ФИПИ тапсырмаларының шешімдері ЕГЭ по базалық математикаға: «Стереометрия» — жауаптарымен

Площадь поверхности параллелепипеда

Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 12 и 6, а объём параллелепипеда равен 144. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.

1. 1
   Обозначим третье ребро через $c$. Из формулы объёма найдём его длину:$$c = \dfrac{144}{12 \cdot 6} = 2$$
2. 2
   Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна удвоенной сумме площадей трёх различных граней:$$S = 2(ab + bc + ac)$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Высота четырёхугольной пирамиды

Основанием четырёхугольной пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 12. Найдите длину высоты этой пирамиды, если её объём равен 60.

1. 1
   Найдём площадь прямоугольного основания:$$S_{\text{осн}} = 3 \cdot 12 = 36$$
2. 2
   Используем формулу объёма пирамиды и выразим высоту:$$V = \dfrac{1}{3}S_{\text{осн}}h,\quad h = \dfrac{3V}{S_{\text{осн}}}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Объём треугольной пирамиды

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 3, а высота пирамиды равна $4\sqrt{3}$. Найдите объём этой пирамиды.

1. 1
   Площадь основания — площадь равностороннего треугольника со стороной 3.$$S_{\text{осн}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3^2\sqrt{3}}{4}=\frac{9\sqrt{3}}{4}$$
2. 2
   Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.$$V=\frac{1}{3}S_{\text{осн}}h=\frac{1}{3}\cdot\frac{9\sqrt{3}}{4}\cdot4\sqrt{3}=9$$

Объём треугольной призмы

Сторона основания правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равна $1$, а высота этой призмы равна $2\sqrt{3}$. Найдите объём призмы $ABCA_1B_1C_1$.

1. 1
   Основание призмы — правильный треугольник со стороной $1$. Его площадь равна$$S_{\text{осн}}=\frac{1^2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{4}$$
2. 2
   Объём призмы равен произведению площади основания на высоту:$$V=S_{\text{осн}}h=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 2\sqrt{3}=\frac{3}{2}=1{,}5$$

Площадь боковой поверхности конуса

Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 7 и 9, а второго — 2 и 7. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого конуса больше площади боковой…

1. 1
   Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:$$S_{\text{бок}} = \pi r l$$
2. 2
   Составим отношение площадей первого и второго конусов:$$\frac{S_1}{S_2}=\frac{\pi\cdot 7\cdot 9}{\pi\cdot 2\cdot 7}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Объём отсечённого конуса

Объём конуса равен 32. Через середину высоты конуса проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью.

1. 1
   Плоскость параллельна основанию и проходит через середину высоты, поэтому высота отсечённого конуса в 2 раза меньше высоты исходного. Соответствующие линейные размеры относятся как $1:2$.$$k = \frac{1}{2}$$
2. 2
   Объёмы подобных тел относятся как кубы коэффициента подобия.$$V_\text{мал} = V_\text{исх} \cdot k^3 = 32 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 4$$

Площадь осевого сечения цилиндра

Радиус основания цилиндра равен 25, а его образующая равна 16. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от неё на расстояние, равное 15. Найдите площадь этого сечения.

1. 1
   Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, является прямоугольником. Его высота равна образующей цилиндра: $h=16$.
2. 2
   В основании сечения образуется хорда окружности радиуса $25$. Расстояние от центра окружности до хорды равно $15$.

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Объём треугольной пирамиды

В треугольной пирамиде $ABCD$ рёбра $AB$, $AC$ и $AD$ взаимно перпендикулярны. Найдите объём этой пирамиды, если $AB = 2$, $AC = 15$ и $AD = 7$.

1. 1
   Так как рёбра $AB$, $AC$ и $AD$ взаимно перпендикулярны, объём треугольной пирамиды вычисляется как одна шестая произведения их длин.$$V = \dfrac{1}{6}AB \cdot AC \cdot AD$$
2. 2
   Подставим значения длин рёбер.$$V = \dfrac{1}{6} \cdot 2 \cdot 15 \cdot 7 = 35$$

Разбиение поверхности глобуса

На поверхности глобуса фломастером проведены 16 параллелей и 19 меридианов. На сколько частей проведённые линии разделили поверхность глобуса? Меридиан — это дуга окружности, соединяющая Северный и…

1. 1
   19 меридианов, сходящихся в полюсах, делят поверхность глобуса на 19 частей.$$19$$
2. 2
   Каждая из 16 параллелей пересекает все 19 меридианов и разбивается ими на 19 дуг, поэтому добавляет 19 частей.$$16 \cdot 19$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Радиус основания конуса

Объём конуса равен $72\pi$, а его высота равна $6$. Найдите радиус основания конуса.

1. 1
   Запишем формулу объёма конуса:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$$
2. 2
   Подставим известные значения объёма и высоты:$$72\pi = \dfrac{1}{3}\pi r^2 \cdot 6 = 2\pi r^2$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Объём отсечённого конуса

Объём конуса равен 54. Через точку, делящую высоту конуса в отношении $1:2$, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсечённого от данного конуса…

1. 1
   Плоскость параллельна основанию, поэтому отсечённый конус подобен исходному.
2. 2
   Точка делит высоту в отношении $1:2$ от вершины, значит высота отсечённого конуса составляет треть высоты исходного:$$k=\frac{h}{H}=\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Объём треугольной призмы

Сторона основания правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равна $1$, а высота этой призмы равна $\sqrt{3}$. Найдите объём призмы $ABCA_1B_1C_1$.

1. 1
   Основанием призмы является равносторонний треугольник со стороной $1$. Его площадь:$$S_{\text{осн}}=\frac{1^2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{4}$$
2. 2
   Объём призмы равен произведению площади основания на высоту:$$V=S_{\text{осн}}h=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot\sqrt{3}=\frac{3}{4}=0.75$$

Объём треугольной пирамиды

В треугольной пирамиде $ABCD$ рёбра $AB$, $AC$ и $AD$ взаимно перпендикулярны. Найдите объём этой пирамиды, если $AB = 5$, $AC = 24$ и $AD = 3$.

1. 1
   Так как рёбра $AB$, $AC$ и $AD$ взаимно перпендикулярны, объём треугольной пирамиды вычисляется как одна шестая произведения их длин.$$V = \dfrac{AB \cdot AC \cdot AD}{6}$$
2. 2
   Подставим известные значения.$$V = \dfrac{5 \cdot 24 \cdot 3}{6} = 60$$

Радиус основания конуса

Объём конуса равен $24\pi$, а его высота равна $8$. Найдите радиус основания конуса.

1. 1
   Объём конуса вычисляется по формуле:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
2. 2
   Подставим известные значения объёма и высоты:$$24\pi = \dfrac{1}{3}\pi r^2 \cdot 8$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Объёмы двух цилиндров

Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 3 и 8, а второго — 2 и 3. Во сколько раз объём первого цилиндра больше объёма второго?

1. 1
   Объём цилиндра вычисляется по формуле:$$V = \pi r^2 h$$
2. 2
   Составим отношение объёма первого цилиндра к объёму второго:$$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\pi \cdot 3^2 \cdot 8}{\pi \cdot 2^2 \cdot 3}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Высота конуса по объёму

Объём конуса равен $12\pi$, а радиус его основания равен $3$. Найдите длину высоты этого конуса.

1. 1
   Объём конуса вычисляется по формуле:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$$
2. 2
   Подставим известные значения объёма и радиуса:$$12\pi = \dfrac{1}{3}\pi \cdot 3^2 \cdot h$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Объём треугольной пирамиды

В треугольной пирамиде $ABCD$ рёбра $AB$, $AC$ и $AD$ взаимно перпендикулярны. Найдите объём этой пирамиды, если $AB = 10$, $AC = 18$ и $AD = 3$.

1. 1
   Три ребра $AB$, $AC$ и $AD$, выходящие из вершины $A$, взаимно перпендикулярны. Поэтому объём пирамиды равен одной шестой произведения их длин.$$V = \dfrac{1}{6} \cdot AB \cdot AC \cdot AD$$
2. 2
   Подставим известные значения длин рёбер.$$V = \dfrac{1}{6} \cdot 10 \cdot 18 \cdot 3 = 90$$

Радиус основания конуса

Объём конуса равен $15\pi$, а его высота равна $5$. Найдите радиус основания конуса.

1. 1
   Объём конуса вычисляется по формуле:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$$
2. 2
   Подставим известные значения объёма и высоты:$$15\pi = \dfrac{1}{3}\pi r^2 \cdot 5$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Радиус основания конуса

Объём конуса равен $24\pi$, а его высота равна $8$. Найдите радиус основания конуса.

1. 1
   Запишем формулу объёма конуса:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$$
2. 2
   Подставим известные значения объёма и высоты:$$24\pi = \dfrac{1}{3}\pi r^2 \cdot 8$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Объёмы двух конусов

Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно 2 и 3, а второго — 8 и 6. Во сколько раз объём второго конуса больше объёма первого?

1. 1
   Объём конуса вычисляется по формуле:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
2. 2
   Найдём отношение объёма второго конуса к объёму первого. Общий множитель $\dfrac{1}{3}\pi$ сокращается:$$\dfrac{V_2}{V_1} = \dfrac{r_2^2h_2}{r_1^2h_1} = \left(\dfrac{8}{2}\right)^2 \cdot \dfrac{6}{3} = 4^2 \cdot 2 = 32$$