Решение: Система с модулем и параметром
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений имеет ровно два различных решения:
$\begin{cases}4x-y+a=0,\\2|y|-x^2+4x=0.\end{cases}$
Решение по шагам
8 шаговИз первого уравнения выразим $y$:
$$y=4x+a$$Из второго уравнения следует $2|y|=x^2-4x$, поэтому $x^2-4x\geq 0$ и $x\leq 0$ или $x\geq 4$.
Рассмотрим случай $y\geq 0$. Тогда $y=\frac{x^2-4x}{2}$, откуда
$$a=\frac{x^2-4x}{2}-4x=\frac{x^2}{2}-6x$$На промежутке $x\leq 0$ функция $a=\frac{x^2}{2}-6x$ принимает значения от $0$ до $+\infty$ и монотонна. На промежутке $x\geq 4$ она принимает значения от $-16$ до $+\infty$ и также монотонна.
Рассмотрим случай $y\leq 0$. Тогда $y=-\frac{x^2-4x}{2}$, поэтому
$$a=-\frac{x^2-4x}{2}-4x=-\frac{x^2}{2}-2x$$На промежутке $x\leq 0$ эта функция имеет максимум в точке $x=-2$, равный $2$. Она принимает два значения $x$ при $0<a<2$, два значения при $a=0$ с учетом точки $x=0$, одно значение при $a<0$ и одно значение при $a=2$.
На промежутке $x\geq 4$ функция $a=-\frac{x^2}{2}-2x$ принимает значения от $-\infty$ до $-16$ и монотонна.
Подсчёт решений по промежуткам показывает: при $a<0$ система имеет ровно два различных решения; при $a=0$ — три; при $0<a\leq 2$ — более двух; при $a>2$ — ровно два.
Ответ: $a\in(-\infty;0)\cup(2;+\infty)$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать ограничение $x\leq 0$ или $x\geq 4$.
Считать совпадающие решения при $y=0$ дважды.
Не проверить отдельно граничные значения $a=0$ и $a=2$.