Решение: Дальность после неупругого столкновения
Пластилиновый шарик в момент $t = 0$ бросают с горизонтальной поверхности Земли с начальной скоростью $v_0$ под углом $\alpha$ к горизонту. Одновременно с некоторой высоты над поверхностью Земли начинает падать из состояния покоя другой такой же шарик. Шарики абсолютно неупруго сталкиваются в воздухе. Сразу после столкновения скорость шариков направлена горизонтально. На какое расстояние $d$ по горизонтали переместятся шарики за время от столкновения шариков до их падения на землю? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение по шагам
7 шаговОбозначим время от начала движения до столкновения через $t_c$. Вертикальная скорость первого шарика перед столкновением равна $v_0\sin\alpha - gt_c$, а второго шарика, падающего из состояния покоя, — $-gt_c$.
Так как шарики одинаковы и сталкиваются абсолютно неупруго, их общая скорость после столкновения находится по закону сохранения импульса. Её вертикальная составляющая равна нулю:
$$\frac{(v_0\sin\alpha-gt_c)+(-gt_c)}{2}=0$$Отсюда время столкновения:
$$t_c=\frac{v_0\sin\alpha}{2g}$$Горизонтальная скорость шариков не изменяется у первого шарика и равна нулю у второго. Поэтому после столкновения:
$$v_x=\frac{v_0\cos\alpha}{2}$$Высота столкновения равна высоте первого шарика в момент $t_c$:
$$h=v_0\sin\alpha\,t_c-\frac{gt_c^2}{2}=\frac{3v_0^2\sin^2\alpha}{8g}$$После столкновения шарики движутся горизонтально, поэтому время их падения с высоты $h$ определяется формулой свободного падения:
$$t_f=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\frac{v_0\sin\alpha}{2g}\sqrt{3}$$Искомое горизонтальное расстояние равно произведению горизонтальной скорости на время движения после столкновения:
$$d=v_x t_f=\frac{v_0\cos\alpha}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}v_0\sin\alpha}{2g}=\frac{\sqrt{3}v_0^2\sin\alpha\cos\alpha}{4g}$$$d=\dfrac{\sqrt{3}v_0^2\sin\alpha\cos\alpha}{4g}=\dfrac{\sqrt{3}v_0^2\sin 2\alpha}{8g}$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать, что при абсолютно неупругом столкновении шарики после удара движутся с общей скоростью.
Считать вертикальную скорость второго шарика перед столкновением равной нулю.
Использовать время падения от момента броска вместо времени падения после столкновения.
Забыть, что горизонтальная скорость после столкновения равна половине горизонтальной скорости первого шарика.