Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Площадь заштрихованного кольца

На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 12. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

1. 1
   По клеткам видно, что радиус внешнего круга в 1,5 раза больше радиуса внутреннего.$$R=1{,}5r$$
2. 2
   Площади кругов относятся как квадраты их радиусов.$$\frac{S_{\text{внеш}}}{S_{\text{внутр}}}=\left(\frac{R}{r}\right)^2=1{,}5^2=2{,}25$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь участка на плане

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат $1\ \text{м} \times 1\ \text{м}$. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

1. 1
   Так как сторона каждой клетки равна $1$ м, площадь одной клетки равна $1\ \text{м}^2$.
2. 2
   Разобьём участок по диагональной границе на простые фигуры и сложим их площади. По клеткам площадь участка равна $33$ квадратным единицам.$$S = 33 \cdot 1 = 33\ \text{м}^2$$

Площадь участка на плане

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат $1\ \text{м} \times 1\ \text{м}$. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

1. 1
   По клеткам видно, что участок является треугольником с вертикальным катетом длиной $5$ м и горизонтальным расстоянием между его вершинами длиной $6$ м.$$a = 5\ \text{м},\quad b = 6\ \text{м}$$
2. 2
   Вычислим площадь треугольника.$$S = \dfrac{1}{2}ab = \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 = 15\ \text{м}^2$$

Площадь участка на плане

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат $1\ \text{м} \times 1\ \text{м}$. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

1. 1
   Участок имеет форму треугольника. По клеткам на плане его основание равно $4$ м, а высота равна $5$ м.$$a = 4\ \text{м},\quad h = 5\ \text{м}$$
2. 2
   Вычислим площадь треугольника:$$S = \dfrac{1}{2}ah = \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 = 10\ \text{м}^2$$

Площадь участка на плане

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат $1\ \text{м} \times 1\ \text{м}$. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

1. 1
   Изображённый участок представляет собой прямоугольник размером 7 клеток на 3 клетки.$$S = 7 \cdot 3$$
2. 2
   Площадь одной клетки равна $1\ \text{м}^2$, поэтому площадь участка:$$S = 7 \cdot 3 \cdot 1 = 21\ \text{м}^2$$

Площадь участка на плане

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат $1\ \text{м} \times 1\ \text{м}$. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

1. 1
   Участок имеет форму треугольника. По рисунку его вертикальное основание занимает 6 клеток, то есть равно $6\ \text{м}$.$$a = 6\ \text{м}$$
2. 2
   Высота треугольника, перпендикулярная вертикальному основанию, равна 4 клеткам, то есть $4\ \text{м}$.$$h = 4\ \text{м}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь участка на плане

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат 1 м × 1 м. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

1. 1
   Измеряем диагонали участка по клеткам: горизонтальная диагональ равна 8 м, вертикальная — 2 м.$$d_1 = 8,\quad d_2 = 2$$
2. 2
   Используем формулу площади ромба как половины произведения диагоналей.$$S = \dfrac{d_1 d_2}{2} = \dfrac{8 \cdot 2}{2} = 8$$

Площадь ромба на плане

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат $1\ \text{м} \times 1\ \text{м}$. Найдите площадь участка в форме ромба, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

1. 1
   По рисунку длины диагоналей ромба составляют 4 клетки и 2 клетки. Так как сторона клетки равна 1 м, диагонали равны $4\ \text{м}$ и $2\ \text{м}$.$$d_1 = 4\ \text{м},\quad d_2 = 2\ \text{м}$$
2. 2
   Используем формулу площади ромба как половины произведения его диагоналей.$$S = \dfrac{d_1d_2}{2} = \dfrac{4 \cdot 2}{2} = 4\ \text{м}^2$$

Площадь участка на плане

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат $1\ \text{м} \times 1\ \text{м}$. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

1. 1
   Участок имеет форму ромба. По клеткам находим длины его диагоналей: $d_1 = 8\ \text{м}$ и $d_2 = 4\ \text{м}$.$$d_1 = 8\ \text{м},\quad d_2 = 4\ \text{м}$$
2. 2
   Площадь ромба равна половине произведения диагоналей.$$S = \dfrac{d_1d_2}{2} = \dfrac{8 \cdot 4}{2} = 16\ \text{м}^2$$

Площадь участка на плане

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат $1\ \text{м} \times 1\ \text{м}$. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

1. 1
   По клеткам определяем размеры участка: параллельные вертикальные стороны имеют длины $1$ м и $5$ м, расстояние между ними равно $9$ м.$$a = 1,\quad b = 5,\quad h = 9$$
2. 2
   Площадь участка равна площади трапеции.$$S = \dfrac{a+b}{2}\cdot h = \dfrac{1+5}{2}\cdot 9 = 27$$

Площадь участка на плане

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат $1\ \text{м} \times 1\ \text{м}$. Найдите площадь участка, выделенного на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

1. 1
   Выделенный участок имеет форму ромба. По клеткам определяем длины его диагоналей: горизонтальная диагональ — $6\ \text{м}$, вертикальная — $4\ \text{м}$.$$d_1 = 6,\quad d_2 = 4$$
2. 2
   Вычисляем площадь ромба:$$S = \dfrac{d_1 d_2}{2} = \dfrac{6 \cdot 4}{2} = 12$$

Площадь участка на плане

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат $1\ м \times 1\ м$. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

1. 1
   Участок имеет форму треугольника. По клеткам длина его горизонтального основания равна $4$ м, а высота равна $6$ м.$$a=4,\quad h=6$$
2. 2
   Вычислим площадь треугольника:$$S=\dfrac{1}{2}ah=\dfrac{1}{2}\cdot4\cdot6=12$$

Площадь кольца на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 1. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

1. 1
   По рисунку диаметр внешнего круга в 3 раза больше диаметра внутреннего круга, значит внешний радиус также в 3 раза больше внутреннего.$$R=3r$$
2. 2
   Площадь внешнего круга в квадрате раз больше площади внутреннего круга.$$S_{\text{внеш}}=\pi R^2=\pi(3r)^2=9\pi r^2=9S_{\text{внутр}}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь участка на плане

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат $1\ м \times 1\ м$. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

1. 1
   По клеткам определяем размеры частей участка и разбиваем его на прямоугольники и треугольники.
2. 2
   Вычисляем площади частей по формулам площади прямоугольника и треугольника, затем складываем их.$$S = S_1 + S_2 + \dots = 26$$

Площадь участка на плане

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат $1\ \text{м} \times 1\ \text{м}$. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

1. 1
   По клеткам разбиваем изображённый участок на прямоугольные и треугольные части.
2. 2
   Вычисляем площади частей по формулам площади прямоугольника и треугольника и складываем их.$$S = S_1 + S_2 + \ldots = 20$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь участка на плане

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат со сторонами $1\ \text{м}$ и $1\ \text{м}$. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

1. 1
   Площадь одной клетки плана равна:$$S_1 = 1\ \text{м} \cdot 1\ \text{м} = 1\ \text{м}^2$$
2. 2
   Чтобы получить площадь участка, необходимо умножить площадь одной клетки на число клеток, занимаемых участком. Изображение участка в исходных данных отсутствует.

Площадь участка на плане

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат $1\ м \times 1\ м$. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

1. 1
   Участок имеет форму треугольника. Его основание занимает 7 клеток, то есть имеет длину $7\ м$.
2. 2
   Высота треугольника, перпендикулярная этому основанию, равна 2 клеткам, то есть $2\ м$.$$S = \dfrac{1}{2}ah$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь участка по плану

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат $1\ \text{м} \times 1\ \text{м}$. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

1. 1
   Сторона каждой клетки равна $1$ м, поэтому площадь одной клетки равна $1\ \text{м}^2$.$$S_\text{клетки}=1\cdot1=1\ \text{м}^2$$
2. 2
   Разобьём изображённый участок на целые клетки и части клеток. Части клеток, расположенные по диагональной границе, объединяются в целые клетки.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь участка на плане

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат $1\ \text{м} \times 1\ \text{м}$. Найдите площадь участка, выделенного на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

1. 1
   Площадь каждой клетки равна $1\ \text{м}^2$.
2. 2
   В выделенном участке 2 клетки в верхнем ряду и по 3 клетки в каждом из двух нижних рядов.$$2 + 3 + 3 = 8$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь участка на плане

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат $1\ \text{м} \times 1\ \text{м}$. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

1. 1
   По плану участок имеет длину $8$ клеток и ширину $6$ клеток.
2. 2
   Площадь одной клетки равна $1\ \text{м}^2$, поэтому площадь участка:$$S = 8 \cdot 6 \cdot 1 = 48\ \text{м}^2$$