Базовая математика ЕГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Среднее геометрическое чисел

Среднее геометрическое трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $g = \sqrt[3]{abc}$. Вычислите среднее геометрическое чисел 5, 10, 20.

1. 1
   Подставим данные числа в формулу среднего геометрического.$$g = \sqrt[3]{5 \cdot 10 \cdot 20}$$
2. 2
   Вычислим произведение и извлечём кубический корень.$$g = \sqrt[3]{1000} = 10$$

Площадь прямоугольника по диагонали

Площадь прямоугольника можно вычислить по формуле $S = \dfrac{d^2\sin\alpha}{2}$, где $d$ — длина диагонали, $\alpha$ — угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите площадь $S$, если…

1. 1
   Подставим заданные значения в формулу площади:$$S = \dfrac{6^2 \cdot \frac{1}{3}}{2}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения:$$S = \dfrac{36 \cdot \frac{1}{3}}{2} = \dfrac{12}{2} = 6$$

Длина диагонали четырёхугольника

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2}d_1d_2\sin\alpha$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей четырёхугольника, $\alpha$ — угол между диагоналями. Пользуясь этой…

1. 1
   Подставим известные значения в формулу площади четырёхугольника.$$45 = \frac{1}{2}d_1 \cdot 16 \cdot \frac{5}{8}$$
2. 2
   Упростим правую часть уравнения.$$45 = 5d_1$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Мощность постоянного тока

Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле $P = I^2R$, где $I$ — сила тока (в амперах), $R$ — сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите $P$ (в ваттах), если…

1. 1
   Подставим в формулу значения $I = 5{,}5$ и $R = 16$:$$P = 5{,}5^2 \cdot 16$$
2. 2
   Вычислим квадрат силы тока и умножим на сопротивление:$$P = 30{,}25 \cdot 16 = 484$$

Расчёт количества теплоты

Количество теплоты (в джоулях), полученное однородным телом при нагревании, вычисляется по формуле $Q = cm(t_2 - t_1)$, где $c$ — удельная теплоёмкость (в…

1. 1
   Вычислим изменение температуры тела:$$t_2 - t_1 = 509 - 505 = 4$$
2. 2
   Подставим значения в формулу количества теплоты:$$Q = cm(t_2 - t_1) = 400 \cdot 2 \cdot 4 = 3200$$

Среднее гармоническое чисел

Среднее гармоническое трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $h = \left(\dfrac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}{3}\right)^{-1}$. Найдите среднее гармоническое чисел $\dfrac{1}{4}$…

1. 1
   Подставим числа в формулу среднего гармонического:$$h = \left(\dfrac{\frac{1}{\frac{1}{4}} + \frac{1}{\frac{1}{5}} + \frac{1}{\frac{1}{6}}}{3}\right)^{-1}$$
2. 2
   Вычислим обратные величины и их среднее арифметическое:$$h = \left(\dfrac{4 + 5 + 6}{3}\right)^{-1} = 5^{-1}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина биссектрисы треугольника

Длина биссектрисы $l_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $l_c = \dfrac{1}{a+b}\sqrt{ab\left((a+b)^2-c^2\right)}$. Найдите биссектрису…

1. 1
   Подставим данные в формулу:$$l_c=\dfrac{1}{3+12}\sqrt{3\cdot12\left((3+12)^2-(5\sqrt{5})^2\right)}$$
2. 2
   Вычислим выражение под корнем:$$3\cdot12\left(15^2-125\right)=36\cdot100=3600$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Среднее квадратичное чисел

Среднее квадратичное трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $q = \sqrt{\dfrac{a^2 + b^2 + c^2}{3}}$. Найдите среднее квадратичное чисел $\sqrt{11}$, $6$ и $10$.

1. 1
   Подставим числа в формулу среднего квадратичного:$$q = \sqrt{\dfrac{(\sqrt{11})^2 + 6^2 + 10^2}{3}}$$
2. 2
   Вычислим выражение под корнем:$$q = \sqrt{\dfrac{11 + 36 + 100}{3}} = \sqrt{49}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Энергия заряженного конденсатора

Энергия заряженного конденсатора $W$ (в Дж) вычисляется по формуле $W = \dfrac{CU^2}{2}$, где $C$ — ёмкость конденсатора (в Ф), а $U$ — разность потенциалов на обкладках конденсатора (в В). Найдите…

1. 1
   Подставим известные значения в формулу энергии конденсатора.$$W = \dfrac{10^{-4} \cdot 16^2}{2}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения.$$W = \dfrac{10^{-4} \cdot 256}{2} = 0{,}0128$$

Стоимость поездки на такси

В фирме «Эх, прокачу!» стоимость поездки на такси длительностью меньше 5 минут составляет 150 рублей. Если поездка длится 5 минут или более, то её стоимость (в рублях) рассчитывается по формуле…

1. 1
   Длительность поездки равна 15 минут, поэтому подставляем $t = 15$ в формулу стоимости.$$C = 150 + 11(15 - 5)$$
2. 2
   Выполняем вычисления:$$C = 150 + 11 \cdot 10 = 260$$

Длина диагонали четырёхугольника

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2}d_1d_2\sin\alpha$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей четырёхугольника, $\alpha$ — угол между диагоналями. Пользуясь этой…

1. 1
   Выразим длину второй диагонали из формулы площади:$$d_2 = \frac{2S}{d_1\sin\alpha}$$
2. 2
   Подставим известные значения:$$d_2 = \frac{2 \cdot 3}{6 \cdot \frac{1}{11}} = \frac{6}{6/11} = 11$$

Перевод температуры в Фаренгейты

Чтобы перевести температуру из шкалы Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой $t_F = 1{,}8t_C + 32$, где $t_C$ — температура в градусах по шкале Цельсия, $t_F$ — температура в градусах по…

1. 1
   Подставим $t_C = 48$ в формулу перевода температуры.$$t_F = 1{,}8 \cdot 48 + 32$$
2. 2
   Выполним умножение и сложение.$$t_F = 86{,}4 + 32 = 118{,}4$$

Медиана треугольника

Длина медианы $m_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $m_c = \dfrac{\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}}{2}$. Найдите медиану $m_c$, если $a = 7$…

1. 1
   Подставим значения $a = 7$, $b = 9$ и $c = 8$ в формулу медианы.$$m_c = \dfrac{\sqrt{2 \cdot 7^2 + 2 \cdot 9^2 - 8^2}}{2}$$
2. 2
   Вычислим выражение под корнем.$$2 \cdot 7^2 + 2 \cdot 9^2 - 8^2 = 98 + 162 - 64 = 196$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Энергия заряженного конденсатора

Энергия $W$ (в Дж) заряженного конденсатора вычисляется по формуле $W = \dfrac{q^2}{2C}$, где $C$ — ёмкость конденсатора (в Ф), а $q$ — заряд на одной обкладке конденсатора (в Кл). Найдите $W$ (в…

1. 1
   Подставим заданные значения заряда и ёмкости в формулу.$$W = \dfrac{0{,}011^2}{2 \cdot 5 \cdot 10^{-4}}$$
2. 2
   Вычислим числитель и знаменатель дроби.$$0{,}011^2 = 0{,}000121, \qquad 2 \cdot 5 \cdot 10^{-4} = 0{,}001$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Среднее квадратичное чисел

Среднее квадратичное трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $q = \sqrt{\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}}$. Найдите среднее квадратичное чисел $3$, $4$ и $\sqrt{23}$.

1. 1
   Подставим числа в формулу среднего квадратичного.$$q = \sqrt{\dfrac{3^2+4^2+(\sqrt{23})^2}{3}}$$
2. 2
   Вычислим значения квадратов и упростим выражение.$$q = \sqrt{\dfrac{9+16+23}{3}} = \sqrt{16} = 4$$

Площадь треугольника по Герону

Площадь треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ можно найти по формуле Герона $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \dfrac{a+b+c}{2}$. Найдите площадь треугольника, если длины его сторон равны 6…

1. 1
   Найдём полупериметр треугольника:$$p = \dfrac{6+25+29}{2} = 30$$
2. 2
   По формуле Герона вычислим площадь:$$S = \sqrt{30(30-6)(30-25)(30-29)} = \sqrt{30 \cdot 24 \cdot 5 \cdot 1}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Энергия заряженного конденсатора

Энергия заряженного конденсатора $W$ (в Дж) вычисляется по формуле $W = \dfrac{q^2}{2C}$, где $C$ — ёмкость конденсатора (в Ф), а $q$ — заряд на одной обкладке конденсатора (в Кл). Найдите $W$ (в…

1. 1
   Подставим значения заряда и ёмкости в формулу.$$W = \dfrac{(0{,}05)^2}{2 \cdot 5 \cdot 10^{-4}}$$
2. 2
   Вычислим квадрат заряда и знаменатель дроби.$$(0{,}05)^2 = 0{,}0025, \qquad 2 \cdot 5 \cdot 10^{-4} = 10^{-3}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Энергия заряженного конденсатора

Энергия заряженного конденсатора $W$ (в Дж) вычисляется по формуле $W = \dfrac{CU^2}{2}$, где $C$ — ёмкость конденсатора (в Ф), а $U$ — разность потенциалов на обкладках конденсатора (в В). Найдите…

1. 1
   Подставим в формулу значения ёмкости и разности потенциалов.$$W = \dfrac{10^{-4} \cdot 14^2}{2}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения.$$W = \dfrac{10^{-4} \cdot 196}{2} = 0.0098$$

Площадь четырёхугольника

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле $S = \dfrac{1}{2}d_1d_2\sin\alpha$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей четырёхугольника, $\alpha$ — угол между диагоналями. Пользуясь этой…

1. 1
   Подставим значения диагоналей и синуса угла в формулу площади.$$S = \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 18 \cdot \dfrac{8}{9}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения.$$S = 32$$

Найти косинус угла

Найдите $\cos\alpha$, если $\sin\alpha = \dfrac{2\sqrt{6}}{5}$ и $0^\circ < \alpha < 90^\circ$.

1. 1
   Применим основное тригонометрическое тождество:$$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$$
2. 2
   Подставим значение синуса и найдём квадрат косинуса:$$\cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{2\sqrt{6}}{5}\right)^2 = 1 - \frac{24}{25} = \frac{1}{25}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении