Базовая математика ЕГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Распил палки по линиям

На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 18 кусков, если по жёлтым — 6 кусков, а если по зелёным — 19 кусков. Сколько…

1. 1
   Если сделать $n$ распилов, палка разделится на $n+1$ кусков. Поэтому число линий каждого цвета на одну меньше указанного числа кусков.$$18-1=17,\quad 6-1=5,\quad 19-1=18$$
2. 2
   Общее число линий равно сумме линий всех трёх цветов.$$17+5+18=40$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Подъезд по номеру квартиры

В доме, в котором живёт Нина, 9 этажей и несколько подъездов. На каждом этаже находится по 5 квартир. Нина живёт в квартире № 77. В каком подъезде живёт Нина?

1. 1
   Найдём количество квартир в одном подъезде:$$9 \cdot 5 = 45$$
2. 2
   В первом подъезде находятся квартиры с номерами от 1 до 45, а во втором — с номерами от 46 до 90. Квартира № 77 находится во втором подъезде.$$45 < 77 \leq 90$$

Распил досок и количество кусков

Взяли несколько досок и распилили их. Всего сделали 8 поперечных распилов, в итоге получилось 19 кусков. Сколько досок взяли?

1. 1
   Изначально каждая доска является одним куском. Каждый поперечный распил увеличивает число кусков на один.$$n + 8 = 19$$
2. 2
   Найдём количество досок:$$n = 19 - 8 = 11$$

Обмен монет и делимость

В обменном пункте можно совершить одну из двух операций: — за 4 золотые монеты получить 5 серебряных и одну медную; — за 8 серебряных монет получить 5 золотых и одну медную. У Николая были только…

1. 1
   Пусть $x$ — число операций первого типа, а $y$ — число операций второго типа. Каждая операция даёт одну медную монету, поэтому$$x+y=45$$
2. 2
   Золотых монет вначале и в конце не было. При операциях первого типа тратится 4 золотые монеты, а при операциях второго типа получается 5 золотых монет, поэтому$$4x=5y$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Количество строк таблицы

В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна 77, во втором — 125, в третьем — 175, а сумма чисел в…

1. 1
   Найдём сумму всех чисел в таблице по суммам столбцов.$$77 + 125 + 175 = 377$$
2. 2
   Сумма чисел в каждой строке — натуральное число, большее 22, но меньшее 25. Значит, она равна 23 или 24.

Ещё 3 шага — в полном решении

Увеличение произведения множителей

Если бы каждый из двух множителей увеличили на 1, то их произведение увеличилось бы на 12. На сколько увеличится произведение этих множителей, если каждый из них увеличить на 4?

1. 1
   Обозначим исходные множители через $a$ и $b$. При увеличении каждого из них на 1 прирост произведения равен 12:$$(a+1)(b+1)-ab=12$$
2. 2
   Раскроем скобки и найдём сумму множителей:$$ab+a+b+1-ab=12,\quad a+b=11$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Подсчёт проводов между столбами

Восемь столбов соединены между собой проводами так, что от каждого столба отходит ровно 6 проводов. Сколько всего проводов протянуто между этими восемью столбами?

1. 1
   Посчитаем общее число выходов проводов из столбов:$$8 \cdot 6 = 48$$
2. 2
   Каждый провод соединяет два столба, поэтому при таком подсчёте он учтён дважды.$$N = \dfrac{48}{2} = \dfrac{8 \cdot 6}{2} = 24$$

Подсчёт договоров между странами

Из десяти стран семь подписали договор о дружбе ровно с пятью другими странами, а каждая из оставшихся трёх — ровно с семью. Сколько всего было подписано договоров?

1. 1
   Суммируем количество договоров, заключённых каждой из десяти стран:$$7 \cdot 5 + 3 \cdot 7 = 35 + 21 = 56$$
2. 2
   При таком подсчёте каждый договор учтён дважды — по одному разу для каждой из двух стран.$$N = \dfrac{56}{2} = 28$$

Количество строк в таблице

В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна 148, во втором — 108, в третьем — 70, а сумма чисел в…

1. 1
   Найдём сумму всех чисел в таблице, сложив суммы по столбцам.$$148+108+70=326$$
2. 2
   Сумма чисел в каждой строке — целое число, большее 26 и меньшее 29. Поэтому сумма каждой строки равна 27 или 28.

Ещё 2 шага — в полном решении

Квартира и номер подъезда

В доме, в котором живёт Галя, 9 этажей и несколько подъездов. На каждом этаже находится по 5 квартир. Галя живёт в квартире № 54. В каком подъезде живёт Галя?

1. 1
   Найдём количество квартир в одном подъезде:$$9 \cdot 5 = 45$$
2. 2
   В первом подъезде находятся квартиры с номерами от 1 до 45. Квартира № 54 относится ко второму подъезду.$$45 < 54 \leq 2 \cdot 45$$

Подсчёт проводов между столбами

Десять столбов соединены между собой проводами так, что от каждого столба отходит ровно 9 проводов. Сколько всего проводов протянуто между этими десятью столбами?

1. 1
   Посчитаем общее количество концов проводов, отходящих от столбов.$$10 \cdot 9 = 90$$
2. 2
   Каждый провод соединяет два столба, поэтому при таком подсчёте каждый провод учтён дважды.$$N = \dfrac{90}{2} = 45$$

Число жителей дома

В доме всего семнадцать квартир с номерами от 1 до 17. В каждой квартире живёт не менее одного и не более четырёх человек. В квартирах с 1-й по 11-ю включительно живёт суммарно 13 человек, а в…

1. 1
   Обозначим через $S$ количество жителей квартир с 7-й по 11-ю. В первых шести квартирах живёт не менее 6 человек, поэтому$$S \le 13 - 6 = 7$$
2. 2
   В квартирах с 12-й по 17-ю живёт не более $6 \cdot 4 = 24$ человек. Поэтому$$31 - S \le 24 \quad \Rightarrow \quad S \ge 7$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Точки после девяти прыжков

Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок, делая первый прыжок из начала координат. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в…

1. 1
   За каждый прыжок координата изменяется на $1$ в ту или другую сторону. После 9 прыжков возможные координаты лежат от $-9$ до $9$.
2. 2
   Так как число прыжков нечётное, координаты будут нечётными: $-9, -7, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, 9$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь четвёртого прямоугольника

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 5, 15 и 33. Найдите площадь…

1. 1
   Пусть площадь четвёртого прямоугольника равна $x$. Для разбиения прямоугольника двумя перпендикулярными разрезами произведения площадей противоположных частей равны.$$5\cdot33=15x$$
2. 2
   Решим полученное уравнение:$$x=\dfrac{5\cdot33}{15}=11$$

Среднее арифметическое чисел

Среднее арифметическое шести различных натуральных чисел равно 9. Среднее арифметическое этих чисел и седьмого числа равно 11. Чему равно седьмое число?

1. 1
   Сумма шести чисел равна произведению их среднего арифметического на количество чисел.$$S_6 = 6 \cdot 9 = 54$$
2. 2
   Сумма всех семи чисел равна:$$S_7 = 7 \cdot 11 = 77$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Число строк в таблице

В таблице три столбца и несколько строк. В каждую ячейку таблицы вписали по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна 93, во втором — 107, в третьем — 123, а сумма чисел в…

1. 1
   Найдём сумму всех чисел в таблице по суммам столбцов.$$93+107+123=323$$
2. 2
   Сумма чисел в каждой строке — целое число, большее 19 и меньшее 22, поэтому она равна 20 или 21.

Ещё 2 шага — в полном решении

Улитка на дереве

Улитка за день заползает вверх по дереву на 4 м, а за ночь сползает на 1 м. Высота дерева 13 м. За сколько дней улитка доползёт до вершины дерева, начав путь от его основания?

1. 1
   За каждый полный день с последующей ночью улитка преодолевает $4 - 1 = 3$ м.
2. 2
   После трёх таких циклов, то есть утром четвёртого дня, улитка находится на высоте $3 \cdot 3 = 9$ м.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Количество жителей дома

В доме всего восемнадцать квартир, их номера от 1 до 18. В каждой квартире живёт не меньше одного и не больше трёх человек. В квартирах с 1-й по 13-ю включительно живёт суммарно 15 человек, а в…

1. 1
   В первых десяти квартирах живёт не менее 10 человек. Так как в квартирах с 1-й по 13-ю всего 15 человек, на квартиры с 11-й по 13-ю приходится не более 5 человек.
2. 2
   В квартирах с 11-й по 13-ю живёт не менее трёх человек, а в первых десяти квартирах суммарно не менее 10 человек. Для получения общей суммы 15 первые десять квартир должны содержать ровно 10 человек.$$15 - 10 = 5$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Обмен монет в пункте

В обменном пункте можно совершить одну из двух операций: за 4 золотые монеты получить 5 серебряных и одну медную; за 7 серебряных монет получить 5 золотых и одну медную. У Николая были только…

1. 1
   Пусть $x$ — число операций, при которых за золотые монеты получают серебряные, а $y$ — число операций, при которых за серебряные монеты получают золотые.
2. 2
   Золотых монет в конце не появилось, поэтому количество потраченных золотых монет равно количеству полученных:$$4x=5y$$

Ещё 4 шага — в полном решении

Определение подъезда по номеру квартиры

В доме, в котором живёт Ася, 17 этажей и несколько подъездов. На каждом этаже находится по 3 квартиры. Ася живёт в квартире № 56. В каком подъезде живёт Ася?

1. 1
   Найдём количество квартир в одном подъезде:$$17 \cdot 3 = 51$$
2. 2
   В первом подъезде находятся квартиры № 1–51. Квартира № 56 относится ко второму подъезду.$$56 > 51$$