Решения заданий ФИПИ ОГЭ по математике: «Элементы теории вероятностей» — с ответами

Вероятность события по диаграмме

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. В каждой из четырёх областей указана вероятность соответствующего события. Найдите вероятность…

1. 1
   Событие $A$ состоит из двух непересекающихся областей: $A\setminus B$ и $A\cap B$.$$P(A)=P(A\setminus B)+P(A\cap B)$$
2. 2
   Числовые значения областей на предоставленном изображении диаграммы отсутствуют, поэтому получить численный ответ невозможно.

Вероятность исправного фонарика

В среднем из 100 карманных фонариков, поступивших в продажу, четыре неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.

1. 1
   Найдём количество исправных фонариков среди 100 поступивших:$$100 - 4 = 96$$
2. 2
   Вероятность выбрать исправный фонарик равна отношению числа исправных фонариков к общему числу фонариков:$$P = \dfrac{96}{100} = 0{,}96$$

Вероятность старта россиянина

В лыжных гонках участвуют 11 спортсменов из России, 6 спортсменов из Норвегии и 3 спортсмена из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что…

1. 1
   Определим общее число спортсменов:$$11 + 6 + 3 = 20$$
2. 2
   Благоприятны 11 исходов — первыми стартуют спортсмены из России.$$P = \dfrac{11}{20}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вероятность хорошей ручки

Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,2. Покупатель в магазине выбирает одну шариковую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.

1. 1
   Событие «ручка пишет хорошо» противоположно событию «ручка пишет плохо или не пишет».$$P(\text{хорошо}) = 1 - P(\text{плохо})$$
2. 2
   Подставим известную вероятность и выполним вычисление.$$P(\text{хорошо}) = 1 - 0{,}2 = 0{,}8$$

Вероятность события по диаграмме

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий и в некотором случайном опыте. В каждой из четырёх областей указана вероятность соответствующего события. Найдите вероятность события.

1. 1
   По диаграмме определяем области, составляющие искомое событие.
2. 2
   Вероятность события находим сложением вероятностей этих областей.$$P = \sum P_i = 0{,}3$$

Вероятность события по диаграмме

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте с равновозможными исходами. В каждой области указано, сколько исходов принадлежит этой области…

1. 1
   Для вычисления вероятности нужно сложить количества исходов в областях диаграммы, входящих в событие $A$.$$m=\sum n_i$$
2. 2
   Общее число исходов равно сумме чисел во всех областях диаграммы.$$n=\sum n_j$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вероятность старта шведа

В лыжных гонках участвуют 7 спортсменов из России, 1 спортсмен из Швеции и 2 спортсмена из Норвегии. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что…

1. 1
   Всего в гонках участвуют:$$7+1+2=10$$
2. 2
   Благоприятным является событие, при котором первым стартует единственный спортсмен из Швеции. Поэтому вероятность равна:$$P=\dfrac{1}{10}=0{,}1$$

Вероятность синей чашки

У бабушки 15 чашек: 9 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

1. 1
   Найдём количество чашек с синими цветами:$$15 - 9 = 6$$
2. 2
   Вероятность выбрать чашку с синими цветами равна отношению числа синих чашек к общему числу чашек:$$P = \dfrac{6}{15} = 0{,}4$$

Вероятность пазла с машиной

Родительский комитет закупил 15 пазлов для подарков детям в связи с окончанием учебного года, из них 12 с машинами и 3 с видами городов. Подарки распределяются случайным образом между 15 детьми…

1. 1
   Всего возможных вариантов получения Мишей пазла — 15, по одному варианту для каждого пазла.$$N = 15$$
2. 2
   Благоприятных вариантов, при которых Миша получает пазл с машиной, 12.$$M = 12$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вероятность исправного фонарика

В среднем из 75 карманных фонариков, поступивших в продажу, девять неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.

1. 1
   Найдём количество исправных фонариков:$$75 - 9 = 66$$
2. 2
   Вероятность выбрать исправный фонарик равна отношению числа исправных фонариков к общему числу фонариков:$$P = \dfrac{66}{75} = 0{,}88$$

Вероятность синей чашки

У бабушки 15 чашек: 6 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

1. 1
   Найдём количество чашек с синими цветами:$$15 - 6 = 9$$
2. 2
   Вероятность выбрать чашку с синими цветами равна отношению числа синих чашек к общему числу чашек:$$P = \dfrac{9}{15} = 0{,}6$$

Вероятность по дереву опыта

На рисунке изображено дерево случайного опыта. Найдите вероятность события.

1. 1
   Для решения нужно определить конечные ветви дерева, соответствующие указанному событию, и перемножить вероятности переходов на каждой такой ветви.$$P(\text{ветви})=p_1p_2\cdots p_n$$
2. 2
   Затем вероятности подходящих ветвей складываются. Однако на предоставленном скриншоте само дерево и обозначение события не отображаются.$$P(A)=\sum P(\text{подходящей ветви})$$

Вероятность выученного билета

На экзамене 30 билетов, Серёжа не выучил 9 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

1. 1
   Определим количество выученных билетов:$$30 - 9 = 21$$
2. 2
   Вероятность того, что попадётся выученный билет, равна отношению числа выученных билетов к общему числу билетов:$$P = \dfrac{21}{30} = 0{,}7$$

Вероятность по диаграмме Эйлера

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий в некотором случайном опыте с равновозможными исходами. В каждой области указано, сколько исходов принадлежит этой области. Найдите…

1. 1
   Для решения нужно определить общее число равновозможных исходов по числам, указанным во всех областях диаграммы.$$N = n_1 + n_2 + \dots + n_k$$
2. 2
   Затем нужно сложить числа исходов, принадлежащих искомому событию, и разделить полученную сумму на общее число исходов.$$P(A) = \dfrac{N_A}{N}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вероятность приезда жёлтого такси

В фирме такси в данный момент свободно 10 машин: 5 чёрных, 1 жёлтая и 4 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему…

1. 1
   Всего свободно 10 машин, и любая из них может оказаться ближайшей к заказчику.$$n = 10$$
2. 2
   Благоприятный исход только один — к заказчику приезжает единственная жёлтая машина.$$m = 1$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вероятность события

В случайном опыте равновозможных элементарных событий, из которых благоприятствуют событию . Вычислите вероятность события .

1. 1
   Для равновозможных элементарных событий вероятность вычисляется по формуле:$$P(A)=\dfrac{m}{n}$$
2. 2
   В распознанном условии и на изображении отсутствуют значения общего числа событий $n$ и числа благоприятных событий $m$. Поэтому численный ответ определить нельзя.

Вероятность синего маркера

Под классной доской в лотке лежат 28 чёрных и 12 синих маркеров для доски. Из коробки берут случайный маркер. Найдите вероятность того, что он окажется синим.

1. 1
   Общее число маркеров равно сумме чёрных и синих маркеров.$$28 + 12 = 40$$
2. 2
   Благоприятными являются 12 исходов — выбор синего маркера. Поэтому вероятность равна:$$P = \dfrac{12}{40} = 0{,}3$$

Вероятность по диаграмме Эйлера

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. Точками показаны все равновозможные элементарные события опыта. Найдите вероятность события.

1. 1
   Для решения нужно подсчитать общее число равновозможных элементарных событий на диаграмме.$$N = N(\Omega)$$
2. 2
   Затем нужно подсчитать число точек, принадлежащих искомому событию.$$P(E) = \dfrac{N(E)}{N(\Omega)}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вероятность приезда жёлтого такси

В фирме такси в данный момент свободно 12 машин: 2 чёрных, 6 жёлтых и 4 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему…

1. 1
   Всего свободно 12 машин, из них 6 жёлтых.
2. 2
   Вероятность приезда жёлтого такси равна отношению числа жёлтых машин к общему числу машин.$$P = \frac{6}{12} = 0{,}5$$

Вероятность исправной ручки

Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,02. Покупатель в магазине выбирает одну шариковую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.

1. 1
   Событие «ручка пишет хорошо» противоположно событию «ручка пишет плохо или не пишет».$$P(\text{хорошо}) = 1 - P(\text{плохо})$$
2. 2
   Подставим известную вероятность и выполним вычисление:$$P(\text{хорошо}) = 1 - 0{,}02 = 0{,}98$$