Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по физике: «Энергия и импульс» — с ответами

В верхней точке траектории вертикальная составляющая скорости снаряда равна нулю, а горизонтальная составляющая сохраняется:$$v_x = v_0\cos\alpha = 200\cos 60^\circ = 100\ \text{м/с}$$

Высота верхней точки над Землёй определяется из закона сохранения механической энергии либо из уравнения равноускоренного движения:$$h = \frac{(v_0\sin\alpha)^2}{2g} = \frac{(200\sin 60^\circ)^2}{2\cdot 10} = 1500\ \text{м}$$

Во время распрямления пружины внешними силами можно пренебречь, поэтому по закону сохранения импульса шарики получают импульсы, равные по модулю и противоположные по направлению:$$m_1v_1=m_2v_2$$

После распрямления пружины каждый шарик поднимается до крайнего положения. Так как углы отклонения одинаковы, высота подъёма шарика с нитью длины $L_i$ равна $h_i=L_i(1-\cos\alpha)$.$$h_i=L_i(1-\cos\alpha)$$

При движении шарика по стволу энергия пружины переходит в кинетическую энергию шарика и его потенциальную энергию. Высота подъёма шарика равна $b\sin\alpha$.$$E = \frac{mv^2}{2} + mgb\sin\alpha$$

Выразим квадрат скорости шарика при вылете из ствола:$$v^2 = \frac{2\left(E-mgb\sin\alpha\right)}{m}$$

На систему действуют силы тяжести шаров $m_1g$ и $m_2g$, направленные вниз, а также силы реакции опор $N_C$ и $N_D$, направленные вверх. По третьему закону Ньютона силы давления стержня на опоры имеют такие же по модулю значения.

Так как система находится в равновесии, сумма вертикальных сил равна нулю. С учётом условия $N_D = 2N_C$ получаем:$$N_C + N_D = (m_1 + m_2)g,\quad N_C + 2N_C = 0{,}5g$$

Рассмотрим оба шарика и стержень как одну механическую систему. Силы взаимодействия шариков со стержнем являются внутренними и при рассмотрении всей гантели не учитываются. Внешние силы: силы тяжести $Mg$ и $mg$, нормальная реакция дна…

Сила реакции стенки направлена по радиусу и проходит через центр сферической выемки. Сила тяжести шарика $M$ также действует по вертикали через точку касания нижнего шарика и момента относительно этой точки не создаёт. Момент силы тяжести…$$fR = mgR$$

Обозначим через $V$ скорость шара с застрявшей пулей сразу после удара, а через $u$ — начальную скорость пули. При ударе сохраняется горизонтальная составляющая импульса системы:$$mu = (M+m)V$$

Чтобы нить оставалась натянутой в верхней точке, минимальная скорость шара там должна удовлетворять условию:$$v_{\text{в}}^2 = gl$$

Внешние силы, действующие на систему шариков, не имеют горизонтальной составляющей, поэтому горизонтальный импульс системы сохраняется.$$m\vec{v}_1 + m\vec{v}_2 = 2m\vec{v}$$

Скорость быстрого шарика равна $2\ \text{м/с}$, а скорости различаются вдвое, поэтому скорость второго шарика равна:$$v_2 = \dfrac{v_1}{2} = \dfrac{2}{2} = 1\ \text{м/с}$$

Обозначим время от начала движения до столкновения через $t_c$. Вертикальная скорость первого шарика перед столкновением равна $v_0\sin\alpha - gt_c$, а второго шарика, падающего из состояния покоя, — $-gt_c$.

Так как шарики одинаковы и сталкиваются абсолютно неупруго, их общая скорость после столкновения находится по закону сохранения импульса. Её вертикальная составляющая равна нулю:$$\frac{(v_0\sin\alpha-gt_c)+(-gt_c)}{2}=0$$