Базовая математика ЕГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Перевод температуры по шкалам

Перевести температуру из шкалы Фаренгейта в шкалу Цельсия позволяет формула $t_C = \dfrac{5}{9}(t_F - 32)$, где $t_C$ — температура в градусах по шкале Цельсия, $t_F$ — температура в градусах по…

1. 1
   Подставим $t_F = 95$ в формулу перевода температуры:$$t_C = \dfrac{5}{9}(95 - 32)$$
2. 2
   Вычислим значение выражения:$$t_C = \dfrac{5}{9} \cdot 63 = 35$$

Среднее квадратичное чисел

Среднее квадратичное трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $q = \sqrt{\dfrac{a^2 + b^2 + c^2}{3}}$. Найдите среднее квадратичное чисел $2$, $2\sqrt{22}$ и $10$.

1. 1
   Подставим числа в формулу среднего квадратичного.$$q = \sqrt{\dfrac{2^2 + (2\sqrt{22})^2 + 10^2}{3}}$$
2. 2
   Вычислим квадраты чисел: $2^2 = 4$, $(2\sqrt{22})^2 = 88$, $10^2 = 100$.$$q = \sqrt{\dfrac{4 + 88 + 100}{3}} = \sqrt{64}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Косинус угла треугольника

Теорему косинусов можно записать в виде $\cos\gamma = \dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$, где $a$, $b$ и $c$ — стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между сторонами $a$ и $b$. Пользуясь этой формулой…

1. 1
   Подставим данные в теорему косинусов.$$\cos\gamma = \dfrac{15^2 + 17^2 - 19^2}{2 \cdot 15 \cdot 17}$$
2. 2
   Вычислим числитель и знаменатель дроби.$$\cos\gamma = \dfrac{225 + 289 - 361}{510} = \dfrac{153}{510}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Энергия заряженного конденсатора

Энергия заряженного конденсатора $W$ (в Дж) вычисляется по формуле $W = \dfrac{q^2}{2C}$, где $C$ — ёмкость конденсатора (в Ф), а $q$ — заряд на одной обкладке конденсатора (в Кл). Найдите $W$ (в…

1. 1
   Используем формулу энергии заряженного конденсатора.$$W = \dfrac{q^2}{2C}$$
2. 2
   Подставляем значения заряда и ёмкости.$$W = \dfrac{(0{,}02)^2}{2 \cdot 5 \cdot 10^{-4}}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Теорема синусов

Теорему синусов можно записать в виде $\dfrac{a}{\sin \alpha}=\dfrac{b}{\sin \beta}$, где $a$ и $b$ — две стороны треугольника, а $\alpha$ и $\beta$ — углы треугольника, лежащие против них…

1. 1
   Выразим синус угла $\alpha$ из теоремы синусов.$$\sin \alpha=\dfrac{a\sin \beta}{b}$$
2. 2
   Подставим известные значения.$$\sin \alpha=\dfrac{10\cdot\frac{18}{25}}{9}=\frac{180}{225}=0.8$$

Работа постоянного тока

Работа постоянного тока (в джоулях) вычисляется по формуле $A = \dfrac{U^2t}{R}$, где $U$ — напряжение (в вольтах), $R$ — сопротивление (в омах), $t$ — время (в секундах). Пользуясь этой формулой…

1. 1
   Подставим данные в формулу работы постоянного тока:$$A = \dfrac{U^2t}{R}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения:$$A = \dfrac{7^2 \cdot 18}{14} = \dfrac{49 \cdot 18}{14} = 63$$

Сумма углов многоугольника

Сумма углов выпуклого многоугольника вычисляется по формуле $\Sigma = (n - 2)\pi$, где $n$ — количество его углов. Пользуясь этой формулой, найдите $n$, если $\Sigma = 15\pi$.

1. 1
   Подставим $\Sigma = 15\pi$ в формулу суммы углов:$$15\pi = (n - 2)\pi$$
2. 2
   Сократим обе части уравнения на $\pi$:$$15 = n - 2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина диагонали четырёхугольника

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле $S = \dfrac{1}{2}d_1d_2\sin\alpha$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей четырёхугольника, $\alpha$ — угол между диагоналями. Пользуясь этой…

1. 1
   Подставим данные в формулу площади:$$18 = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot d_2 \cdot \dfrac{3}{7}$$
2. 2
   Упростим выражение:$$18 = \dfrac{9}{7}d_2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Радиус описанной окружности

Радиус окружности, описанной около треугольника, можно вычислить по формуле $R = \dfrac{a}{2\sin\alpha}$, где $a$ — сторона, а $\alpha$ — противолежащий ей угол треугольника. Пользуясь этой…

1. 1
   Подставим в формулу $R = \dfrac{a}{2\sin\alpha}$ значения $a = 12$ и $\sin\alpha = \dfrac{1}{3}$.$$R = \dfrac{12}{2 \cdot \frac{1}{3}}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения.$$R = \dfrac{12}{\frac{2}{3}} = 18$$

Стоимость колодца из колец

В фирме «Родник» стоимость (в рублях) колодца из железобетонных колец рассчитывается по формуле $C = 6000 + 4100n$, где $n$ — число колец, установленных при рытье колодца. Пользуясь этой формулой…

1. 1
   Подставим в формулу стоимости $C = 6000 + 4100n$ значение $n = 9$.$$C = 6000 + 4100 \cdot 9$$
2. 2
   Выполним умножение и сложение.$$C = 6000 + 36900 = 42900$$

Площадь треугольника по сторонам

Площадь треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ можно найти по формуле Герона $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p=\dfrac{a+b+c}{2}$. Найдите площадь треугольника, если длины его сторон равны 8, 29…

1. 1
   Найдём полупериметр треугольника:$$p=\frac{8+29+35}{2}=36$$
2. 2
   Подставим значения в формулу Герона:$$S=\sqrt{36(36-8)(36-29)(36-35)}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь треугольника по Герону

Площадь треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ можно найти по формуле Герона $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \dfrac{a+b+c}{2}$. Найдите площадь треугольника, если длины его сторон равны…

1. 1
   Найдём полупериметр треугольника:$$p=\frac{3+25+26}{2}=27$$
2. 2
   Подставим значения сторон и полупериметра в формулу Герона:$$S=\sqrt{27(27-3)(27-25)(27-26)}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Расстояние по числу шагов

Зная длину своего шага, человек может приближённо подсчитать пройденное им расстояние $s$ по формуле $s = nl$, где $n$ — число шагов, $l$ — длина шага. Какое расстояние прошёл человек, если $l = 60$…

1. 1
   Вычислим расстояние в сантиметрах:$$s = nl = 1200 \cdot 60 = 72000\ \text{см}$$
2. 2
   Переведём сантиметры в метры, разделив на 100:$$72000 : 100 = 720\ \text{м}$$

Длина диагонали четырёхугольника

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2}d_1d_2\sin\alpha$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей четырёхугольника, $\alpha$ — угол между диагоналями. Пользуясь этой…

1. 1
   Подставим известные значения в формулу площади:$$21 = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot d_2 \cdot \frac{6}{11}$$
2. 2
   Упростим коэффициент при $d_2$:$$21 = \frac{21}{11}d_2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вероятность исправного насоса

В среднем из 1300 садовых насосов, поступивших в продажу, 13 насосов подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

1. 1
   Вероятность того, что случайно выбранный насос подтекает, равна отношению числа подтекающих насосов к общему числу насосов:$$P(\text{подтекает}) = \dfrac{13}{1300} = 0{,}01$$
2. 2
   Событие «насос не подтекает» является противоположным событию «насос подтекает». Поэтому:$$P(\text{не подтекает}) = 1 - 0{,}01 = 0{,}99$$

Вероятность исправного насоса

В среднем из 2000 садовых насосов, поступивших в продажу, 16 насосов подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

1. 1
   Найдём количество насосов, которые не подтекают:$$2000 - 16 = 1984$$
2. 2
   Вероятность выбрать насос, который не подтекает, равна отношению числа исправных насосов к общему числу насосов:$$P = \dfrac{1984}{2000} = 0{,}992$$

Вероятность выбора билета

В сборнике билетов по географии всего 50 билетов, в 8 из них встречается вопрос по теме «Страны Европы». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется…

1. 1
   Число благоприятных исходов равно 8, а общее число исходов — 50.$$m = 8,\quad n = 50$$
2. 2
   Находим вероятность события как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов.$$P = \dfrac{m}{n} = \dfrac{8}{50} = 0{,}16$$

Вероятность доклада России

На семинар приехали 7 учёных из Норвегии, 7 из России и 6 из Испании. Каждый учёный подготовил один доклад. Порядок докладов определяется случайным образом. Найдите вероятность того, что восьмым…

1. 1
   Общее число учёных равно:$$7+7+6=20$$
2. 2
   Для восьмого места все учёные равновероятны, а благоприятны 7 учёных из России.$$P=\dfrac{7}{20}=0{,}35$$

Вероятность выученного билета

На экзамене будет 30 билетов, Серёжа не выучил 9 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

1. 1
   Число выученных билетов равно разности общего числа билетов и числа невыученных билетов.$$30 - 9 = 21$$
2. 2
   Вероятность того, что попадётся выученный билет, равна отношению числа выученных билетов к общему числу билетов.$$P = \dfrac{21}{30} = 0.7$$

Вероятность синей чашки

У бабушки 25 чашек: 5 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает внуку чай в случайно взятую чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

1. 1
   Количество чашек с синими цветами равно разности общего числа чашек и числа чашек с красными цветами.$$25 - 5 = 20$$
2. 2
   Вероятность выбрать чашку с синими цветами равна отношению числа синих чашек к общему числу чашек.$$P = \dfrac{20}{25} = 0.8$$