Решения заданий ФИПИ ОГЭ по математике: «Площади и измерения» — с ответами

Площадь трапеции на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображена трапеция. Найдите её площадь.

1. 1
   По клеткам определяем длины оснований трапеции: верхнее основание равно $5$, нижнее — $9$ клеткам.
2. 2
   Высота трапеции равна расстоянию между основаниями: $h = 4$ клетки.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь параллелограмма на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён параллелограмм. Найдите его площадь.

1. 1
   Выберем нижнюю сторону параллелограмма в качестве основания. Подсчётом клеток получаем $a = 5$.
2. 2
   Высота перпендикулярна основанию и равна расстоянию между горизонтальными сторонами: $h = 7$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь трапеции на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображена трапеция. Найдите её площадь.

1. 1
   По клеткам определяем длины оснований и высоту трапеции: основания равны $3$ и $7$, высота равна $6$.$$a=3,\quad b=7,\quad h=6$$
2. 2
   Вычисляем площадь трапеции.$$S=\dfrac{(a+b)h}{2}=\dfrac{(3+7)\cdot 6}{2}=30$$

Площади двух кругов

На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?

1. 1
   Площадь круга вычисляется по формуле:$$S = \pi r^2$$
2. 2
   По изображению сравниваем размеры кругов на клетчатой бумаге и получаем отношение площади большего круга к площади меньшего:$$\dfrac{S_{\text{большого}}}{S_{\text{меньшего}}} = 2$$

Площадь трапеции на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображена трапеция. Найдите её площадь.

1. 1
   По рисунку длины оснований трапеции равны $3$ и $7$ клеткам, а высота равна $2$ клеткам.$$a=3,\quad b=7,\quad h=2$$
2. 2
   Вычислим площадь трапеции по формуле.$$S=\dfrac{(a+b)h}{2}=\dfrac{(3+7)\cdot2}{2}=10$$

Площадь треугольника на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён треугольник. Найдите его площадь.

1. 1
   По рисунку длина основания треугольника равна $7$ клеткам, а высота — $6$ клеткам.$$a = 7,\quad h = 6$$
2. 2
   Вычислим площадь треугольника.$$S = \dfrac{1}{2}ah = \dfrac{1}{2} \cdot 7 \cdot 6 = 21$$

Площадь параллелограмма по клеткам

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён параллелограмм. Найдите его площадь.

1. 1
   По рисунку длина основания параллелограмма равна пяти клеткам, а высота — двум клеткам.$$a = 5,\quad h = 2$$
2. 2
   Вычислим площадь параллелограмма.$$S = ah = 5 \cdot 2 = 10$$

Отношение площадей кругов

На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?

1. 1
   По клеткам определяем диаметры кругов: диаметр большего круга равен 9 клеткам, меньшего — 5 клеткам.$$d_1 = 9,\quad d_2 = 5$$
2. 2
   Отношение радиусов равно отношению диаметров.$$\dfrac{r_1}{r_2} = \dfrac{d_1}{d_2} = \dfrac{9}{5}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Расстояние между точками

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображены две точки. Найдите расстояние между ними.

1. 1
   По рисунку горизонтальное расстояние между точками равно $6$ клеткам, а вертикальное — $8$ клеткам.
2. 2
   Применяем теорему Пифагора:$$d=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$$

Площадь треугольника на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён треугольник. Найдите его площадь.

1. 1
   По клеткам находим длину основания треугольника: $a = 10$.
2. 2
   Высота треугольника равна $h = 7$ клеткам.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь трапеции на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображена трапеция. Найдите её площадь.

1. 1
   По рисунку длины оснований трапеции равны $4$ и $8$ клеткам, а высота равна $3$ клеткам.$$a=4,\quad b=8,\quad h=3$$
2. 2
   Вычислим площадь трапеции.$$S=\dfrac{(a+b)h}{2}=\dfrac{(4+8)\cdot 3}{2}=18$$

Площадь треугольника на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён треугольник. Найдите его площадь.

1. 1
   По рисунку основание треугольника занимает $8$ клеток, а высота равна $3$ клеткам.$$a = 8,\quad h = 3$$
2. 2
   Вычислим площадь треугольника по формуле.$$S = \dfrac{1}{2}ah = \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3 = 12$$

Расстояние между точками

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображены две точки. Найдите расстояние между ними.

1. 1
   По рисунку горизонтальное расстояние между точками равно $6$ клеткам, а вертикальное — $8$ клеткам.$$a = 6,\quad b = 8$$
2. 2
   Расстояние между точками является гипотенузой прямоугольного треугольника.$$d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10$$

Площадь параллелограмма на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён параллелограмм. Найдите его площадь.

1. 1
   По рисунку длина основания параллелограмма равна шести клеткам, а высота — трём клеткам.$$a = 6,\quad h = 3$$
2. 2
   Вычисляем площадь параллелограмма.$$S = ah = 6 \cdot 3 = 18$$

Площадь параллелограмма по клеткам

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён параллелограмм. Найдите его площадь.

1. 1
   По рисунку длина основания параллелограмма равна $4$ клетки, а высота равна $5$ клеткам.$$a = 4,\quad h = 5$$
2. 2
   Используем формулу площади параллелограмма.$$S = ah = 4 \cdot 5 = 20$$

Площадь параллелограмма на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён параллелограмм. Найдите его площадь.

1. 1
   По клеткам определяем длину основания параллелограмма: $a = 7$.
2. 2
   Высота параллелограмма равна расстоянию между его основаниями: $h = 2$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Отношение площадей кругов

На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?

1. 1
   По рисунку радиус большего круга в 2 раза больше радиуса меньшего.$$R = 2r$$
2. 2
   Отношение площадей кругов равно квадрату отношения их радиусов.$$\dfrac{S_{\text{б}}}{S_{\text{м}}} = \dfrac{\pi R^2}{\pi r^2} = \left(\dfrac{R}{r}\right)^2 = 2^2 = 4$$

Отношение площадей кругов

На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?

1. 1
   По клеткам видно, что радиус большего круга в 4 раза больше радиуса меньшего.$$R_б=4R_м$$
2. 2
   Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.$$\dfrac{S_б}{S_м}=\left(\dfrac{R_б}{R_м}\right)^2=4^2=16$$

Площадь трапеции на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображена трапеция. Найдите её площадь.

1. 1
   По клеткам определяем длины оснований трапеции: $a = 3$, $b = 7$.
2. 2
   Высота трапеции равна $h = 4$, так как между основаниями четыре клетки.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь параллелограмма

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён параллелограмм. Найдите его площадь.

1. 1
   Выберем горизонтальную сторону параллелограмма в качестве основания. По клеткам её длина равна $7$.$$a = 7$$
2. 2
   Высота параллелограмма равна расстоянию между его горизонтальными сторонами — $4$ клетки.$$h = 4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении