Решение: Взрыв снаряда в верхней точке
Снаряд массой $M = 6\ \text{кг}$, выпущенный с поверхности Земли из пушки с начальной скоростью $v_0 = 200\ \text{м/с}$ под углом $\alpha = 60^\circ$ к горизонту, разорвался в верхней точке своей траектории на два осколка. Масса первого осколка $m_1 = 2\ \text{кг}$. Сразу после взрыва скорость первого осколка сонаправлена со скоростью снаряда перед разрывом. Какую скорость приобрёл второй осколок сразу после взрыва, если первый осколок до падения на Землю сместился по горизонтали на расстояние $S_1 = 7\ \text{км}$ от места взрыва? Траектории снаряда и осколков лежат в одной вертикальной плоскости. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи. Считать $g = 10\ \text{м/с}^2$.
Решение по шагам
10 шаговВ верхней точке траектории вертикальная составляющая скорости снаряда равна нулю, а горизонтальная составляющая сохраняется:
$$v_x = v_0\cos\alpha = 200\cos 60^\circ = 100\ \text{м/с}$$Высота верхней точки над Землёй определяется из закона сохранения механической энергии либо из уравнения равноускоренного движения:
$$h = \frac{(v_0\sin\alpha)^2}{2g} = \frac{(200\sin 60^\circ)^2}{2\cdot 10} = 1500\ \text{м}$$После взрыва первый осколок падает с высоты $h$ с начальной вертикальной скоростью, направленной вверх. Однако его скорость сонаправлена скорости снаряда перед взрывом, поэтому её направление составляет $60^\circ$ к горизонту. Время полёта до Земли находим из уравнения вертикального движения:
$$h + v_{1y}t - \frac{gt^2}{2} = 0$$Так как скорость первого осколка направлена под углом $60^\circ$, то $v_{1y}=v_{1x}\tan60^\circ$. С учётом горизонтального перемещения $S_1=7000\ \text{м}$ получаем:
$$1500 + \frac{7000}{t}\tan60^\circ\cdot t - 5t^2 = 0$$Отсюда:
$$t = \sqrt{300} \approx 17{,}32\ \text{с},\qquad v_{1x}=\frac{7000}{17{,}32}\approx 404{,}1\ \text{м/с}$$Первый осколок движется под углом $60^\circ$, поэтому его вертикальная составляющая скорости сразу после взрыва равна:
$$v_{1y}=v_{1x}\tan60^\circ\approx 700\ \text{м/с}$$Взрыв происходит за очень короткое время, поэтому внешним импульсом силы тяжести за время взрыва можно пренебречь. Следовательно, импульс системы осколков сразу после взрыва равен импульсу снаряда непосредственно перед взрывом. До взрыва импульс снаряда имеет только горизонтальную составляющую:
$$M v_x = m_1\vec v_1 + m_2\vec v_2,\qquad m_2=M-m_1=4\ \text{кг}$$Запишем закон сохранения импульса в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси:
$$M v_x=m_1v_{1x}+m_2v_{2x},\qquad 0=m_1v_{1y}+m_2v_{2y}$$Находим составляющие скорости второго осколка:
$$v_{2x}=\frac{6\cdot100-2\cdot404{,}1}{4}\approx-254{,}1\ \text{м/с},\qquad v_{2y}=\frac{-2\cdot700}{4}=-350\ \text{м/с}$$Модуль скорости второго осколка равен:
$$v_2=\sqrt{v_{2x}^2+v_{2y}^2}=\sqrt{254{,}1^2+350^2}\approx432{,}6\ \text{м/с}$$Скорость второго осколка сразу после взрыва составляет примерно $4{,}33\cdot10^2\ \text{м/с}$, то есть $v_2\approx433\ \text{м/с}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Считать, что импульс снаряда в верхней точке равен нулю; вертикальная составляющая равна нулю, но горизонтальная сохраняется.
Использовать дальность полёта от пушки вместо смещения первого осколка от точки взрыва.
Не учитывать вертикальную составляющую скорости первого осколка.
Применять закон сохранения механической энергии непосредственно к взрыву, хотя взрыв является неупругим процессом.