Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Площадь участка на плане

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат $1\ \text{м} \times 1\ \text{м}$. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

1. 1
   По клеткам определяем длины параллельных сторон участка: $7\ \text{м}$ и $3\ \text{м}$. Расстояние между ними равно $7\ \text{м}$.$$a=7,\quad b=3,\quad h=7$$
2. 2
   Площадь участка вычисляем по формуле площади трапеции.$$S=\dfrac{a+b}{2}\cdot h=\dfrac{7+3}{2}\cdot 7=35$$

Площадь участка на плане

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат $1\ м \times 1\ м$. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

1. 1
   Участок имеет форму треугольника. По плану его основание равно трём клеткам, то есть $3\ м$, а высота равна шести клеткам, то есть $6\ м$.$$a = 3\ м,\quad h = 6\ м$$
2. 2
   Вычислим площадь треугольника.$$S = \dfrac{1}{2}ah = \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6 = 9\ м^2$$

Площадь участка по клеткам

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат со стороной $1\ \text{м}$. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

1. 1
   Площадь одной клетки со стороной $1\ \text{м}$ равна:$$S_1=1\cdot1=1\ \text{м}^2$$
2. 2
   Подсчитываем количество единичных квадратов, составляющих изображённый участок. С учётом целых клеток и частей клеток получаем $30$ клеток.$$S=30\cdot1=30\ \text{м}^2$$

Площадь участка на плане

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат $1\ \text{м} \times 1\ \text{м}$. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

1. 1
   По рисунку разбиваем участок на простые части, площади которых можно посчитать по клеткам.
2. 2
   Складываем площади получившихся частей. Так как сторона каждой клетки равна $1\ \text{м}$, одна клетка имеет площадь $1\ \text{м}^2$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь участка на плане

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат $10\ \text{м} \times 10\ \text{м}$. Найдите площадь участка, выделенного на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

1. 1
   Выделенный участок имеет форму треугольника. Его основание занимает 5 клеток, а высота — 4 клетки.$$S_{\text{клеток}} = \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4 = 10$$
2. 2
   Площадь одной клетки равна $10 \cdot 10 = 100\ \text{м}^2$. Переводим площадь участка в квадратные метры.$$S = 10 \cdot 100 = 1000\ \text{м}^2$$

Площадь участка на плане

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат $1\ \text{м} \times 1\ \text{м}$. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

1. 1
   Считываем с клетчатого плана координаты вершин участка: $(1,4)$, $(6,1)$, $(9,6)$ и $(4,9)$.
2. 2
   Применяем формулу площади многоугольника по координатам вершин.$$S=\frac{1}{2}\left|1\cdot1+6\cdot6+9\cdot9+4\cdot4-(4\cdot6+1\cdot9+6\cdot4+9\cdot1)\right|$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Площадь участка на плане

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат $1\ \text{м} \times 1\ \text{м}$. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

1. 1
   По клеткам определяем размеры участка: основания трапеции равны $6$ м и $3$ м, а расстояние между ними равно $4$ м.$$a=6,\quad b=3,\quad h=4$$
2. 2
   Вычисляем площадь трапеции.$$S=\dfrac{(a+b)h}{2}=\dfrac{(6+3)\cdot4}{2}=18$$

Площадь прямоугольной комнаты

На плане указано, что прямоугольная комната имеет площадь 15,2 кв. м. Точные измерения показали, что ширина комнаты равна 3 м, а длина 5,1 м. На сколько квадратных метров площадь комнаты отличается…

1. 1
   Вычислим точную площадь прямоугольной комнаты.$$S = ab = 3 \cdot 5{,}1 = 15{,}3\ \text{м}^2$$
2. 2
   Найдём, на сколько точная площадь отличается от площади на плане.$$\lvert 15{,}3 - 15{,}2 \rvert = 0{,}1\ \text{м}^2$$

Длина забора участка

Участок земли имеет прямоугольную форму. Стороны прямоугольника равны 25 м и 50 м. Найдите длину забора (в метрах), которым нужно огородить участок, предусмотрев проезд шириной 3 м.

1. 1
   Найдём периметр прямоугольного участка:$$P = 2(25 + 50) = 150\ \text{м}$$
2. 2
   Так как в заборе предусмотрен проезд шириной 3 м, вычтем эту длину из периметра:$$150 - 3 = 147\ \text{м}$$

Площадь оставшейся части участка

Два садовода, имеющие прямоугольные участки размерами 20 м на 30 м с общей границей, договорились и сделали общий круглый пруд площадью 280 квадратных метров, причём граница участков проходит точно…

1. 1
   Найдём площадь прямоугольного участка одного садовода.$$S_{\text{участка}} = 20 \cdot 30 = 600\ \text{м}^2$$
2. 2
   Граница участков проходит через центр пруда, поэтому каждый садовод использует половину площади пруда.$$S_{\text{пруда на участке}} = \frac{280}{2} = 140\ \text{м}^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высота опоры горки

Столб подпирает детскую горку посередине. Найдите высоту $l$ этого столба, если высота $h$ горки равна $2{,}7$ м. Ответ дайте в метрах.

1. 1
   Столб проходит через середину наклонной стороны треугольной горки и параллелен её высоте. Поэтому образуется средняя линия, а высота столба равна половине высоты горки.$$l = \dfrac{h}{2}$$
2. 2
   Подставим значение высоты горки:$$l = \dfrac{2{,}7}{2} = 1{,}35$$

Высота фонаря по тени

Человек, рост которого равен 1,6 м, стоит на расстоянии 17 м от уличного фонаря. При этом длина тени человека равна 8 м. Определите высоту фонаря (в метрах).

1. 1
   Рассмотрим большой треугольник с высотой фонаря и малый треугольник с высотой человека. Они подобны.$$H:25=1{,}6:8$$
2. 2
   Расстояние от фонаря до конца тени равно сумме расстояния до человека и длины тени.$$25=17+8$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина ограждения участка

Участок земли для строительства санатория имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 800 м и 400 м. Одна из больших сторон участка идёт вдоль моря, а три остальные стороны нужно огородить…

1. 1
   Сторона длиной 800 м проходит вдоль моря, поэтому её ограждать не нужно.
2. 2
   Забор устанавливают на одной стороне длиной 800 м и на двух сторонах длиной по 400 м.$$L = 800 + 2 \cdot 400$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь участка без дома

Дачный участок имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 35 м и 40 м. Дом, расположенный на участке, на плане также имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 7 м и 6 м. Найдите…

1. 1
   Найдём площадь всего дачного участка.$$S_{\text{участка}} = 35 \cdot 40 = 1400\ \text{м}^2$$
2. 2
   Найдём площадь дома.$$S_{\text{дома}} = 7 \cdot 6 = 42\ \text{м}^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Разность площадей комнаты

На плане указано, что прямоугольная комната имеет площадь 31,5 кв. м. Точные измерения показали, что ширина комнаты равна 5,3 м, а длина 6 м. На сколько квадратных метров площадь комнаты отличается…

1. 1
   Вычислим площадь комнаты по точным измерениям:$$S = 5{,}3 \cdot 6 = 31{,}8\ \text{м}^2$$
2. 2
   Найдём, на сколько квадратных метров эта площадь отличается от указанной на плане:$$\left|31{,}8 - 31{,}5\right| = 0{,}3\ \text{м}^2$$

Угол между спицами

Колесо имеет 6 спиц. Углы между любыми двумя соседними спицами равны. Найдите величину угла в градусах, который образуют две соседние спицы.

1. 1
   Шесть одинаковых углов между соседними спицами составляют полный угол вокруг центра колеса.$$6\alpha = 360^\circ$$
2. 2
   Найдём величину одного угла:$$\alpha = \dfrac{360^\circ}{6} = 60^\circ$$

Расстояние до фонаря

На каком расстоянии (в метрах) от фонаря стоит человек ростом 1,8 м, если длина его тени равна 9 м, а высота фонаря равна 4 м?

1. 1
   Большой треугольник образован фонарём и всей длиной от фонаря до конца тени, равной $x+9$. Малый треугольник образован человеком и его тенью длиной $9$ м. Эти треугольники подобны.$$\frac{4}{x+9}=\frac{1{,}8}{9}$$
2. 2
   Решим пропорцию:$$4\cdot 9=1{,}8(x+9)$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь комнаты по плану

Квартира состоит из комнаты, кухни, коридора и санузла (см. чертёж). Кухня имеет размеры $3\ \text{м} \times 4\ \text{м}$, санузел — $1{,}5\ \text{м} \times 2\ \text{м}$, длина коридора…

1. 1
   По чертежу общая ширина квартиры складывается из ширины санузла и длины коридора:$$1{,}5 + 6 = 7{,}5\ \text{м}$$
2. 2
   Ширина кухни равна $3$ м, поэтому ширина комнаты составляет:$$7{,}5 - 3 = 4{,}5\ \text{м}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь участка без дома

Дачный участок имеет форму квадрата, сторона которого равна 30 м. Дом, расположенный на участке, имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 8 м и 5 м. Найдите площадь части участка, не…

1. 1
   Найдём площадь квадратного участка.$$S_{\text{участка}} = 30^2 = 900\ \text{м}^2$$
2. 2
   Найдём площадь дома прямоугольной формы.$$S_{\text{дома}} = 8 \cdot 5 = 40\ \text{м}^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высота столба по проводу

От столба к дому натянут провод длиной 10 м, который закреплён на стене дома на высоте 3 м от земли (см. рисунок). Найдите высоту столба, если расстояние от дома до столба равно 8 м. Ответ дайте в…

1. 1
   Разность между высотой столба и высотой крепления провода образует катет прямоугольного треугольника. По теореме Пифагора:$$h^2 + 8^2 = 10^2$$
2. 2
   Найдём этот катет:$$h = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{36} = 6$$

Ещё 1 шаг — в полном решении