Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $\sqrt{x^4-4x^2+9a^2}=x^2+2x-3a$ имеет ровно 3 решения.
- 1
Так как левая часть исходного уравнения неотрицательна, необходимо учитывать условие $x^2+2x-3a\geq 0$. Возведём уравнение в квадрат:$$x^4-4x^2+9a^2=(x^2+2x-3a)^2$$
- 2
Раскрывая скобки и перенося все слагаемые в одну сторону, получаем:$$-4x^3+(6a-8)x^2+12ax=0$$
Ещё 6 қадам — толық шешімде
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $(x^2-x)a^2+(x^4-x^3-x+1)a-x^3+x^2=0$ имеет ровно два различных корня.
- 1
Разложим выражение в исходном уравнении:$$x^4-x^3-x+1=(x-1)^2(x^2+x+1),\quad -x^3+x^2=-x^2(x-1)$$
- 2
Вынесем общий множитель $x-1$:$$(x-1)\left(xa^2+(x^3-1)a-x^2\right)=0$$
Ещё 7 қадам — толық шешімде
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $(4x-3|x+a^2|+|x-1|+3a^2)^2-(a+1)(4x-3|x+a^2|+|x-1|+3a^2)+4=0$ имеет ровно два различных корня.
- 1
Введём обозначение $y=4x-3|x+a^2|+|x-1|+3a^2$. Тогда исходное уравнение принимает вид$$y^2-(a+1)y+4=0$$
- 2
Исследуем зависимость $y$ от $x$. Так как $a^2\geq 0$, имеем $-a^2\leq 1$. При $x\leq -a^2$ выражение равно $6x+6a^2+1$, при $-a^2\leq x\leq 1$ — $1$, а при $x\geq 1$ — $2x-1$.$$y(x)=\begin{cases}6x+6a^2+1,&x\leq-a^2,\\1,&-a^2\leq x\leq1,\\2x-1,&x\geq1.\end{cases}$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $x^2+a^2+x-7a=|7x+a|$ имеет больше двух различных корней.
- 1
Разобьём уравнение по знаку выражения под модулем.$$7x+a\geqslant 0\quad\text{или}\quad 7x+a<0$$
- 2
При $7x+a\geqslant 0$ получаем уравнение $x^2-6x+a^2-8a=0$ с условием $x\geqslant -\dfrac{a}{7}$. Его дискриминант равен $D_1=4\bigl(25-(a-4)^2\bigr)$, поэтому действительные корни существуют при $-1\leqslant a\leqslant 9$.
Ещё 5 қадам — толық шешімде
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений \[ \begin{cases} x^4+y^2=a^2,\\ x^2+y=|2a-4| \end{cases} \] имеет ровно четыре различных решения.
- 1
Введём замену $u=x^2$. Тогда $u\ge 0$, и исходная система принимает вид$$\begin{cases}u^2+y^2=a^2,\\u+y=|2a-4|.\end{cases}$$
- 2
В плоскости $(u,y)$ первое уравнение задаёт окружность радиуса $|a|$, а второе — прямую. Расстояние от начала координат до прямой равно $\dfrac{|2a-4|}{\sqrt2}$. Чтобы было две различные точки пересечения, нужно$$|a|>\frac{|2a-4|}{\sqrt2}$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений $$ \begin{cases} (x^2+y^2+4x)\sqrt{2x+y+6}=0,\\ y=x+a \end{cases} $$ имеет ровно два различных решения.
- 1
Подставим $y=x+a$ в систему. Тогда условие существования корня требует $3x+a+6\ge 0$, то есть $x\ge x_0$, где $x_0=-\dfrac{a+6}{3}$.$$3x+a+6\ge 0$$
- 2
Произведение равно нулю в двух случаях. При равенстве нулю первого множителя получаем квадратное уравнение:$$x^2+(x+a)^2+4x=0\Longleftrightarrow 2x^2+(2a+4)x+a^2=0$$
Ещё 6 қадам — толық шешімде
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений имеет ровно два различных решения: $\begin{cases}4x-y+a=0,\\2|y|-x^2+4x=0.\end{cases}$
- 1
Из первого уравнения выразим $y$:$$y=4x+a$$
- 2
Из второго уравнения следует $2|y|=x^2-4x$, поэтому $x^2-4x\geq 0$ и $x\leq 0$ или $x\geq 4$.
Ещё 6 қадам — толық шешімде
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $x^4-x^3-3x^2-x+a(x+1)=3x^3-3x^2-9x-3+3a(x+1)$ имеет ровно два различных корня.
- 1
Перенесём все слагаемые в левую часть и приведём подобные:$$x^4-4x^3+8x+3-2a(x+1)=0$$
- 2
Многочлен раскладывается на множители, поскольку $x=-1$ является корнем при любом $a$:$$(x+1)(x^3-5x^2+5x+3-2a)=0$$
Ещё 6 қадам — толық шешімде
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $(x-1)a^2-(x^3-2x^2+3x-2)a-x^4+3x^3-2x^2=0$ имеет ровно два различных корня.
- 1
Сгруппируем слагаемые и разложим левую часть на множители:$$(x-1)\left(a^2-(x^2-x+2)a-x^2(x-2)\right)=0$$
- 2
Следовательно, $x=1$ является корнем исходного уравнения при любом значении $a$. Обозначим второй множитель через $Q(x)$ и умножим его на $-1$, не изменяя его корней:$$Q(x)=x^3+(a-2)x^2-ax-a^2+2a$$
Ещё 8 қадам — толық шешімде
Найдите все значения параметра, при каждом из которых система уравнений имеет ровно два различных решения.
- 1
В условии указано требование найти значения параметра, при которых система имеет ровно два различных решения.
- 2
Однако сами уравнения системы на изображении не отображаются: после слов «значения» и «система уравнений» отсутствуют формулы.
Ещё 1 қадам — толық шешімде