Решение: Равновесие стержня на опорах
Два небольших шара массами $m_1 = 0{,}2\ \text{кг}$ и $m_2 = 0{,}3\ \text{кг}$ закреплены на концах невесомого стержня $AB$, расположенного горизонтально на опорах $C$ и $D$. Расстояние между опорами $l = 0{,}6\ \text{м}$, а расстояние $AC$ равно $0{,}2\ \text{м}$. Чему равна длина стержня $L$, если сила давления стержня на опору $D$ в 2 раза больше, чем на опору $C$? Сделайте рисунок с указанием внешних сил, действующих на систему тел «стержень и шары».
Решение по шагам
7 шаговНа систему действуют силы тяжести шаров $m_1g$ и $m_2g$, направленные вниз, а также силы реакции опор $N_C$ и $N_D$, направленные вверх. По третьему закону Ньютона силы давления стержня на опоры имеют такие же по модулю значения.
Так как система находится в равновесии, сумма вертикальных сил равна нулю. С учётом условия $N_D = 2N_C$ получаем:
$$N_C + N_D = (m_1 + m_2)g,\quad N_C + 2N_C = 0{,}5g$$Следовательно, реакции опор равны:
$$N_C = \frac{g}{6},\quad N_D = \frac{g}{3}$$Запишем равенство моментов сил относительно точки $C$. Плечо силы $N_D$ равно $l = 0{,}6\ \text{м}$, плечо силы тяжести первого шара равно $AC = 0{,}2\ \text{м}$, а координата второго шара относительно точки $C$ равна $L - 0{,}2$.
$$N_D l + m_1 g\cdot 0{,}2 - m_2 g\cdot (L - 0{,}2) = 0$$Подставим найденное значение $N_D$ и массы шаров:
$$\frac{g}{3}\cdot 0{,}6 + 0{,}2g\cdot 0{,}2 - 0{,}3g(L - 0{,}2) = 0$$После сокращения на $g$ получаем:
$$0{,}2 + 0{,}04 - 0{,}3L + 0{,}06 = 0,\quad 0{,}3L = 0{,}3$$Отсюда длина стержня равна:
$$L = 1{,}0\ \text{м}$$Длина стержня $L = 1{,}0\ \text{м}$. На рисунке нужно показать силы тяжести $m_1g$ и $m_2g$ вниз, а реакции опор $N_C$ и $N_D$ вверх.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно выбирают плечо силы тяжести второго шара: оно равно $L - AC = L - 0{,}2\ \text{м}$.
Путают силу давления стержня на опору с реакцией опоры на стержень; по модулю эти силы равны.
Не учитывают момент силы тяжести первого шара относительно точки $C$.
Записывают условие $N_C = 2N_D$ вместо заданного $N_D = 2N_C$.