ФИПИ тапсырмаларының шешімдері ЕГЭ по базалық математикаға: «Планиметрия» — жауаптарымен

Длина забора участка

Участок земли для строительства санатория имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 800 м и 400 м. Одна из больших сторон участка идёт вдоль моря, а три остальные стороны нужно огородить…

1. 1
   Вдоль моря проходит одна большая сторона длиной 800 м, поэтому её ограждать не нужно.
2. 2
   Забором нужно огородить вторую большую сторону и две малые стороны прямоугольника.$$L = 800 + 2 \cdot 400$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Высота пожарной лестницы

Пожарную лестницу длиной 17 м приставили к стене дома. Нижний конец лестницы отстоит от стены на 8 м. На какой высоте находится верхний конец лестницы? Ответ дайте в метрах.

1. 1
   Лестница, стена и расстояние от стены образуют прямоугольный треугольник. Лестница является гипотенузой длиной 17 м, один катет равен 8 м.$$h^2 + 8^2 = 17^2$$
2. 2
   Найдём высоту верхнего конца лестницы:$$h = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$$

Угол между спицами

Колесо имеет 30 спиц. Углы между соседними спицами равны. Найдите величину угла в градусах, который образуют две соседние спицы.

1. 1
   Все углы между соседними спицами равны, а сумма углов вокруг центра колеса равна $360^\circ$.$$30\alpha = 360^\circ$$
2. 2
   Найдём величину бір угла:$$\alpha = \dfrac{360^\circ}{30} = 12^\circ$$

Площадь окрашенных ступеней

Пять ступеней лестницы покрасили в тёмный цвет, как показано на рисунке (штриховкой). Найдите площадь окрашенной поверхности, если глубина каждой ступеньки равна 30 см, высота — 15 см, а ширина — 95…

1. 1
   Площадь окрашенной поверхности одной ступени складывается из площадей горизонтальной и вертикальной частей.$$S_1 = 95 \cdot 30 + 95 \cdot 15 = 95 \cdot (30 + 15)$$
2. 2
   Таких ступеней пять, поэтому общая площадь равна:$$S = 5 \cdot 95 \cdot (30 + 15) = 21375\ \text{см}^2$$

Высота столба горки

Столб подпирает детскую горку посередине. Найдите высоту $l$ этого столба, если высота $h$ горки равна 2,6 м. Жауап дайте в метрах.

1. 1
   Столб расположен посередине горки, поэтому его высота в два раза меньше высоты горки.$$l = \dfrac{h}{2}$$
2. 2
   Подставим значение высоты горки:$$l = \dfrac{2{,}6}{2} = 1{,}3$$

Длина забора участка

Дачный участок имеет форму прямоугольника со сторонами 25 м и 30 м. Хозяин планирует обнести его забором и разделить таким же забором на две части, одна из которых имеет форму квадрата. Найдите…

1. 1
   Найдём длину внешнего забора вокруг прямоугольного участка:$$P=2(25+30)=110\text{ м}$$
2. 2
   Так как одна из частей имеет форму квадрата, внутренний разделяющий забор равен стороне квадрата, то есть $25$ м.$$L=110+25=135\text{ м}$$

Паркет в прямоугольной комнате

Пол комнаты, имеющей форму прямоугольника со сторонами 9 м и 10 м, требуется покрыть паркетом из прямоугольных дощечек со сторонами 10 см и 20 см. Сколько потребуется таких дощечек?

1. 1
   Переведём размеры комнаты в сантиметры: $9\ \text{м} = 900\ \text{см}$, $10\ \text{м} = 1000\ \text{см}$.$$S_{\text{комнаты}} = 900 \cdot 1000 = 900000\ \text{см}^2$$
2. 2
   Найдём площадь одной паркетной дощечки.$$S_{\text{дощечки}} = 10 \cdot 20 = 200\ \text{см}^2$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Высота опоры горки

Вертикальный столб подпирает детскую горку посередине. Найдите высоту $l$ этого столба, если высота $h$ горки равна $2{,}6$ м. Жауап дайте в метрах.

1. 1
   Столб установлен посередине наклонной стороны горки. Поэтому образовавшийся малый треугольник подобен всей горке, а его высота в два раза меньше полной высоты.$$l = \dfrac{h}{2}$$
2. 2
   Подставим значение высоты горки:$$l = \dfrac{2{,}6}{2} = 1{,}3$$

Площадь первой комнаты

Квартира состоит из двух комнат, кухни, коридора и санузла (см. чертёж). Кухня имеет размеры $3{,}5\ \text{м} \times 3{,}5\ \text{м}$, вторая комната — $3{,}5\ \text{м} \times 4\ \text{м}$, санузел…

1. 1
   Найдём общую ширину квартиры по нижней стороне чертежа:$$1{,}5 + 11 = 12{,}5\ \text{м}$$
2. 2
   Вычтем из общей ширины размеры кухни и второй комнаты. Получим ширину первой комнаты:$$12{,}5 - 3{,}5 - 4 = 5\ \text{м}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Длина забора участка

Участок земли под строительство санатория имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 800 м и 300 м. Одна из бо́льших сторон участка идёт вдоль моря, а три остальные стороны нужно обнести…

1. 1
   Сторона длиной 800 м проходит вдоль моря, поэтому забор для неё не требуется. Нужно оградить другую длинную сторону и две короткие стороны.
2. 2
   Находим длину забора:$$800 + 2 \cdot 300 = 1400$$

Длина забора участка

Участок земли имеет прямоугольную форму. Стороны прямоугольника равны 25 м и 65 м. Найдите длину забора (в метрах), которым нужно огородить участок, предусмотрев проезд шириной 4 м.

1. 1
   Найдём периметр участка:$$P = 2(25+65) = 180\text{ м}$$
2. 2
   Так как предусмотрен проезд шириной 4 м, длина забора будет меньше периметра на 4 м:$$180-4=176\text{ м}$$

Подъём концов журавля

На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 1 м, а длинное плечо — 4 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 0,5 м?

1. 1
   Перемещения концов рычага при одном и том же повороте пропорциональны длинам соответствующих плеч.$$\dfrac{x}{0{,}5} = \dfrac{4}{1}$$
2. 2
   Находим перемещение конца длинного плеча:$$x = 0{,}5 \cdot 4 = 2$$

Длина забора участка

Участок земли имеет прямоугольную форму. Стороны прямоугольника равны 35 м и 65 м. Найдите длину забора (в метрах), которым нужно огородить участок, предусмотрев проезд шириной 3 м.

1. 1
   Найдём периметр прямоугольного участка:$$P = 2(35+65) = 200$$
2. 2
   Проезд шириной 3 м не ограждается, поэтому вычтем его ширину из периметра:$$200-3=197$$

Площадь окрашенных ступеней

Несколько ступеней лестницы покрасили в тёмный цвет, как показано на рисунке (штриховкой). Найдите площадь окрашенной поверхности, если глубина каждой ступеньки равна 25 см, высота — 20 см, а ширина…

1. 1
   По рисунку окрашены 8 одинаковых прямоугольных поверхностей.
2. 2
   Площадь одной такой поверхности равна:$$S_1 = 25 \cdot 85 = 2125\ \text{см}^2$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Расстояние по масштабу

Масштаб карты такой, что в одном сантиметре 2,5 км. Чему равно расстояние между городами, если на карте оно составляет 12 см?

1. 1
   Один сантиметр на карте соответствует $2{,}5$ км на местности.$$1\ \text{см} \to 2{,}5\ \text{км}$$
2. 2
   Расстояние между городами равно произведению длины отрезка на карте и масштаба.$$12 \cdot 2{,}5 = 30\ \text{км}$$

Паркетные дощечки для пола

Пол комнаты, имеющей форму прямоугольника со сторонами 3 м и 9 м, требуется покрыть паркетом из прямоугольных дощечек со сторонами 5 см и 30 см. Сколько потребуется таких дощечек?

1. 1
   Найдём площадь пола комнаты:$$S_{\text{комн.}} = 3 \cdot 9 = 27\ \text{м}^2$$
2. 2
   Переведём размеры дощечки в метры и найдём её площадь:$$S_{\text{дощ.}} = 0{,}05 \cdot 0{,}30 = 0{,}015\ \text{м}^2$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Движение концов журавля

На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо — 4 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 0,5 м?

1. 1
   При повороте журавля на один и тот же угол перемещения концов плеч пропорциональны длинам плеч.$$\dfrac{x}{4} = \dfrac{0{,}5}{2}$$
2. 2
   Найдём перемещение конца длинного плеча:$$x = 4 \cdot \dfrac{0{,}5}{2} = 1$$

Высота пожарной лестницы

Пожарную лестницу длиной 13 м приставили к стене дома. Нижний конец лестницы отстоит от стены на 5 м. На какой высоте находится верхний конец лестницы? Ответ дайте в метрах.

1. 1
   Лестница, стена и расстояние от стены образуют прямоугольный треугольник. Лестница является гипотенузой длиной 13 м.$$h^2 + 5^2 = 13^2$$
2. 2
   Выразим высоту и вычислим её значение:$$h = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$$

Угол между спицами

Колесо имеет 20 спиц. Углы между соседними спицами равны. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.

1. 1
   Двадцать равных углов между соседними спицами образуют полный угол вокруг центра колеса.$$20\alpha = 360^\circ$$
2. 2
   Находим величину бір угла:$$\alpha = \dfrac{360^\circ}{20}=18^\circ$$

Рост адам по тени

Человек стоит на расстоянии 12,4 м от столба, на котором висит фонарь, расположенный на высоте 8,5 м. Длина тени человека равна 3,1 м. Какого роста человек (в метрах)?

1. 1
   Большой треугольник образован столбом и лучом света до конца тени. Его основание равно сумме расстояния от столба до человека и длины тени:$$12{,}4+3{,}1=15{,}5$$
2. 2
   Треугольник, образованный человеком и его тенью, подобен большому треугольнику.$$\dfrac{h}{3{,}1}=\dfrac{8{,}5}{15{,}5}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде