ФИПИ тапсырмаларының шешімдері ЕГЭ по базалық математикаға: «Числовые выражения» — жауаптарымен

Расстояние по числу қадам

Зная длину своего шага, Адам может приближённо подсчитать пройденное им расстояние $s$ по формуле $s = nl$, где $n$ — число қадам, $l$ — длина шага. Какое расстояние прошёл Адам, если $l = 80$…

1. 1
   Переведём длину шага в метры:$$l = 80\text{ см} = 0{,}8\text{ м}$$
2. 2
   Подставим значения в формулу расстояния:$$s = nl = 1600 \cdot 0{,}8 = 1280\text{ м}$$

Среднее гармоническое чисел

Среднее гармоническое трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $h=\left(\dfrac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}{3}\right)^{-1}$. Найдите среднее гармоническое чисел $\dfrac{1}{9}$…

1. 1
   Подставим в формулу $a=\dfrac{1}{9}$, $b=\dfrac{1}{10}$, $c=\dfrac{1}{11}$:$$h=\left(\dfrac{\frac{1}{1/9}+\frac{1}{1/10}+\frac{1}{1/11}}{3}\right)^{-1}$$
2. 2
   Вычислим обратные величины и их среднее:$$h=\left(\dfrac{9+10+11}{3}\right)^{-1}=10^{-1}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Среднее гармоническое чисел

Среднее гармоническое трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $h = \left(\dfrac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}{3}\right)^{-1}$. Найдите среднее гармоническое чисел $\dfrac{1}{3}$…

1. 1
   Найдём обратные величины заданных чисел:$$\frac{1}{\frac{1}{3}} = 3,\quad \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4,\quad \frac{1}{1} = 1$$
2. 2
   Подставим их в формулу среднего гармонического:$$h = \left(\frac{3 + 4 + 1}{3}\right)^{-1} = \left(\frac{8}{3}\right)^{-1}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Среднее квадратичное чисел

Среднее квадратичное трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $q = \sqrt{\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}}$. Найдите среднее квадратичное чисел $8$, $9$ и $7\sqrt{2}$.

1. 1
   Подставим данные числа в формулу среднего квадратичного.$$q = \sqrt{\dfrac{8^2+9^2+(7\sqrt{2})^2}{3}}$$
2. 2
   Вычислим квадраты чисел и найдём значение под корнем.$$q = \sqrt{\dfrac{64+81+98}{3}} = \sqrt{81}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Перевод градусов Фаренгейта

Перевести температуру из шкалы Фаренгейта в шкалу Цельсия позволяет формула $t_C = \dfrac{5}{9}(t_F - 32)$, где $t_C$ — температура в градусах по шкале Цельсия, $t_F$ — температура в градусах по…

1. 1
   Подставим $t_F = 212$ в формулу перевода температуры:$$t_C = \dfrac{5}{9}(212 - 32)$$
2. 2
   Вычислим разность в скобках и умножим на дробь:$$t_C = \dfrac{5}{9} \cdot 180 = 100$$

Кинетическая энергия тела

Кинетическая энергия тела (в джоулях) вычисляется по формуле $E = \dfrac{mv^2}{2}$, где $m$ — масса тела (в килограммах), а $v$ — его скорость (в $\text{м}/\text{с}$). Пользуясь этой формулой…

1. 1
   Подставим в формулу значения $m = 12\ \text{кг}$ и $v = 5\ \text{м}/\text{с}$.$$E = \dfrac{12 \cdot 5^2}{2}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения.$$E = \dfrac{12 \cdot 25}{2} = 150$$

Длина диагонали четырёхугольника

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2}d_1d_2\sin\alpha$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей четырёхугольника, а $\alpha$ — угол между диагоналями. Пользуясь этой…

1. 1
   Подставим известные значения в формулу площади:$$10 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot d_2 \cdot \frac{5}{7}$$
2. 2
   Упростим выражение:$$10 = \frac{10}{7}d_2$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Сумма углов многоугольника

Сумма углов выпуклого многоугольника вычисляется по формуле $\Sigma = (n - 2)\pi$, где $n$ — количество его углов. Пользуясь этой формулой, найдите $n$, если $\Sigma = 18\pi$.

1. 1
   Подставим значение суммы углов в формулу:$$18\pi = (n - 2)\pi$$
2. 2
   Сократим обе части на $\pi$ и найдём $n$:$$18 = n - 2, \quad n = 20$$

Среднее квадратичное чисел

Среднее квадратичное трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $q = \sqrt{\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}}$. Найдите среднее квадратичное чисел $\sqrt{11}$, $9$ и $10$.

1. 1
   Подставим числа $\sqrt{11}$, $9$ и $10$ в формулу среднего квадратичного.$$q=\sqrt{\dfrac{(\sqrt{11})^2+9^2+10^2}{3}}$$
2. 2
   Вычислим квадраты чисел и упростим выражение.$$q=\sqrt{\dfrac{11+81+100}{3}}=\sqrt{64}=8$$

Среднее геометрическое чисел

Среднее геометрическое трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $g = \sqrt[3]{abc}$. Вычислите среднее геометрическое чисел 3, 8, 9.

1. 1
   Подставим числа $3$, $8$ и $9$ в формулу среднего геометрического.$$g = \sqrt[3]{3 \cdot 8 \cdot 9}$$
2. 2
   Вычислим произведение и извлечём кубический корень.$$g = \sqrt[3]{216} = 6$$

Среднее геометрическое чисел

Среднее геометрическое трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $g = \sqrt[3]{abc}$. Вычислите среднее геометрическое чисел 5, 10, 20.

1. 1
   Подставим данные числа в формулу среднего геометрического.$$g = \sqrt[3]{5 \cdot 10 \cdot 20}$$
2. 2
   Вычислим произведение и извлечём кубический корень.$$g = \sqrt[3]{1000} = 10$$

Среднее гармоническое чисел

Среднее гармоническое трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $h = \left(\dfrac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}{3}\right)^{-1}$. Найдите среднее гармоническое чисел $\dfrac{1}{4}$…

1. 1
   Подставим числа в формулу среднего гармонического:$$h = \left(\dfrac{\frac{1}{\frac{1}{4}} + \frac{1}{\frac{1}{5}} + \frac{1}{\frac{1}{6}}}{3}\right)^{-1}$$
2. 2
   Вычислим обратные величины и их среднее арифметическое:$$h = \left(\dfrac{4 + 5 + 6}{3}\right)^{-1} = 5^{-1}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Расстояние по числу қадам

Зная длину своего шага, Адам может приближённо подсчитать пройденное им расстояние $s$ по формуле $s = nl$, где $n$ — число қадам, $l$ — длина шага. Какое расстояние прошёл Адам, если $l = 70$…

1. 1
   Переведём длину шага из сантиметров в метры:$$l = 70\text{ см} = 0{,}7\text{ м}$$
2. 2
   Подставим значения в формулу расстояния:$$s = nl = 1800 \cdot 0{,}7 = 1260\text{ м}$$

Среднее квадратичное чисел

Среднее квадратичное трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $q=\sqrt{\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}}$. Найдите среднее квадратичное чисел $2$, $\sqrt{7}$ и $4$.

1. 1
   Подставим данные числа в формулу среднего квадратичного:$$q=\sqrt{\dfrac{2^2+(\sqrt{7})^2+4^2}{3}}$$
2. 2
   Вычислим квадраты чисел и упростим выражение:$$q=\sqrt{\dfrac{4+7+16}{3}}=\sqrt{9}=3$$

Среднее гармоническое чисел

Среднее гармоническое трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $h = \left(\dfrac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}{3}\right)^{-1}$. Найдите среднее гармоническое чисел $\dfrac{1}{3}$…

1. 1
   Подставим числа в формулу среднего гармонического:$$h = \left(\dfrac{\frac{1}{\frac{1}{3}} + \frac{1}{\frac{1}{4}} + \frac{1}{\frac{1}{5}}}{3}\right)^{-1}$$
2. 2
   Вычислим обратные величины и среднее арифметическое:$$h = \left(\dfrac{3 + 4 + 5}{3}\right)^{-1} = 4^{-1}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Среднее квадратичное чисел

Среднее квадратичное трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $q = \sqrt{\dfrac{a^2 + b^2 + c^2}{3}}$. Найдите среднее квадратичное чисел $2$, $2\sqrt{2}$ и $6$.

1. 1
   Подставим числа в формулу среднего квадратичного.$$q = \sqrt{\dfrac{2^2 + (2\sqrt{2})^2 + 6^2}{3}}$$
2. 2
   Вычислим квадраты чисел и значение под корнем.$$q = \sqrt{\dfrac{4 + 8 + 36}{3}} = \sqrt{16} = 4$$

Среднее гармоническое чисел

Среднее гармоническое трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $h = \left(\dfrac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}{3}\right)^{-1}$. Найдите среднее гармоническое чисел $\dfrac{1}{2}$…

1. 1
   Подставим числа в формулу среднего гармонического. Их обратные величины равны $2$, $11$ и $17$.$$h = \left(\dfrac{2+11+17}{3}\right)^{-1}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения в скобках и возьмём обратное число.$$h = \left(\dfrac{30}{3}\right)^{-1} = 10^{-1} = 0{,}1$$

Среднее квадратичное чисел

Среднее квадратичное трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $q = \sqrt{\dfrac{a^2 + b^2 + c^2}{3}}$. Найдите среднее квадратичное чисел $2$, $2\sqrt{22}$ и $10$.

1. 1
   Подставим числа в формулу среднего квадратичного.$$q = \sqrt{\dfrac{2^2 + (2\sqrt{22})^2 + 10^2}{3}}$$
2. 2
   Вычислим квадраты чисел: $2^2 = 4$, $(2\sqrt{22})^2 = 88$, $10^2 = 100$.$$q = \sqrt{\dfrac{4 + 88 + 100}{3}} = \sqrt{64}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Стоимость фундамента

При строительстве дома фирма использует один из типов фундамента: бетонный или пеноблочный. Для фундамента из пеноблоков необходимо 3 кубометра пеноблоков и 3 мешка цемента. Для бетонного фундамента…

1. 1
   Найдём стоимость материалов для пеноблочного фундамента:$$3 \cdot 2700 + 3 \cdot 280 = 8100 + 840 = 8940$$
2. 2
   Найдём стоимость материалов для бетонного фундамента:$$6 \cdot 800 + 15 \cdot 280 = 4800 + 4200 = 9000$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Минимальный рейтинг печи

Рейтинговое агентство определяет рейтинг микроволновых печей на основе средней цены $P$ (в рублях за штуку), а также показателей функциональности $F$, качества $Q$ и дизайна $D$. Рейтинг $R$…

1. 1
   Вычислим рейтинг модели А:$$R_{\mathrm{А}} = 8(2 + 1) + 4 \cdot 3 - 0{,}01 \cdot 2200 = 24 + 12 - 22 = 14$$
2. 2
   Вычислим рейтинг модели Б:$$R_{\mathrm{Б}} = 8(1 + 4) + 4 \cdot 3 - 0{,}01 \cdot 4100 = 40 + 12 - 41 = 11$$

Ещё 3 қадам — толық шешімде