Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Числовые выражения» — с ответами

Средняя скорость автомобиля

Первые 150 км автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, следующие 200 км — со скоростью 80 км/ч, а затем 100 км — со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути…

1. 1
   Найдём общий путь автомобиля:$$S = 150 + 200 + 100 = 450\ \text{км}$$
2. 2
   Вычислим время движения на каждом участке:$$t_1 = \dfrac{150}{60} = 2{,}5\ \text{ч},\quad t_2 = \dfrac{200}{80} = 2{,}5\ \text{ч},\quad t_3 = \dfrac{100}{100} = 1\ \text{ч}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Розы в фиолетовой вазе

На прилавке цветочного магазина стоят 3 вазы с розами: фиолетовая, зелёная и красная. Слева от красной вазы 18 роз, справа от зелёной вазы 11 роз. Всего в вазах 27 роз. Сколько роз в фиолетовой вазе?

1. 1
   По условиям зелёная ваза стоит слева, красная — справа, а фиолетовая — между ними. Обозначим количество роз в вазах через $з$, $ф$ и $к$ соответственно.$$з + ф = 18,\quad ф + к = 11,\quad з + ф + к = 27$$
2. 2
   Складываем первые два равенства:$$з + 2ф + к = 29$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Среднее арифметическое чисел

Среднее арифметическое пяти различных натуральных чисел равно 6. Среднее арифметическое этих чисел и шестого числа равно 7. Чему равно шестое число?

1. 1
   Сумма пяти чисел равна произведению их количества на среднее арифметическое:$$S_5 = 5 \cdot 6 = 30$$
2. 2
   Сумма пяти чисел и шестого числа равна:$$S_6 = 6 \cdot 7 = 42$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Среднее арифметическое чисел

Среднее арифметическое четырёх различных натуральных чисел равно 9. Среднее арифметическое этих чисел и пятого числа равно 11. Чему равно пятое число?

1. 1
   Найдём сумму четырёх первых чисел по их среднему арифметическому.$$S_4 = 4 \cdot 9 = 36$$
2. 2
   Найдём сумму всех пяти чисел по их среднему арифметическому.$$S_5 = 5 \cdot 11 = 55$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Среднее арифметическое чисел

Среднее арифметическое шести различных натуральных чисел равно 8. Среднее арифметическое этих чисел и седьмого числа равно 9. Чему равно седьмое число?

1. 1
   Найдём сумму шести чисел:$$S_6 = 6 \cdot 8 = 48$$
2. 2
   Найдём сумму всех семи чисел:$$S_7 = 7 \cdot 9 = 63$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Номер подъезда по квартире

В доме, в котором живёт Тамара, 5 этажей и несколько подъездов. На каждом этаже находится по 5 квартир. Тамара живёт в квартире № 44. В каком подъезде живёт Тамара?

1. 1
   Найдём количество квартир в одном подъезде:$$5 \cdot 5 = 25$$
2. 2
   В первом подъезде находятся квартиры с номерами от 1 до 25. Квартира № 44 находится в диапазоне от 26 до 50, то есть во втором подъезде.$$25 < 44 \leq 50$$

Среднее арифметическое чисел

Среднее арифметическое шести различных натуральных чисел равно 9. Среднее арифметическое этих чисел и седьмого числа равно 11. Чему равно седьмое число?

1. 1
   Сумма шести чисел равна произведению их среднего арифметического на количество чисел.$$S_6 = 6 \cdot 9 = 54$$
2. 2
   Сумма всех семи чисел равна:$$S_7 = 7 \cdot 11 = 77$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Номер подъезда по квартире

В доме, в котором живёт Люда, 5 этажей и несколько подъездов. В каждом подъезде на каждом этаже находится по 3 квартиры. Люда живёт в квартире № 59. В каком подъезде живёт Люда?

1. 1
   Найдём количество квартир в одном подъезде: на каждом из 5 этажей по 3 квартиры.$$5 \cdot 3 = 15$$
2. 2
   Первые три подъезда занимают квартиры с номерами от 1 до 45. Квартира № 59 находится после них, в четвёртом подъезде.$$45 < 59 \leq 60$$

Номер подъезда по квартире

В доме, в котором живёт Яна, 9 этажей и несколько подъездов. На каждом этаже находится по 3 квартиры. Яна живёт в квартире № 53. В каком подъезде живёт Яна?

1. 1
   Определим количество квартир в одном подъезде:$$9 \cdot 3 = 27$$
2. 2
   Первый подъезд включает квартиры с номерами от 1 до 27, второй — от 28 до 54. Квартира № 53 находится во втором подъезде.

Количество этажей в доме

Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, а на всех этажах одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов…

1. 1
   Пусть $f$ — число этажей, $a$ — число квартир на этаже, $e$ — число подъездов. Тогда общее число квартир равно:$$f \cdot a \cdot e = 273$$
2. 2
   Разложим число $273$ на простые множители:$$273 = 3 \cdot 7 \cdot 13$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Среднее арифметическое чисел

Среднее арифметическое девяти различных натуральных чисел равно 19. Среднее арифметическое этих чисел и десятого числа равно 20. Чему равно десятое число?

1. 1
   Сумма девяти чисел равна произведению их среднего арифметического на количество чисел:$$S_9 = 9 \cdot 19 = 171$$
2. 2
   Сумма десяти чисел равна:$$S_{10} = 10 \cdot 20 = 200$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Розы в трёх вазах

На прилавке цветочного магазина стоят 3 вазы с розами: чёрная, синяя и жёлтая. Слева от чёрной вазы 17 роз, справа от жёлтой вазы 16 роз. Всего в вазах 24 розы. Сколько роз в синей вазе?

1. 1
   При сложении количества роз слева от чёрной вазы и справа от жёлтой вазы розы в синей вазе учитываются дважды.
2. 2
   Общее количество роз учитывается один раз, поэтому количество роз в синей вазе равно разности суммы двух данных количеств и общего количества роз.$$17 + 16 - 24 = 9$$

Определение номера подъезда

В доме, в котором живёт Дина, 5 этажей и несколько подъездов. На каждом этаже находится по 5 квартир. Дина живёт в квартире № 51. В каком подъезде живёт Дина?

1. 1
   Найдём количество квартир в одном подъезде:$$5 \cdot 5 = 25$$
2. 2
   В первом подъезде находятся квартиры № 1–25, во втором — № 26–50, в третьем — № 51–75. Квартира № 51 находится в третьем подъезде.

Розы в синей вазе

На прилавке цветочного магазина стоят 3 вазы с розами: синяя, белая и фиолетовая. Слева от фиолетовой вазы 21 роза, справа от белой вазы 12 роз. Всего в вазах 26 роз. Сколько роз в синей вазе?

1. 1
   Обозначим количество роз в синей, белой и фиолетовой вазах соответственно через $b$, $w$ и $p$. По условию слева от фиолетовой вазы находится 21 роза, а справа от белой — 12 роз.$$b+w=21,\quad p=12$$
2. 2
   Всего в вазах 26 роз, поэтому количество роз в синей вазе можно найти как разность между количеством роз слева от фиолетовой вазы и количеством роз в белой вазе. Используя общую сумму, получаем:$$b=26-21+?$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Итоговая отметка по произведению

В конце четверти Петя выписал подряд все свои отметки по одному из предметов, их оказалось 5, и поставил между некоторыми из них знаки умножения. Произведение получившихся чисел оказалось равным…

1. 1
   Разложим произведение на множители:$$1338 = 2 \cdot 3 \cdot 223$$
2. 2
   Так как все отметки являются цифрами от 2 до 5, множитель 223 образуется из трёх последовательных отметок 2, 2 и 3. Оставшиеся две отметки должны дать множители 2 и 3. Последовательность отметок: 2, 2, 3, 2, 3.$$223 \cdot 2 \cdot 3 = 1338$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Среднее арифметическое чисел

Среднее арифметическое пяти различных натуральных чисел равно 7. Среднее арифметическое этих чисел и шестого числа равно 8. Чему равно шестое число?

1. 1
   Сумма пяти чисел равна произведению их количества на среднее арифметическое:$$S_5 = 5 \cdot 7 = 35$$
2. 2
   Сумма шести чисел равна:$$S_6 = 6 \cdot 8 = 48$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Стоимость рытья колодца

Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 3900 рублей, а за каждый следующий метр — на 1200 рублей больше, чем за предыдущий…

1. 1
   Стоимость метров образует арифметическую прогрессию с первым членом 3900 рублей и разностью 1200 рублей.$$a_1 = 3900,\quad d = 1200,\quad n = 6$$
2. 2
   Найдём стоимость шестого метра.$$a_6 = a_1 + 5d = 3900 + 5 \cdot 1200 = 9900$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Распил досок

Взяли несколько досок и распилили их. Всего сделали 11 поперечных распилов, в итоге получилось 16 кусков. Сколько досок взяли?

1. 1
   Каждый поперечный распил увеличивает общее количество кусков на один. Поэтому при $n$ досках после 11 распилов получится $n + 11$ кусков.$$n + 11 = 16$$
2. 2
   Решаем уравнение:$$n = 16 - 11 = 5$$

Определение номера подъезда

В доме, в котором живёт Дина, 9 этажей и несколько подъездов. На каждом этаже находится по 6 квартир. Дина живёт в квартире № 75. В каком подъезде живёт Дина?

1. 1
   Найдём число квартир в одном подъезде:$$9 \cdot 6 = 54$$
2. 2
   В первом подъезде находятся квартиры с номерами от 1 до 54. Квартира № 75 расположена во втором подъезде, поскольку $54 < 75 \leq 2 \cdot 54$.$$75 - 54 = 21$$

Оплата копки колодца

Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 4200 рублей, а за каждый следующий метр — на 1300 рублей больше, чем за предыдущий…

1. 1
   Стоимость метров образует арифметическую прогрессию: первый член равен 4200 рублей, разность равна 1300 рублей, количество членов равно 11.$$a_1 = 4200,\quad d = 1300,\quad n = 11$$
2. 2
   Найдём общую сумму оплаты по формуле суммы первых n членов арифметической прогрессии.$$S_{11} = \dfrac{11}{2}\bigl(2 \cdot 4200 + (11-1) \cdot 1300\bigr)$$

Ещё 1 шаг — в полном решении