Базовая математика ЕГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Вероятность жёлтого такси

В фирме такси в данный момент свободно 16 машин: 5 чёрных, 4 жёлтых и 7 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему…

1. 1
   Общее число возможных машин равно 16.
2. 2
   Благоприятными являются 4 жёлтые машины.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вероятность двух неисправных батареек

Вероятность того, что батарейка бракованная, равна $0{,}05$. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две такие батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся…

1. 1
   События, связанные с исправностью двух батареек, считаем независимыми.$$P(A \cap B)=P(A)P(B)$$
2. 2
   Вероятность того, что обе батарейки окажутся бракованными:$$P=0{,}05 \cdot 0{,}05=0{,}0025$$

Вероятность доклада из России

На семинар приехали 7 учёных из Норвегии, 3 из России и 5 из Испании. Каждый учёный подготовил один доклад. Порядок докладов определяется случайным образом. Найдите вероятность того, что восьмым…

1. 1
   Всего на семинар приехало $7 + 3 + 5 = 15$ учёных.
2. 2
   Благоприятными являются 3 случая: восьмым может оказаться доклад любого из трёх российских учёных.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вероятность выпадения конфеты

В кармане у Пети было четыре конфеты — «Красная шапочка», «Коровка», «Мишка» и «Белочка», а также ключи от квартиры. Вынимая ключи, Петя случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность…

1. 1
   Всего в кармане было четыре конфеты, поэтому возможны четыре равновероятных исхода.$$n = 4$$
2. 2
   Благоприятным является только один исход — выпадение конфеты «Коровка».$$m = 1$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вероятность неповреждения стекла

Вероятность того, что стекло мобильного телефона разобьётся при падении на твёрдую поверхность, равна 0,84. Найдите вероятность того, что при падении на твёрдую поверхность стекло мобильного…

1. 1
   Событие «стекло не разобьётся» противоположно событию «стекло разобьётся».$$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$$
2. 2
   Находим искомую вероятность:$$P(\overline{A}) = 1 - 0{,}84 = 0{,}16$$

Вероятность зелёного чая

В коробке вперемешку лежат чайные пакетики с чёрным и зелёным чаем, одинаковые на вид, причём пакетиков с чёрным чаем в 4 раза больше, чем пакетиков с зелёным. Найдите вероятность того, что случайно…

1. 1
   Пусть пакетиков с зелёным чаем $x$. Тогда пакетиков с чёрным чаем $4x$.
2. 2
   Общее количество пакетиков равно $x + 4x = 5x$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Перегорание двух ламп

Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,08. Найдите вероятность того, что в течение года обе лампы перегорят.

1. 1
   Перегорание ламп рассматриваем как независимые события.
2. 2
   Вероятность того, что перегорят обе лампы, равна произведению вероятностей перегорания каждой лампы.$$P = 0{,}08 \cdot 0{,}08 = 0{,}0064$$

Вероятность хорошей ручки

Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо или вовсе не пишет, равна 0,14. Покупатель, не глядя, берёт одну шариковую ручку из коробки. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет…

1. 1
   Событие «ручка пишет хорошо» является противоположным событию «ручка пишет плохо или вовсе не пишет».$$P(\text{хорошо}) = 1 - P(\text{плохо или не пишет})$$
2. 2
   Подставим известную вероятность и найдём искомую:$$P(\text{хорошо}) = 1 - 0{,}14 = 0{,}86$$

Вероятность одной из тем

На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Тригонометрия», равна 0,1. Вероятность того, что это вопрос по…

1. 1
   События «вопрос по теме “Тригонометрия”» и «вопрос по теме “Вписанная окружность”» несовместны, поскольку таких вопросов одновременно по двум темам нет.
2. 2
   Для несовместных событий вероятность наступления одного из них равна сумме их вероятностей.$$P(A \cup B)=P(A)+P(B)$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вероятность выступления парагвайки

В чемпионате по гимнастике участвуют 65 спортсменок: 18 из Аргентины, 21 из Бразилии, остальные — из Парагвая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того…

1. 1
   Найдём количество спортсменок из Парагвая:$$65 - 18 - 21 = 26$$
2. 2
   Вероятность того, что первой выступит спортсменка из Парагвая, равна отношению числа спортсменок из Парагвая к общему числу участниц:$$P = \dfrac{26}{65} = 0{,}4$$

Вероятность выступления в день

Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 50 выступлений — по одному от каждой страны, участвующей в конкурсе. Исполнитель из России участвует в конкурсе. В первый день запланировано…

1. 1
   После первого дня остаётся $50 - 14 = 36$ выступлений. Они поровну распределены между четырьмя днями.$$36 : 4 = 9$$
2. 2
   В третий день запланировано 9 выступлений из 50. При случайном порядке выступлений вероятность участия исполнителя из России в третий день равна отношению благоприятных исходов к общему числу исходов.$$P = \dfrac{9}{50} = 0{,}18$$

Вероятность двух неисправных батареек

Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,02. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся…

1. 1
   События, связанные с неисправностью двух батареек, считаем независимыми.$$P = p_1 \cdot p_2$$
2. 2
   Вероятность неисправности каждой батарейки равна $0{,}02$, поэтому вероятность неисправности обеих батареек равна:$$P = 0{,}02 \cdot 0{,}02 = 0{,}0004$$

Вероятность приживаемости саженца

Из 300 саженцев крыжовника в среднем 36 не приживаются. Какова вероятность того, что случайно выбранный саженец крыжовника приживётся?

1. 1
   Найдём количество саженцев, которые приживаются:$$300 - 36 = 264$$
2. 2
   Вероятность того, что случайно выбранный саженец приживётся, равна отношению числа прижившихся саженцев к их общему числу:$$P = \dfrac{264}{300} = 0{,}88$$

Вероятность выступления в день

Конкурс исполнителей проводится в 4 дня. Всего заявлено 80 выступлений — по одному от каждой страны, участвующей в конкурсе. Исполнитель из России участвует в конкурсе. В первый день запланировано 8…

1. 1
   Определим количество выступлений, запланированных на третий день. После первого дня остаётся $80 - 8 = 72$ выступления.$$80 - 8 = 72$$
2. 2
   Оставшиеся выступления распределены поровну между тремя днями, поэтому на третий день приходится:$$72 : 3 = 24$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вероятность выступления гимнастки

В чемпионате по гимнастике участвуют 55 спортсменок: 21 из Аргентины, 23 из Бразилии, остальные — из Парагвая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того…

1. 1
   Найдём количество спортсменок из Парагвая:$$55 - 21 - 23 = 11$$
2. 2
   Так как порядок выступления определяется случайно, вероятность того, что первой выступит спортсменка из Парагвая, равна отношению числа спортсменок из Парагвая к общему числу участниц:$$P = \dfrac{11}{55} = 0{,}2$$

Вероятность удобного места

На борту самолёта 26 мест расположены рядом с запасными выходами и 10 мест — за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир Д. высокого роста…

1. 1
   Удобными для пассажира высокого роста являются места рядом с запасными выходами и места за перегородками.$$m = 26 + 10 = 36$$
2. 2
   Вероятность случайного выбора удобного места равна отношению числа удобных мест к общему числу мест.$$P = \dfrac{36}{300} = 0{,}12$$

Вероятность попасть в аудиторию

На олимпиаде по обществознанию 350 участников собираются разместить в трёх аудиториях: в первых двух аудиториях — по 140 человек, оставшихся — в запасной аудитории в другом корпусе. Найдите…

1. 1
   В первых двух аудиториях разместят $2 \cdot 140 = 280$ участников.$$2 \cdot 140 = 280$$
2. 2
   В запасной аудитории окажутся оставшиеся участники:$$350 - 280 = 70$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вероятность скрытого дефекта

Фабрика выпускает сумки. В среднем из 200 сумок, поступивших в продажу, 12 сумок имеют скрытый дефект. Найдите вероятность того, что случайно выбранная сумка окажется со скрытым дефектом.

1. 1
   Вероятность равна отношению числа сумок со скрытым дефектом к общему числу сумок.$$P = \dfrac{12}{200}$$
2. 2
   Выполним деление:$$P = \dfrac{12}{200} = 0{,}06$$

Вероятность выбора карандаша

В пенале лежат грифельные карандаши разной твёрдости: 3 твёрдых, 4 мягких и 3 средней твёрдости. Какова вероятность того, что случайным образом достанут из пенала карандаш, имеющий твёрдый грифель?

1. 1
   Определим общее число карандашей в пенале:$$3 + 4 + 3 = 10$$
2. 2
   Благоприятными являются 3 исхода — выбор твёрдого карандаша. Найдём вероятность:$$P = \dfrac{3}{10} = 0{,}3$$

Вероятность доклада в последний день

Научная конференция проводится в 4 дня. Всего запланировано 50 докладов: первые два дня — по 13 докладов, остальные доклады распределены поровну между третьим и четвёртым днями. На конференции…

1. 1
   Найдём количество докладов, оставшихся после первых двух дней:$$50 - 2 \cdot 13 = 24$$
2. 2
   Оставшиеся доклады распределены поровну между третьим и четвёртым днями, поэтому на последний день приходится:$$24 : 2 = 12$$

Ещё 1 шаг — в полном решении