{N(A)}{N(\Omega)}$$

Вероятность события по диаграмме

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий, обозначения которых не распознаны, в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события, и около каждого указана его…

1. 1
   Для решения необходимо определить по диаграмме Эйлера область искомого события и вероятности элементарных событий, расположенных в этой области.
2. 2
   Затем вероятности соответствующих элементарных событий складываются.$$P(E)=\sum_{\omega\in E}P(\omega)$$

Вероятность второго зелёного карандаша

Из ящика, где хранятся 14 жёлтых и 12 зелёных карандашей, не глядя достали два карандаша. Известно, что первый карандаш оказался зелёным. Найдите вероятность того, что второй карандаш тоже оказался…

1. 1
   После извлечения первого зелёного карандаша осталось $14+12-1=25$ карандашей.$$14+12-1=25$$
2. 2
   Зелёных карандашей осталось $12-1=11$.$$12-1=11$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вероятность приезда жёлтого такси

В фирме такси в данный момент свободно 10 машин: 5 чёрных, 3 жёлтых и 2 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему…

1. 1
   Общее число возможных машин — 10, благоприятных машин — 3 жёлтые.$$n=10,\quad m=3$$
2. 2
   Находим вероятность приезда жёлтого такси:$$P=\frac{m}{n}=\frac{3}{10}=0.3$$

Вероятность по дереву

На рисунке изображено дерево случайного опыта. Найдите вероятность события.

1. 1
   На предоставленном изображении дерево случайного опыта и обозначение события отсутствуют, поэтому числовые данные для вычисления вероятности недоступны.

Вероятность жёлтого такси

В фирме такси в данный момент свободно 20 машин: 2 чёрных, 5 жёлтых и 13 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему…

1. 1
   Всего свободно 20 машин, из них 5 жёлтых. Благоприятными являются 5 исходов из 20 возможных.$$P = \dfrac{5}{20}$$
2. 2
   Вычисляем вероятность приезда жёлтого такси:$$P = \dfrac{5}{20} = 0{,}25$$

Вероятность события

В случайном опыте $20$ равновозможных элементарных событий, из которых $7$ благоприятствуют событию $A$. Вычислите вероятность события $A$.

1. 1
   Общее число равновозможных элементарных событий равно $20$, число благоприятных событий равно $7$.$$n=20,\quad m=7$$
2. 2
   Вычисляем вероятность события $A$ как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов.$$P(A)=\dfrac{m}{n}=\dfrac{7}{20}=0{,}35$$

Вероятность второго зелёного карандаша

Из ящика, где хранятся 13 жёлтых и 13 зелёных карандашей, не глядя достали два карандаша. Известно, что первый карандаш оказался зелёным. Найдите вероятность того, что второй карандаш тоже оказался…

1. 1
   Так как первый карандаш оказался зелёным, в ящике осталось 12 зелёных карандашей и всего 25 карандашей.$$13-1=12,\quad 13+13-1=25$$
2. 2
   Вероятность того, что второй карандаш окажется зелёным, равна отношению числа зелёных карандашей к общему числу оставшихся карандашей.$$P=\dfrac{12}{25}=0{,}48$$

Вероятность выпадения решки

Монету бросили 20 раз. Известно, что орёл выпал 9 раз. Найдите вероятность того, что при десятом по счёту броске выпала решка.

1. 1
   Всего было 20 бросков, из них 9 раз выпал орёл. Значит, решка выпала $20 - 9 = 11$ раз.$$20 - 9 = 11$$
2. 2
   При условии известного общего числа выпадений орла вероятность того, что решка пришлась на десятый бросок, равна отношению числа решек к общему числу бросков.$$P = \dfrac{11}{20} = 0{,}55$$

Вероятность выпадения решки

Монету бросили 25 раз. Известно, что орёл выпал 13 раз. Найдите вероятность того, что при четвёртом по счёту броске выпала решка.

1. 1
   Всего было 25 бросков, из них орёл выпал 13 раз. Значит, решка выпала:$$25 - 13 = 12$$
2. 2
   При условии, что всего было 12 выпадений решки, вероятность того, что решка выпала именно при четвёртом броске, равна отношению числа выпадений решки к общему числу бросков.$$P = \dfrac{12}{25} = 0{,}48$$

Вероятность пазла с машиной

Родительский комитет закупил 10 пазлов для подарков детям в связи с окончанием учебного года, из них 2 с машинами и 8 с видами городов. Подарки распределяются случайным образом между 10 детьми…

1. 1
   Всего имеется 10 равновероятных вариантов пазла, который может достаться Андрюше.$$n = 10$$
2. 2
   Благоприятными являются 2 варианта — пазлы с машинами.$$m = 2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вероятность хорошей ручки

Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,21. Покупатель в магазине выбирает одну шариковую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.

1. 1
   Событие «ручка пишет хорошо» противоположно событию «ручка пишет плохо или не пишет».$$P(\text{хорошо}) = 1 - P(\text{плохо})$$
2. 2
   Подставим известную вероятность:$$P(\text{хорошо}) = 1 - 0{,}21 = 0{,}79$$

Вероятность жёлтого такси

В фирме такси в данный момент свободно 20 машин: 3 чёрных, 3 жёлтых и 14 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему…

1. 1
   Всего свободно 20 машин, из них жёлтых такси — 3.
2. 2
   Вероятность того, что случайно выбранная машина окажется жёлтой, равна отношению числа жёлтых машин к общему числу машин.$$P = \dfrac{3}{20} = 0{,}15$$