Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Числовые выражения» — с ответами

Растяжение пружины по закону Гука

Закон Гука можно записать в виде $F = kx$, где $F$ — сила (в ньютонах), с которой растягивают (сжимают) пружину, $x$ — абсолютное растяжение (сжатие) пружины (в метрах), а $k$ — коэффициент…

1. 1
   Выразим абсолютное растяжение $x$ из закона Гука.$$x = \dfrac{F}{k}$$
2. 2
   Подставим значения силы и коэффициента упругости.$$x = \dfrac{56}{4} = 14$$

Нахождение стороны треугольника

Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \dfrac{abc}{4R}$, где $a$, $b$ и $c$ — стороны треугольника, а $R$ — радиус окружности, описанной около этого треугольника. Пользуясь этой…

1. 1
   Выразим сторону $b$ из формулы площади треугольника.$$b = \dfrac{4RS}{ac}$$
2. 2
   Подставим известные значения и вычислим.$$b = \dfrac{4 \cdot \frac{65}{6} \cdot 66}{13 \cdot 20} = 11$$

Закон Гука и растяжение

Закон Гука можно записать в виде $F = kx$, где $F$ — сила (в ньютонах), с которой растягивают (сжимают) пружину, $x$ — абсолютное растяжение (сжатие) пружины (в метрах), а $k$ — коэффициент…

1. 1
   Выразим абсолютное растяжение пружины из закона Гука.$$x = \dfrac{F}{k}$$
2. 2
   Подставим известные значения силы и коэффициента упругости.$$x = \dfrac{72}{4} = 18$$

Масса тела по силе

Второй закон Ньютона можно записать в виде $F = ma$, где $F$ — сила, действующая на тело, $m$ — его масса, а $a$ — ускорение тела. Найдите массу $m$ в килограммах, если $F = 123$ Н и $a = 41$ м/с$^2$.

1. 1
   Из формулы $F = ma$ выразим массу тела:$$m = \dfrac{F}{a}$$
2. 2
   Подставим известные значения силы и ускорения:$$m = \dfrac{123}{41} = 3$$

Среднее квадратичное чисел

Среднее квадратичное трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $q = \sqrt{\dfrac{a^2 + b^2 + c^2}{3}}$. Найдите среднее квадратичное чисел $\sqrt{2}$, 3 и 17.

1. 1
   Подставим числа в формулу среднего квадратичного:$$q = \sqrt{\dfrac{(\sqrt{2})^2 + 3^2 + 17^2}{3}}$$
2. 2
   Вычислим квадраты чисел:$$q = \sqrt{\dfrac{2 + 9 + 289}{3}} = \sqrt{100}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Работа постоянного тока

Работа постоянного тока (в джоулях) вычисляется по формуле $A = \dfrac{U^2 t}{R}$, где $U$ — напряжение (в вольтах), $R$ — сопротивление (в омах), $t$ — время (в секундах). Пользуясь этой формулой…

1. 1
   Подставим данные в формулу работы постоянного тока.$$A = \dfrac{6^2 \cdot 8}{4}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения.$$A = \dfrac{36 \cdot 8}{4} = 72$$

Площадь четырёхугольника

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле $S = \dfrac{1}{2}d_1d_2\sin\alpha$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей четырёхугольника, $\alpha$ — угол между диагоналями. Пользуясь этой…

1. 1
   Подставим известные значения в формулу площади:$$S = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 14 \cdot \dfrac{6}{7}$$
2. 2
   Сократим множители и вычислим значение выражения:$$S = 3 \cdot 14 \cdot \dfrac{6}{7} = 36$$

Расстояние по длине шага

Зная длину своего шага, человек может приближённо подсчитать пройденное им расстояние $s$ по формуле $s = nl$, где $n$ — число шагов, $l$ — длина шага. Какое расстояние прошёл человек, если $l = 80$…

1. 1
   Подставим число шагов и длину шага в формулу расстояния:$$s = nl = 1100 \cdot 80 = 88\,000\ \text{см}$$
2. 2
   Переведём сантиметры в метры:$$88\,000 : 100 = 880\ \text{м}$$

Среднее геометрическое чисел

Среднее геометрическое трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $g = \sqrt[3]{abc}$. Вычислите среднее геометрическое чисел 3, 4, 18.

1. 1
   Подставим данные числа в формулу среднего геометрического:$$g = \sqrt[3]{3 \cdot 4 \cdot 18}$$
2. 2
   Вычислим произведение под знаком корня:$$3 \cdot 4 \cdot 18 = 216$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Среднее квадратичное чисел

Среднее квадратичное трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $q = \sqrt{\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}}$. Найдите среднее квадратичное чисел $\sqrt{2}$, $3$ и $4$.

1. 1
   Подставим данные числа в формулу среднего квадратичного:$$q = \sqrt{\dfrac{(\sqrt{2})^2+3^2+4^2}{3}}$$
2. 2
   Вычислим квадраты чисел и упростим выражение:$$q = \sqrt{\dfrac{2+9+16}{3}} = \sqrt{9} = 3$$

Площадь трапеции по формуле

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \dfrac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — длины оснований трапеции, $h$ — её высота. Пользуясь этой формулой, найдите площадь $S$, если $a = 4$, $b = 9$ и…

1. 1
   Подставим значения $a$, $b$ и $h$ в формулу площади трапеции.$$S = \dfrac{4+9}{2} \cdot 2$$
2. 2
   Вычислим значение выражения.$$S = \dfrac{13}{2} \cdot 2 = 13$$

Радиус вписанной окружности

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности можно вычислить по формуле $r = \dfrac{a+b-c}{2}$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза. Пользуясь этой формулой, найдите радиус $r$…

1. 1
   Подставим заданные значения в формулу.$$r = \dfrac{15 + 112 - 113}{2}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения.$$r = \dfrac{14}{2} = 7$$

Среднее квадратичное чисел

Среднее квадратичное трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $q=\sqrt{\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}}$. Найдите среднее квадратичное чисел $2\sqrt{7}$, $8$ и $10$.

1. 1
   Возводим данные числа в квадрат:$$(2\sqrt{7})^2=28,\quad 8^2=64,\quad 10^2=100$$
2. 2
   Подставляем значения в формулу среднего квадратичного:$$q=\sqrt{\dfrac{28+64+100}{3}}=\sqrt{\dfrac{192}{3}}=\sqrt{64}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Кинетическая энергия тела

Кинетическую энергию тела (в джоулях) можно вычислить по формуле $E = \dfrac{mv^2}{2}$, где $m$ — масса тела (в килограммах), а $v$ — его скорость (в м/с). Пользуясь этой формулой, найдите…

1. 1
   Подставим в формулу $E = \dfrac{mv^2}{2}$ значения $m = 16$ и $v = 3$.$$E = \dfrac{16 \cdot 3^2}{2}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения.$$E = \dfrac{16 \cdot 9}{2} = 72$$

Среднее геометрическое чисел

Среднее геометрическое трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $g = \sqrt[3]{abc}$. Вычислите среднее геометрическое чисел 5, 15, 45.

1. 1
   Подставим числа 5, 15 и 45 в формулу среднего геометрического.$$g = \sqrt[3]{5 \cdot 15 \cdot 45}$$
2. 2
   Вычислим произведение и извлечём кубический корень.$$g = \sqrt[3]{10125} = 15$$

Стоимость колодца из колец

В фирме «Родник» стоимость (в рублях) колодца из железобетонных колец рассчитывается по формуле $C = 6000 + 4100n$, где $n$ — число колец, установленных при рытье колодца. Пользуясь этой формулой…

1. 1
   Подставим количество колец $n = 20$ в формулу стоимости.$$C = 6000 + 4100 \cdot 20$$
2. 2
   Выполним умножение и сложение.$$C = 6000 + 82000 = 88000$$

Среднее гармоническое чисел

Среднее гармоническое трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $h = \left(\dfrac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}{3}\right)^{-1}$. Найдите среднее гармоническое чисел $\dfrac{1}{3}$…

1. 1
   Найдём обратные величины чисел $\dfrac{1}{3}$, $\dfrac{1}{10}$ и $\dfrac{1}{17}$:$$\frac{1}{\frac{1}{3}} = 3,\quad \frac{1}{\frac{1}{10}} = 10,\quad \frac{1}{\frac{1}{17}} = 17$$
2. 2
   Вычислим среднее арифметическое обратных величин:$$\frac{3 + 10 + 17}{3} = 10$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Сумма углов многоугольника

Сумма углов выпуклого многоугольника вычисляется по формуле $\Sigma = (n - 2)\pi$, где $n$ — количество его углов. Пользуясь этой формулой, найдите $n$, если $\Sigma = 6\pi$.

1. 1
   Подставим значение суммы углов в формулу:$$(n - 2)\pi = 6\pi$$
2. 2
   Сократим обе части уравнения на $\pi$ и найдём $n$:$$n - 2 = 6,\quad n = 8$$

Среднее гармоническое чисел

Среднее гармоническое трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $h = \left(\dfrac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}{3}\right)^{-1}$. Найдите среднее гармоническое чисел $\dfrac{1}{5}$…

1. 1
   Находим обратные величины заданных чисел:$$\frac{1}{\frac{1}{5}} = 5,\quad \frac{1}{\frac{1}{9}} = 9,\quad \frac{1}{1} = 1$$
2. 2
   Подставляем их в формулу среднего гармонического:$$h = \left(\frac{5 + 9 + 1}{3}\right)^{-1} = \left(\frac{15}{3}\right)^{-1} = 5^{-1}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Среднее геометрическое чисел

Среднее геометрическое трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $g = \sqrt[3]{abc}$. Вычислите среднее геометрическое чисел 2, 5, 100.

1. 1
   Подставим данные числа в формулу среднего геометрического:$$g = \sqrt[3]{2 \cdot 5 \cdot 100}$$
2. 2
   Вычислим произведение под знаком корня:$$2 \cdot 5 \cdot 100 = 1000$$

Ещё 1 шаг — в полном решении