Решение: Длины нитей после расталкивания
Два шарика подвешены на вертикальных тонких нитях так, что они находятся на одной высоте. Между шариками находится сжатая и связанная нитью пружина. При пережигании связывающей нити пружина распрямляется, расталкивает шарики и падает вниз. В результате нити отклоняются в разные стороны на одинаковые углы. Во сколько раз одна нить длиннее другой, если отношение масс $\dfrac{m_2}{m_1}=1{,}5$? Считать величину сжатия пружины во много раз меньше длин нитей.
Решение по шагам
5 шаговВо время распрямления пружины внешними силами можно пренебречь, поэтому по закону сохранения импульса шарики получают импульсы, равные по модулю и противоположные по направлению:
$$m_1v_1=m_2v_2$$После распрямления пружины каждый шарик поднимается до крайнего положения. Так как углы отклонения одинаковы, высота подъёма шарика с нитью длины $L_i$ равна $h_i=L_i(1-\cos\alpha)$.
$$h_i=L_i(1-\cos\alpha)$$Для каждого шарика сохраняется механическая энергия:
$$\frac{m_iv_i^2}{2}=m_igL_i(1-\cos\alpha)$$Выразим длину нити через скорость. Из закона сохранения энергии получаем $L_i=\dfrac{v_i^2}{2g(1-\cos\alpha)}$. Так как из равенства импульсов $\dfrac{v_1}{v_2}=\dfrac{m_2}{m_1}$, то
$$\frac{L_1}{L_2}=\frac{v_1^2}{v_2^2}=\left(\frac{m_2}{m_1}\right)^2$$Подставим отношение масс:
$$\frac{L_1}{L_2}=1{,}5^2=2{,}25$$Первая нить длиннее второй в $2{,}25$ раза: $L_1/L_2=2{,}25$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Используют отношение скоростей как отношение длин, не возводя его в квадрат.
Считают, что более тяжёлый шарик получает большую скорость.
Не учитывают, что углы отклонения нитей одинаковы.