Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Степени корни логарифмы» — с ответами

Значение произведения корней

Найдите значение выражения $\sqrt{3{,}5}\cdot\sqrt{14}$.

1. 1
   Объединим произведение квадратных корней в один корень.$$\sqrt{3{,}5}\cdot\sqrt{14}=\sqrt{3{,}5\cdot14}$$
2. 2
   Вычислим подкоренное выражение и извлечём квадратный корень.$$\sqrt{3{,}5\cdot14}=\sqrt{49}=7$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{(3^{-3})^2}{3^{-8}}$.

1. 1
   Возведём степень в степень, перемножив показатели:$$(3^{-3})^2 = 3^{-6}$$
2. 2
   При делении степеней с одинаковым основанием вычитаем показатели:$$\dfrac{3^{-6}}{3^{-8}} = 3^{-6-(-8)} = 3^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\dfrac{\sqrt{32}}{5\sqrt{8}}$.

1. 1
   Вынесем квадратные множители из-под знаков корня:$$\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot2}=4\sqrt{2},\qquad \sqrt{8}=\sqrt{4\cdot2}=2\sqrt{2}$$
2. 2
   Подставим полученные значения и сократим $\sqrt{2}$:$$\dfrac{\sqrt{32}}{5\sqrt{8}}=\dfrac{4\sqrt{2}}{5\cdot2\sqrt{2}}=\dfrac{2}{5}=0{,}4$$

Разность логарифмов

Найдите значение выражения $\log_{2}88 - \log_{2}11$.

1. 1
   Применим свойство разности логарифмов с одинаковым основанием:$$\log_{2}88 - \log_{2}11 = \log_{2}\left(\frac{88}{11}\right)$$
2. 2
   Вычислим частное и представим результат как степень двойки:$$\log_{2}8 = \log_{2}2^3 = 3$$

Упростить выражение с корнями

Найдите значение выражения $\dfrac{7\sqrt{112}}{\sqrt{7}}$.

1. 1
   Разложим число $112$ на множители:$$112=7\cdot16$$
2. 2
   Упростим квадратный корень:$$\sqrt{112}=\sqrt{7\cdot16}=4\sqrt{7}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Разность квадратов с корнями

Найдите значение выражения $(\sqrt{13}-\sqrt{2})(\sqrt{13}+\sqrt{2})$.

1. 1
   Применим формулу разности квадратов к произведению суммы и разности.$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$
2. 2
   Подставим значения подкоренных выражений и вычислим.$$(\sqrt{13}-\sqrt{2})(\sqrt{13}+\sqrt{2})=(\sqrt{13})^2-(\sqrt{2})^2=13-2=11$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $4 \cdot 10^3 + 5 \cdot 10^2 + 6 \cdot 10^1$.

1. 1
   Вычислим значения степеней числа $10$:$$10^3 = 1000,\quad 10^2 = 100,\quad 10^1 = 10$$
2. 2
   Подставим значения и выполним умножение:$$4 \cdot 1000 + 5 \cdot 100 + 6 \cdot 10 = 4000 + 500 + 60$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Сумма логарифмов

Найдите значение выражения $\log_3 0{,}3 + \log_3 30$.

1. 1
   Применим свойство сложения логарифмов с одинаковыми основаниями.$$\log_3 0{,}3 + \log_3 30 = \log_3(0{,}3 \cdot 30)$$
2. 2
   Вычислим произведение под знаком логарифма и найдём значение логарифма.$$\log_3(0{,}3 \cdot 30) = \log_3 9 = 2$$

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\dfrac{\sqrt{405}}{5\sqrt{5}}$.

1. 1
   Разложим число под корнем на множители:$$405 = 81 \cdot 5$$
2. 2
   Преобразуем числитель:$$\sqrt{405} = \sqrt{81 \cdot 5} = 9\sqrt{5}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение логарифмического выражения

Найдите значение выражения $\log_{\sqrt{11}}(11^2)$.

1. 1
   Представим основание логарифма и аргумент как степени числа $11$.$$\sqrt{11}=11^{1/2},\quad 11^2=(11^{1/2})^4$$
2. 2
   По определению логарифма показатель степени равен значению выражения.$$\log_{\sqrt{11}}(11^2)=\log_{11^{1/2}}\left((11^{1/2})^4\right)=4$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $(8 \cdot 10^4) \cdot (1{,}1 \cdot 10^{-4})$.

1. 1
   Перегруппируем множители и применим правило умножения степеней с одинаковым основанием.$$(8 \cdot 10^4) \cdot (1{,}1 \cdot 10^{-4}) = 8 \cdot 1{,}1 \cdot 10^{4+(-4)}$$
2. 2
   Степень десяти равна нулю, поэтому $10^0 = 1$.$$8 \cdot 1{,}1 \cdot 10^0 = 8{,}8$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{4^{12} \cdot 2^7}{8^{10}}$.

1. 1
   Представим числа $4$ и $8$ как степени двойки:$$4^{12} = (2^2)^{12} = 2^{24}, \quad 8^{10} = (2^3)^{10} = 2^{30}$$
2. 2
   Подставим полученные выражения и применим свойства степеней:$$\dfrac{4^{12} \cdot 2^7}{8^{10}} = \dfrac{2^{24} \cdot 2^7}{2^{30}} = 2^{24+7-30} = 2^1 = 2$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{(0{,}1)^2}{10^{-2}} \cdot 10^2$.

1. 1
   Представим число $0{,}1$ в виде степени десяти и возведём его в квадрат.$$(0{,}1)^2 = (10^{-1})^2 = 10^{-2}$$
2. 2
   Подставим полученное значение в выражение и сократим дробь.$$\dfrac{(0{,}1)^2}{10^{-2}} \cdot 10^2 = \dfrac{10^{-2}}{10^{-2}} \cdot 10^2 = 10^2 = 100$$

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\dfrac{\sqrt{28}}{2\sqrt{7}}$.

1. 1
   Разложим число $28$ на множители и вынесем полный квадрат из-под корня.$$\sqrt{28}=\sqrt{4\cdot7}=2\sqrt{7}$$
2. 2
   Подставим полученное выражение в исходную дробь и сократим.$$\dfrac{\sqrt{28}}{2\sqrt{7}}=\dfrac{2\sqrt{7}}{2\sqrt{7}}=1$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{(0{,}01)^2}{10^{-2}} \cdot 10^4$.

1. 1
   Представим десятичную дробь $0{,}01$ как степень десяти:$$0{,}01 = 10^{-2}$$
2. 2
   Возведём степень в квадрат:$$(0{,}01)^2 = (10^{-2})^2 = 10^{-4}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\dfrac{\sqrt{147}}{\sqrt{3}}$.

1. 1
   Преобразуем частное корней в корень из частного.$$\dfrac{\sqrt{147}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\dfrac{147}{3}}$$
2. 2
   Вычисляем значение подкоренного выражения и извлекаем квадратный корень.$$\sqrt{\dfrac{147}{3}} = \sqrt{49} = 7$$

Разность логарифмов

Найдите значение выражения $\log_2 128 - \log_2 4$.

1. 1
   Представим числа под логарифмами как степени двойки:$$128 = 2^7, \quad 4 = 2^2$$
2. 2
   Вычислим логарифмы и найдём их разность:$$\log_2 128 - \log_2 4 = 7 - 2 = 5$$

Произведение арифметических корней

Найдите значение выражения $\sqrt{1{,}6}\cdot\sqrt{40}$.

1. 1
   Объединим произведение корней в один корень.$$\sqrt{1{,}6}\cdot\sqrt{40}=\sqrt{1{,}6\cdot40}$$
2. 2
   Вычислим подкоренное выражение и извлечём квадратный корень.$$\sqrt{1{,}6\cdot40}=\sqrt{64}=8$$

Сумма логарифмов

Найдите значение выражения $\log_3 1{,}8 + \log_3 5$.

1. 1
   Применим свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием:$$\log_3 1{,}8 + \log_3 5 = \log_3(1{,}8 \cdot 5)$$
2. 2
   Вычислим произведение под знаком логарифма:$$1{,}8 \cdot 5 = 9$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вычисление значения выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{7}{5} - 2{,}2 - \dfrac{1}{2}$.

1. 1
   Преобразуем обыкновенные дроби в десятичные:$$\dfrac{7}{5}=1{,}4,\quad \dfrac{1}{2}=0{,}5$$
2. 2
   Подставим полученные значения и выполним вычитание:$$1{,}4-2{,}2-0{,}5=-0{,}8-0{,}5=-1{,}3$$