Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по профильной математике: «Производная функции» — с ответами

Наименьшее значение функции

Найдите наименьшее значение функции $y = 3\cos x - 5x + 5$ на отрезке $\left[-\dfrac{3\pi}{2};\,0\right]$.

1. 1
   Найдём производную функции.$$y' = -3\sin x - 5$$
2. 2
   Поскольку $\sin x \leq 1$, производная удовлетворяет неравенству $y' \leq 3 - 5 = -2 < 0$. Следовательно, функция убывает на всём заданном отрезке.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Точка максимума функции

Найдите точку максимума функции $y = x^3 - 300x + 5$.

1. 1
   Найдём производную функции.$$y' = 3x^2 - 300$$
2. 2
   Найдём критические точки, решив уравнение $y' = 0$.$$3x^2 - 300 = 0 \Rightarrow x^2 = 100 \Rightarrow x = -10,\ 10$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Наибольшее значение функции

На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-4;8)$. В какой точке отрезка $[-2;3]$ функция $f(x)$ принимает наибольшее значение?

1. 1
   Исследуем знак производной $f'(x)$ на отрезке $[-2;3]$: по графику определяем промежутки возрастания и убывания функции $f(x)$.
2. 2
   Сравниваем значения функции в концах отрезка и в точках, где производная обращается в ноль или не существует.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Наибольшая производная функции

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$. На оси абсцисс отмечены точки $-2$, $1$, $3$, $4$. В какой из этих точек значение производной функции $f(x)$ наибольшее? В ответе укажите эту точку.

1. 1
   Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику в этой точке.$$f'(x_0)=k_{{касательной}}$$
2. 2
   Чтобы определить точку, в которой производная наибольшая, нужно сравнить наклоны касательных к графику в точках $-2$, $1$, $3$ и $4$.

Минимум функции на отрезке

Найдите наименьшее значение функции $y = 10\cos x + \dfrac{36x}{\pi} - 6$ на отрезке $\left[-\dfrac{2\pi}{3}; 0\right]$.

1. 1
   Найдём производную функции:$$y' = -10\sin x + \dfrac{36}{\pi}$$
2. 2
   На отрезке $\left[-\dfrac{2\pi}{3}; 0\right]$ выполняется $\sin x \leq 0$, поэтому $-10\sin x \geq 0$. Следовательно, $y' > 0$, и функция возрастает на всём отрезке.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Точка экстремума функции

На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-4;8)$. Найдите точку экстремума функции $f(x)$, принадлежащую отрезку $[1;6]$.

1. 1
   Точка экстремума функции $f(x)$ находится в точке, где её производная $f'(x)$ обращается в ноль и меняет знак.
2. 2
   По графику производной на отрезке $[1;6]$ такой переход происходит при $x=4$.$$f'(4)=0$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Производная по касательной

На рисунке изображены график функции $y=f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.

1. 1
   Производная функции в точке касания равна угловому коэффициенту касательной.$$f'(x_0)=k$$
2. 2
   Численное значение углового коэффициента необходимо определить по графику касательной. На предоставленном изображении график отсутствует, поэтому вычислить ответ невозможно.

Минимум функции на отрезке

Найдите наименьшее значение функции $y = 12x - \ln(12x) + 4$ на отрезке $\left[\frac{1}{24}; \frac{5}{24}\right]$.

1. 1
   Найдём производную функции.$$y' = 12 - \frac{1}{x}$$
2. 2
   Приравняем производную к нулю и найдём критическую точку.$$12 - \frac{1}{x} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{12}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Корни производной по графику

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$, определённой на интервале $(-10; 3)$. Найдите количество корней уравнения $f'(x)=0$, принадлежащих отрезку $[-7; 2]$.

1. 1
   Чтобы решить задачу, нужно по графику найти точки, в которых касательная к графику функции горизонтальна, то есть $f'(x)=0$.
2. 2
   Затем следует посчитать такие точки, чьи абсциссы принадлежат отрезку $[-7;2]$.

Минимум функции на отрезке

Найдите наименьшее значение функции на отрезке.

1. 1
   В предоставленном тексте и на скриншоте отсутствуют формула функции и границы отрезка, поэтому вычислить значения функции и определить минимум невозможно.

Промежутки убывания по производной

На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$. На оси абсцисс отмечены семь точек: $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$, $x_5$, $x_6$, $x_7$. Сколько из этих точек принадлежит промежуткам…

1. 1
   Функция $f(x)$ убывает на промежутках, где её производная отрицательна.$$f'(x)<0$$
2. 2
   На предоставленном изображении график производной с отмеченными точками отсутствует, поэтому определить число точек, для которых $f'(x)<0$, невозможно.

Точка максимума логарифмической функции

Найдите точку максимума функции $y=\ln(x-2)-5x+13$.

1. 1
   Область определения функции: $x>2$. Найдём производную.$$y'=\frac{1}{x-2}-5$$
2. 2
   Приравняем производную к нулю и решим уравнение.$$\frac{1}{x-2}-5=0 \Longrightarrow \frac{1}{x-2}=5 \Longrightarrow x-2=\frac{1}{5} \Longrightarrow x=2{,}2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Производная по касательной

На рисунке изображены график функции $y=f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.

1. 1
   Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику в этой точке.$$f'(x_0)=k$$
2. 2
   Численное значение углового коэффициента должно быть определено по координатам точек касательной на рисунке. В предоставленном изображении график и координатная сетка отсутствуют.

Производная по касательной

На рисунке изображены график функции $y=f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.

1. 1
   Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику в этой точке.$$f'(x_0)=k$$
2. 2
   Численное значение углового коэффициента необходимо определить по графику касательной. На предоставленном изображении график и касательная отсутствуют, поэтому вычислить значение производной невозможно.

Точка максимума функции

Найдите точку максимума функции $y = 2 + 24x - x\sqrt{x}$.

1. 1
   Область определения функции: $x \geq 0$. Найдём производную.$$y' = 24 - \frac{3}{2}\sqrt{x}$$
2. 2
   Приравняем производную к нулю:$$24 - \frac{3}{2}\sqrt{x} = 0$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Производная по касательной

На рисунке изображены график функции $y=f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.

1. 1
   Производная функции в точке $x_0$ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции.$$f'(x_0)=k$$
2. 2
   Чтобы получить численное значение, нужно определить по рисунку приращение ординаты касательной при приращении абсциссы.

Наименьшее значение функции

На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-9;4)$. В какой точке отрезка $[-2;3]$ функция $f(x)$ принимает наименьшее значение?

1. 1
   По графику производной определяем характер монотонности функции на отрезке $[-2;3]$.
2. 2
   На данном отрезке функция убывает, поэтому её наименьшее значение достигается в правом конце отрезка.$$x=3$$

Производная по касательной

На рисунке изображены график функции $y=f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.

1. 1
   Производная функции в точке касания равна угловому коэффициенту касательной.$$f'(x_0)=k$$
2. 2
   Чтобы вычислить угловой коэффициент, нужно считать с рисунка координаты двух точек касательной и подставить их в формулу.$$k=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$

Производная по касательной

На рисунке изображены график функции $y=f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.

1. 1
   Производная функции в точке $x_0$ равна угловому коэффициенту касательной к графику.$$f'(x_0)=k$$
2. 2
   Для нахождения $k$ нужно использовать координаты двух точек касательной на рисунке.$$k=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$

Точка максимума логарифмической функции

Найдите точку максимума функции $y = \ln(x - 7) - 2x - 3$.

1. 1
   Область определения функции: $x > 7$.
2. 2
   Найдём производную функции:$$y' = \dfrac{1}{x - 7} - 2$$

Ещё 2 шага — в полном решении