Решения заданий ФИПИ ОГЭ по математике: «Площади и измерения» — с ответами

Расстояние между точками

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображены две точки. Найдите расстояние между ними.

1. 1
   По рисунку горизонтальная разность координат точек равна 8 клеткам, а вертикальная — 6 клеткам.$$a=8,\quad b=6$$
2. 2
   По теореме Пифагора расстояние между точками равно:$$d=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$$

Расстояние между точками

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображены две точки. Найдите расстояние между ними.

1. 1
   Между точками по горизонтали — $3$ клетки, по вертикали — $4$ клетки.
2. 2
   По теореме Пифагора расстояние между точками равно:$$d=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$

Расстояние между точками

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображены две точки. Найдите расстояние между ними.

1. 1
   По рисунку горизонтальное расстояние между точками равно $5$ клеткам, а вертикальное — $12$ клеткам.$$a=5,\quad b=12$$
2. 2
   Расстояние между точками найдём по теореме Пифагора.$$d=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13$$

Площади двух кругов

На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?

1. 1
   По клетчатой сетке видно, что радиус большего круга в 2 раза больше радиуса меньшего.$$r_б = 2r_м$$
2. 2
   Площади кругов относятся как квадраты их радиусов.$$\dfrac{S_б}{S_м} = \dfrac{\pi r_б^2}{\pi r_м^2} = \left(\dfrac{r_б}{r_м}\right)^2 = 2^2 = 4$$

Площадь треугольника на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён треугольник. Найдите его площадь.

1. 1
   По рисунку основание треугольника занимает 4 клетки, а его высота равна 3 клеткам.$$a = 4,\ h = 3$$
2. 2
   Вычислим площадь треугольника.$$S = \dfrac{ah}{2} = \dfrac{4 \cdot 3}{2} = 6$$

Площадь трапеции на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображена трапеция. Найдите её площадь.

1. 1
   По рисунку длины оснований трапеции равны $4$ и $8$ клеткам, а высота равна $6$ клеткам.$$a=4,\quad b=8,\quad h=6$$
2. 2
   Вычислим площадь трапеции.$$S=\dfrac{(a+b)h}{2}=\dfrac{(4+8)\cdot 6}{2}=36$$

Расстояние между точками

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображены две точки. Найдите расстояние между ними.

1. 1
   По клетчатой сетке определяем горизонтальную и вертикальную составляющие расстояния между точками: $12$ и $5$ клеток.$$a = 12,\quad b = 5$$
2. 2
   Расстояние между точками находим по теореме Пифагора.$$d = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{12^2+5^2} = \sqrt{169} = 13$$

Площадь параллелограмма на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён параллелограмм. Найдите его площадь.

1. 1
   По рисунку основание параллелограмма равно 3 клеткам, а его высота равна 7 клеткам.$$a = 3,\quad h = 7$$
2. 2
   Используем формулу площади параллелограмма.$$S = ah = 3 \cdot 7 = 21$$

Площадь треугольника на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён треугольник. Найдите его площадь.

1. 1
   По клеткам определяем длину горизонтального основания треугольника: $a = 6$.
2. 2
   Высота треугольника, перпендикулярная основанию, равна $h = 3$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь треугольника на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён треугольник. Найдите его площадь.

1. 1
   По рисунку основание треугольника занимает 6 клеток, а высота равна 5 клеткам.$$a = 6,\quad h = 5$$
2. 2
   Находим площадь треугольника по формуле площади через основание и высоту.$$S = \dfrac{ah}{2} = \dfrac{6 \cdot 5}{2} = 15$$

Расстояние между точками

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображены две точки. Найдите расстояние между ними.

1. 1
   Между точками по горизонтали — $4$ клетки, по вертикали — $3$ клетки.
2. 2
   По теореме Пифагора расстояние между точками равно:$$d = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$$

Площадь треугольника на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён треугольник. Найдите его площадь.

1. 1
   По рисунку длина основания треугольника равна $5$ клеткам, а высота — $4$ клеткам. Так как сторона клетки имеет длину $1$, получаем $a = 5$ и $h = 4$.$$a = 5,\quad h = 4$$
2. 2
   Вычислим площадь треугольника.$$S = \dfrac{1}{2}ah = \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4 = 10$$

Площадь ромба на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён ромб. Найдите площадь этого ромба.

1. 1
   По рисунку определяем длины диагоналей ромба: вертикальная диагональ равна $6$, горизонтальная — $4$.$$d_1 = 6,\quad d_2 = 4$$
2. 2
   Используем формулу площади ромба.$$S = \dfrac{d_1 d_2}{2} = \dfrac{6 \cdot 4}{2} = 12$$

Площадь кругов на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?

1. 1
   По клетчатой сетке видно, что диаметр большего круга в 2 раза больше диаметра меньшего круга. Следовательно, радиус большего круга также в 2 раза больше.$$R_{\text{б}}=2R_{\text{м}}$$
2. 2
   Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.$$\dfrac{S_{\text{б}}}{S_{\text{м}}}=\left(\dfrac{R_{\text{б}}}{R_{\text{м}}}\right)^2=2^2=4$$

Отношение площадей кругов

На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?

1. 1
   По клетчатой бумаге определяем диаметры кругов: большего — 6 клеток, меньшего — 4 клетки. Поэтому их радиусы равны 3 и 2 клетки.$$R_1=3,\quad R_2=2$$
2. 2
   Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.$$\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{\pi R_1^2}{\pi R_2^2}=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2=\dfrac{9}{4}=2{,}25$$

Расстояние между точками

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображены две точки. Найдите расстояние между ними.

1. 1
   По рисунку горизонтальное расстояние между точками равно 5 клеткам, а вертикальное — 12 клеткам.$$a = 5,\quad b = 12$$
2. 2
   По теореме Пифагора расстояние между точками равно:$$d = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{5^2+12^2} = \sqrt{169} = 13$$

Площадь параллелограмма

Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

1. 1
   Основание параллелограмма состоит из отрезков длиной 3 и 7.$$a = 3 + 7 = 10$$
2. 2
   Используем формулу площади параллелограмма: площадь равна произведению основания на высоту.$$S = ah = 10 \cdot 4 = 40$$

Площадь параллелограмма

В параллелограмме $ABCD$ проведена диагональ $AC$. Точка $O$ является центром окружности, вписанной в треугольник $ABC$. Расстояния от точки $O$ до точки $A$ и прямых $AD$ и $AC$ соответственно…

1. 1
   Радиус вписанной окружности равен расстоянию от $O$ до $AC$, поэтому $r=5$. Введём координаты: $A=(0,0)$, $AC$ — ось $x$, тогда $O=(12,5)$, так как $AO=13$.$$12^2+5^2=13^2$$
2. 2
   Прямая $AB$ проходит через начало координат и касается окружности с центром $O(12,5)$ и радиусом $5$. Помимо прямой $AC$, второй касательной является прямая$$AB:\ y=\frac{120}{119}x$$

Ещё 5 шагов — в полном решении

Площадь параллелограмма

В параллелограмме $ABCD$ проведена диагональ $AC$. Точка $O$ является центром окружности, вписанной в треугольник $ABC$. Расстояния от точки $O$ до точки $A$ и прямых $AD$ и $AC$ соответственно…

1. 1
   Расстояние от центра вписанной окружности до стороны $AC$ равно радиусу окружности, поэтому $r=7$.
2. 2
   Пусть $H$ — основание перпендикуляра из $O$ на $AC$. В прямоугольном треугольнике $AOH$ имеем:$$AH=\sqrt{AO^2-OH^2}=\sqrt{25^2-7^2}=24$$

Ещё 5 шагов — в полном решении

Площадь параллелограмма по окружности

В параллелограмме $ABCD$ проведена диагональ $AC$. Точка $O$ является центром окружности, вписанной в треугольник $ABC$. Расстояния от точки $O$ до точки $A$ и прямых $AD$ и $AC$ соответственно…

1. 1
   Расстояние от центра вписанной окружности до стороны $AC$ равно радиусу окружности, поэтому $r=5$.
2. 2
   Прямые $AD$ и $BC$ параллельны. Точка $O$ находится между ними, поэтому расстояние между этими прямыми, то есть высота параллелограмма к основанию $BC$, равно$$h=9+5=14$$

Ещё 8 шагов — в полном решении