Решение: Равновесие гантели в выемке
Маленькие шарики, имеющие массы $M$ и $m = 60\ \text{г}$, соединены друг с другом стержнем пренебрежимо малой массы. Полученная гантель помещена в неподвижную сферическую выемку радиусом $R$ так, что шарик $M$ находится в нижней точке выемки, а шарик $m$ касается стенки выемки на высоте $R$ от этой точки. Коэффициент трения между шариком $M$ и дном выемки $\mu = 0{,}3$, трение между шариком $m$ и стенкой выемки отсутствует. При каких значениях $M$ гантель покоится в показанном на рисунке положении? Сделайте рисунок с указанием внешних сил, действующих на гантель.
Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.
Решение по шагам
8 шаговРассмотрим оба шарика и стержень как одну механическую систему. Силы взаимодействия шариков со стержнем являются внутренними и при рассмотрении всей гантели не учитываются. Внешние силы: силы тяжести $Mg$ и $mg$, нормальная реакция дна $N$, сила трения $f$ в нижней точке и нормальная реакция стенки $N_1$ на шарик $m$.
Сила реакции стенки направлена по радиусу и проходит через центр сферической выемки. Сила тяжести шарика $M$ также действует по вертикали через точку касания нижнего шарика и момента относительно этой точки не создаёт. Момент силы тяжести шарика $m$ уравновешивается моментом силы трения.
$$fR = mgR$$Следовательно, необходимая сила трения равна весу верхнего шарика.
$$f = mg$$Из равновесия по вертикали нормальная реакция дна уравновешивает вес обоих шариков. Сила реакции стенки горизонтальна и вертикальной составляющей не имеет.
$$N = (M+m)g$$Для покоя сила трения не должна превышать максимальную силу трения покоя.
$$f \leq \mu N$$Подставляя найденные значения сил, получаем условие существования равновесия.
$$mg \leq \mu(M+m)g$$После сокращения на $g$ и подстановки $m=60\ \text{г}$, $\mu=0{,}3$ получаем нижнюю границу массы большого шарика.
$$M \geq m\left(\frac{1}{\mu}-1\right)=60\left(\frac{1}{0{,}3}-1\right)=140\ \text{г}$$Законы равновесия применимы, поскольку гантель покоится в инерциальной системе отсчёта. Условие $f \leq \mu N$ является законом сухого трения покоя, а сумма моментов внешних сил равна нулю для неподвижного тела.
Гантель покоится при $M \geq 140\ \text{г}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Учитывают силу взаимодействия между шариками и стержнем как внешнюю силу.
Считают, что нормальная реакция стенки имеет вертикальную составляющую.
Приравнивают силу трения сразу к максимальной силе трения, не записывая условие $f \leq \mu N$.
В равновесии по вертикали используют только массу $M$, забывая вес шарика $m$.