ФИПИ тапсырмаларының шешімдері ЕГЭ по базалық математикаға: «Планиметрия» — жауаптарымен

Длина диагонали четырёхугольника

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2}d_1d_2\sin\alpha$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей четырёхугольника, $\alpha$ — угол между диагоналями. Пользуясь этой…

1. 1
   Выразим длину диагонали $d_2$ из формулы площади.$$d_2 = \frac{2S}{d_1\sin\alpha}$$
2. 2
   Подставим известные значения.$$d_2 = \frac{2 \cdot 56{,}25}{9 \cdot \frac{5}{8}} = \frac{112{,}5}{\frac{45}{8}} = 20$$

Радиус вписанной окружности

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по формуле $r = \dfrac{a+b-c}{2}$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза. Пользуясь этой формулой, найдите $c$, если $a = 7$…

1. 1
   Подставим в формулу значения $a = 7$, $b = 24$ и $r = 3$.$$3 = \dfrac{7+24-c}{2}$$
2. 2
   Умножим обе части уравнения на $2$ и выразим $c$.$$6 = 31-c,\quad c = 31-6 = 25$$

Диагональ четырёхугольника

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2}d_1d_2\sin\alpha$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей четырёхугольника, $\alpha$ — угол между диагоналями. Пользуясь этой…

1. 1
   Подставим известные значения в формулу площади четырёхугольника.$$27 = \frac{1}{2}d_1 \cdot 18 \cdot \frac{1}{3}$$
2. 2
   Упростим правую часть равенства.$$27 = 3d_1$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Сумма углов многоугольника

Сумма углов выпуклого многоугольника вычисляется по формуле $\Sigma = (n - 2)\pi$, где $n$ — количество его углов. Пользуясь этой формулой, найдите $n$, если $\Sigma = 9\pi$.

1. 1
   Подставим значение $\Sigma = 9\pi$ в формулу суммы углов:$$(n - 2)\pi = 9\pi$$
2. 2
   Сократим обе части уравнения на $\pi$ и найдём $n$:$$n - 2 = 9,\quad n = 11$$

Диагональ четырёхугольника

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле $S = \dfrac{1}{2}d_1d_2\sin\alpha$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей четырёхугольника, $\alpha$ — угол между диагоналями. Пользуясь этой…

1. 1
   Подставим известные значения в формулу площади четырёхугольника.$$3{,}75 = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot d_2 \cdot \dfrac{1}{12}$$
2. 2
   Упростим правую часть равенства.$$3{,}75 = \dfrac{d_2}{4}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Площадь треугольника по сторонам

Площадь треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ можно найти по формуле Герона $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \dfrac{a+b+c}{2}$. Найдите площадь треугольника, если длины его сторон равны 9…

1. 1
   Найдём полупериметр треугольника:$$p = \dfrac{9+10+17}{2} = 18$$
2. 2
   Подставим значения в формулу Герона:$$S = \sqrt{18(18-9)(18-10)(18-17)} = \sqrt{18 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 1}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Синус угла треугольника

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \dfrac{1}{2}bc\sin\alpha$, где $b$ и $c$ — две стороны треугольника, а $\alpha$ — угол между ними. Пользуясь этой формулой, найдите величину…

1. 1
   Выразим синус угла из формулы площади треугольника.$$\sin\alpha = \dfrac{2S}{bc}$$
2. 2
   Подставим известные значения.$$\sin\alpha = \dfrac{2 \cdot 3}{2 \cdot 15} = \dfrac{6}{30} = 0.2$$

Косинус угла треугольника

Теорему косинусов можно записать в виде $\cos\gamma = \dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$, где $a$, $b$ и $c$ — стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между сторонами $a$ и $b$. Пользуясь этой формулой…

1. 1
   Подставим значения $a=3$, $b=8$ и $c=7$ в теорему косинусов.$$\cos\gamma=\dfrac{3^2+8^2-7^2}{2\cdot3\cdot8}$$
2. 2
   Вычислим числитель и знаменатель дроби.$$\cos\gamma=\dfrac{9+64-49}{48}=\dfrac{24}{48}=0{,}5$$

Вычисление косинуса угла

Теорему косинусов можно записать в виде $\cos\alpha=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$, где $a$, $b$ и $c$ — стороны треугольника, а $\alpha$ — угол между сторонами $a$ и $b$. Пользуясь этой формулой…

1. 1
   Подставим данные в теорему косинусов.$$\cos\alpha=\dfrac{7^2+10^2-11^2}{2\cdot7\cdot10}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения.$$\cos\alpha=\dfrac{49+100-121}{140}=\dfrac{28}{140}=0.2$$

Медиана треугольника

Длина медианы $m_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $m_c = \dfrac{\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}}{2}$. Найдите медиану $m_c$, если $a = 2$…

1. 1
   Подставим значения $a = 2$, $b = \sqrt{13}$ и $c = 5$ в формулу медианы.$$m_c = \dfrac{\sqrt{2 \cdot 2^2 + 2 \cdot (\sqrt{13})^2 - 5^2}}{2}$$
2. 2
   Вычислим выражение под корнем.$$2 \cdot 2^2 + 2 \cdot (\sqrt{13})^2 - 5^2 = 8 + 26 - 25 = 9$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Нахождение гипотенузы

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по формуле $r = \dfrac{a+b-c}{2}$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза. Пользуясь этой формулой, найдите $c$, если $a = 6$…

1. 1
   Подставим в формулу значения $a = 6$, $b = 8$ и $r = 2$.$$2 = \dfrac{6+8-c}{2}$$
2. 2
   Умножим обе части уравнения на 2 и выразим гипотенузу.$$4 = 14-c,\quad c = 14-4 = 10$$

Нахождение стороны треугольника

Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \dfrac{(a+b+c)r}{2}$, где $a$, $b$ и $c$ — стороны треугольника, а $r$ — радиус окружности, вписанной в этот треугольник. Пользуясь этой…

1. 1
   Подставим в формулу $S = \dfrac{(a+b+c)r}{2}$ известные значения:$$15\sqrt{7}=\dfrac{(8+b+12)\sqrt{7}}{2}$$
2. 2
   Сократим обе части равенства на $\sqrt{7}$ и умножим на 2:$$30=20+b$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Теорема синусов

Теорему синусов можно записать в виде $\dfrac{a}{\sin\alpha}=\dfrac{b}{\sin\beta}$, где $a$ и $b$ — две стороны треугольника, а $\alpha$ и $\beta$ — углы треугольника, лежащие против них…

1. 1
   Выразим синус угла $\alpha$ из теоремы синусов.$$\sin\alpha=\dfrac{a\sin\beta}{b}$$
2. 2
   Подставим известные значения.$$\sin\alpha=\dfrac{21\cdot\frac{1}{6}}{5}=\dfrac{21}{30}=0{,}7$$

Теорема косинусов

Теорему косинусов можно записать в виде $\cos\gamma=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$, где $a$, $b$ и $c$ — стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между сторонами $a$ и $b$. Пользуясь этой формулой…

1. 1
   Подставим известные значения в формулу теоремы косинусов.$$\cos\gamma=\dfrac{15^2+16^2-17^2}{2\cdot15\cdot16}$$
2. 2
   Вычислим числитель и знаменатель дроби.$$\cos\gamma=\dfrac{225+256-289}{480}=\dfrac{192}{480}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Нахождение стороны треугольника

Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \dfrac{abc}{4R}$, где $a$, $b$ и $c$ — стороны треугольника, а $R$ — радиус окружности, описанной около этого треугольника. Пользуясь этой…

1. 1
   Из формулы $S = \dfrac{abc}{4R}$ выразим сторону $b$:$$b = \dfrac{4RS}{ac}$$
2. 2
   Подставим известные значения:$$b = \dfrac{4 \cdot \frac{85}{8} \cdot 36}{9 \cdot 10} = 17$$

Синус угла треугольника

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \dfrac{1}{2}bc\sin\alpha$, где $b$ и $c$ — две стороны треугольника, а $\alpha$ — угол между ними. Пользуясь этой формулой, найдите величину…

1. 1
   Выразим синус угла из формулы площади треугольника.$$\sin\alpha = \dfrac{2S}{bc}$$
2. 2
   Подставим известные значения.$$\sin\alpha = \dfrac{2 \cdot 27}{4 \cdot 15} = \dfrac{54}{60} = 0{,}9$$

Радиус описанной окружности

Радиус окружности, описанной около треугольника, можно вычислить по формуле $R = \dfrac{a}{2\sin\alpha}$, где $a$ — сторона, $\alpha$ — противолежащий ей угол треугольника. Пользуясь этой формулой…

1. 1
   Подставим значения стороны и синуса угла в формулу:$$R = \dfrac{12}{2 \cdot \frac{1}{7}}$$
2. 2
   Деление на дробь заменяем умножением на обратную дробь:$$R = 12 \cdot \dfrac{7}{2} = 42$$

Длина биссектрисы треугольника

Длина биссектрисы $l_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $l_c = \dfrac{1}{a+b}\sqrt{ab\left((a+b)^2-c^2\right)}$. Найдите биссектрису…

1. 1
   Подставим заданные значения в формулу:$$l_c=\dfrac{1}{2+4}\sqrt{2\cdot4\left((2+4)^2-(3\sqrt{2})^2\right)}$$
2. 2
   Вычислим выражение под корнем:$$(2+4)^2-(3\sqrt{2})^2=36-18=18$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Радиус вписанной окружности

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по формуле $r = \dfrac{a + b - c}{2}$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза. Пользуясь этой формулой, найдите $r$, если…

1. 1
   Подставим известные значения в формулу радиуса:$$r = \dfrac{104 + 153 - 185}{2}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения:$$r = \dfrac{72}{2} = 36$$

Медиана треугольника

Длина медианы $m_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $m_c = \dfrac{\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}}{2}$. Найдите медиану $m_c$, если $a = 2$…

1. 1
   Подставим значения сторон в формулу медианы:$$m_c = \dfrac{\sqrt{2\cdot 2^2 + 2\cdot (4\sqrt{2})^2 - 6^2}}{2}$$
2. 2
   Вычислим выражение под корнем:$$2\cdot 2^2 + 2\cdot (4\sqrt{2})^2 - 6^2 = 8 + 64 - 36 = 36$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде