В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 5$, $AC = 2$. Найдите $\tg B$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, катеты треугольника — $AC$ и $BC$.
- 2
Для угла $B$ противолежащий катет — $AC$, а прилежащий катет — $BC$.$$\tg B = \dfrac{AC}{BC}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Один из острых углов прямоугольного треугольника равен $36^\circ$. Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах.
- 1
В прямоугольном треугольнике один угол равен $90^\circ$, поэтому сумма двух острых углов равна $90^\circ$.$$\alpha + \beta = 90^\circ$$
- 2
Найдём второй острый угол.$$\beta = 90^\circ - 36^\circ = 54^\circ$$
Высота равностороннего треугольника равна $13\sqrt{3}$. Найдите сторону этого треугольника.
- 1
Используем формулу высоты равностороннего треугольника.$$h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$$
- 2
Подставим известное значение высоты и найдём сторону.$$13\sqrt{3} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle BAC = 84^\circ$, $AD$ — биссектриса. Найдите угол $BAD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как $AD$ — биссектриса угла $BAC$, она делит этот угол пополам.$$\angle BAD = \frac{1}{2}\angle BAC$$
- 2
Подставим известное значение угла:$$\angle BAD = \frac{84^\circ}{2} = 42^\circ$$
Катеты прямоугольного треугольника равны 20 и 21. Найдите гипотенузу этого треугольника.
- 1
По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.$$c^2 = 20^2 + 21^2$$
- 2
Вычислим сумму квадратов катетов:$$c^2 = 400 + 441 = 841$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Два катета прямоугольного треугольника равны 6 и 13. Найдите площадь этого треугольника.
- 1
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.$$S = \dfrac{ab}{2}$$
- 2
Подставим значения катетов.$$S = \dfrac{6 \cdot 13}{2} = 39$$
Медиана равностороннего треугольника равна $12\sqrt{3}$. Найдите сторону этого треугольника.
- 1
В равностороннем треугольнике медиана является высотой.$$h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$$
- 2
Подставим значение медианы и найдём сторону:$$12\sqrt{3} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В треугольнике два угла равны $31^\circ$ и $94^\circ$. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.
- 1
Сумма углов треугольника равна $180^\circ$.$$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$$
- 2
Найдём третий угол, вычтя из суммы углов известные углы:$$\gamma = 180^\circ - 31^\circ - 94^\circ = 55^\circ$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AC = 6$, $AB = 10$. Найдите $\sin B$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Катет $AC$ лежит напротив угла $B$.
- 2
Используем определение синуса острого угла прямоугольного треугольника.$$\sin B = \dfrac{AC}{AB}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\tg B = \dfrac{5}{9}$, $BC = 27$. Найдите $AC$.
- 1
В прямоугольном треугольнике тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему.$$\tg B = \dfrac{AC}{BC}$$
- 2
Подставим известные значения и найдём длину катета $AC$.$$\dfrac{5}{9} = \dfrac{AC}{27},\quad AC = 27 \cdot \dfrac{5}{9} = 15$$
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $BH$, $\angle BAC = 82^\circ$. Найдите угол $ABH$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как $BH$ — высота, то $BH \perp AC$, поэтому треугольник $ABH$ прямоугольный.$$\angle AHB = 90^\circ$$
- 2
Точка $H$ лежит на стороне $AC$, поэтому угол $BAH$ равен углу $BAC$.$$\angle BAH = 82^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 18$, $BM$ — медиана, $BM = 14$. Найдите $AM$.
- 1
Так как $BM$ — медиана треугольника $ABC$, точка $M$ является серединой стороны $AC$.$$AM = MC$$
- 2
Следовательно, длина отрезка $AM$ равна половине длины стороны $AC$.$$AM = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{18}{2} = 9$$
В треугольнике проведена биссектриса. Найдите градусную меру угла, если известны две указанные в условии угловые величины.
- 1
Биссектриса делит соответствующий угол треугольника на два равных угла.
- 2
Используем сумму углов треугольника $180^\circ$ и данные условия. После подстановки получаем искомый угол.$$\angle = 135^\circ$$
Сторона равностороннего треугольника равна $12\sqrt{3}$. Найдите биссектрису этого треугольника.
- 1
В равностороннем треугольнике биссектриса является высотой.$$h=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$$
- 2
Подставим длину стороны и упростим выражение:$$h=\dfrac{12\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{2}=\dfrac{12\cdot3}{2}=18$$
Сторона равностороннего треугольника равна $14\sqrt{3}$. Найдите биссектрису этого треугольника.
- 1
В равностороннем треугольнике биссектриса является высотой.$$h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$$
- 2
Подставим длину стороны и упростим выражение.$$h = \dfrac{14\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{2} = \dfrac{14\cdot 3}{2} = 21$$
В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 8 и 17 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.
- 1
Обозначим неизвестный катет через $x$. По теореме Пифагора:$$x^2 + 8^2 = 17^2$$
- 2
Найдём квадрат неизвестного катета:$$x^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В треугольнике два угла равны $72^\circ$ и $42^\circ$. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.
- 1
Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$.$$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$$
- 2
Найдём третий угол.$$\gamma = 180^\circ - 72^\circ - 42^\circ = 66^\circ$$
Сторона треугольника равна 18, а высота, проведённая к этой стороне, равна 22. Найдите площадь этого треугольника.
- 1
Площадь треугольника равна половине произведения стороны на проведённую к ней высоту.$$S = \dfrac{1}{2}ah$$
- 2
Подставим данные значения.$$S = \dfrac{1}{2} \cdot 18 \cdot 22 = 198$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 5$, $AC = 20$. Найдите $\tg B$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, стороны $AC$ и $BC$ являются катетами. Для угла $B$ катет $AC$ — противолежащий, а $BC$ — прилежащий.$$\tg B = \dfrac{AC}{BC}$$
- 2
Подставим известные значения:$$\tg B = \dfrac{20}{5} = 4$$
В треугольнике проведена биссектриса. Найдите градусную меру указанного угла, если известны два угла, образованные биссектрисой и сторонами треугольника.
- 1
Биссектриса делит угол треугольника на два равных угла. По данным задачи восстанавливаем величину полного угла, разделённого биссектрисой.
- 2
Используем свойство суммы углов треугольника:$$\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде