Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Алгебраические выражения» — с ответами

Графики функций и производных

Установите соответствие между графиками линейных функций и графиками их производных.

1. 1
   У линейной функции $y = kx + b$ производная равна угловому коэффициенту прямой.$$y' = k$$
2. 2
   График А имеет большой положительный наклон, поэтому ему соответствует самая высокая положительная горизонтальная прямая — график 2.

Ещё 3 шага — в полном решении

Угловые коэффициенты прямых

На рисунках изображены графики функций вида $y = kx + b$. Установите соответствие между графиками функций и угловыми коэффициентами прямых.

1. 1
   В функции $y=kx+b$ угловой коэффициент $k$ определяет наклон прямой: при $k>0$ прямая возрастает, при $k<0$ — убывает.
2. 2
   На графике А прямая резко убывает, поэтому ей соответствует самый большой по модулю отрицательный коэффициент $-5$.

Ещё 3 шага — в полном решении

Производная по графику касательной

На рисунках изображены графики функций и касательные, проведённые к ним в точке с абсциссой $x_0$. Установите соответствие между графиками функций и значениями производной этих функций в точке $x_0$.

1. 1
   Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику в этой точке.$$f'(x_0)=k$$
2. 2
   На графике А касательная возрастает с небольшим наклоном, поэтому $f'(x_0)=0{,}8$, то есть соответствует номеру 2.$$А\to2$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Производные линейных функций

На рисунках изображены графики функций вида $y = kx + b$. Установите соответствие между графиками функций и значениями их производной в точке $x = 1$.

1. 1
   Для функции $y = kx + b$ производная в любой точке равна коэффициенту наклона прямой:$$y'(x) = k$$
2. 2
   По графику А прямая убывает с угловым коэффициентом $-1{,}25$, поэтому ей соответствует значение 3.

Ещё 3 шага — в полном решении

Производная линейной функции

На рисунках изображены графики функций вида $y = kx + b$. Установите соответствие между графиками функций и значениями их производной в точке $x = 1$.

1. 1
   Для функции вида $y = kx + b$ производная не зависит от $x$ и равна коэффициенту наклона прямой.$$y' = k$$
2. 2
   График А возрастает наиболее круто, его угловой коэффициент равен $1{,}25$; ему соответствует значение 3.$$k_{А} = 1{,}25$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Динамика добычи угля

На рисунке точками показан годовой объём добычи угля в России открытым способом в период с 2001 по 2010 год. По горизонтали указан год, по вертикали — объём добычи угля (в миллионах тонн). Для…

1. 1
   В 2002–2004 гг. объём добычи был примерно равен 165–183 млн т, то есть ежегодно оставался меньше 190 млн т.
2. 2
   В 2004–2006 гг. объём добычи последовательно увеличивался: примерно со 183 до 203 млн т.

Ещё 2 шага — в полном решении

Характеристики функций

Установите соответствие между функциями и характеристиками этих функций.

1. 1
   Функция $y = 5x - 1$ — линейная, её угловой коэффициент равен $5 > 0$, поэтому функция возрастает.$$А \to 1$$
2. 2
   В функции $y = 10x - x^2$ коэффициент при $x^2$ отрицательный, поэтому ветви параболы направлены вниз и функция имеет точку максимума.$$Б \to 4$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Знаки функции и производной

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ и отмечены точки $A$, $B$, $C$ и $D$ на оси $Ox$. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке характеристики функции и её производной.

1. 1
   В точке $A$ график расположен выше оси $Ox$, поэтому $f(A)>0$. График убывает, значит $f'(A)<0$. Это характеристика 1.$$A \to 1$$
2. 2
   В точке $B$ график расположен ниже оси $Ox$, поэтому $f(B)<0$. График возрастает, значит $f'(B)>0$. Это характеристика 2.$$B \to 2$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Площадь параллелепипеда

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $S = 2(ab + ac + bc)$. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами 5, 6 и…

1. 1
   Подставим значения рёбер в формулу площади поверхности:$$S = 2(5 \cdot 6 + 5 \cdot 20 + 6 \cdot 20)$$
2. 2
   Вычислим сумму произведений:$$S = 2(30 + 100 + 120) = 2 \cdot 250 = 500$$

Площадь поверхности параллелепипеда

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $S = 2(ab + ac + bc)$. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами 4, 5 и…

1. 1
   Подставим значения рёбер $a = 4$, $b = 5$, $c = 30$ в формулу.$$S = 2(4 \cdot 5 + 4 \cdot 30 + 5 \cdot 30)$$
2. 2
   Вычислим сумму произведений и умножим её на 2.$$S = 2(20 + 120 + 150) = 2 \cdot 290 = 580$$

Площадь поверхности параллелепипеда

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами длиной $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $S = 2(ab + ac + bc)$. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами…

1. 1
   Подставим значения рёбер $a = 2$, $b = 5$, $c = 6$ в формулу площади поверхности.$$S = 2(2 \cdot 5 + 2 \cdot 6 + 5 \cdot 6)$$
2. 2
   Вычислим сумму произведений и умножим её на 2.$$S = 2(10 + 12 + 30) = 2 \cdot 52 = 104$$

Площадь поверхности параллелепипеда

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами длиной $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $S = 2(ab + ac + bc)$. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами…

1. 1
   Подставим значения рёбер в формулу площади поверхности:$$S = 2(3 \cdot 4 + 3 \cdot 5 + 4 \cdot 5)$$
2. 2
   Вычислим сумму площадей попарных граней и умножим её на 2:$$S = 2(12 + 15 + 20) = 2 \cdot 47 = 94$$

Автобусы для лагеря

В летнем лагере 183 ребёнка и 26 воспитателей. В одном автобусе можно перевозить не больше 35 пассажиров. Какое наименьшее количество таких автобусов понадобится, чтобы за один раз перевезти всех из…

1. 1
   Найдём общее количество людей, которых нужно перевезти.$$183 + 26 = 209$$
2. 2
   Определим, сколько автобусов потребуется. Так как автобус вмещает не более 35 пассажиров, результат деления нужно округлить вверх.$$\left\lceil \frac{209}{35} \right\rceil = \left\lceil 5{,}971\ldots \right\rceil = 6$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Автобусы для лагеря

В летнем лагере 150 детей и 16 воспитателей. В одном автобусе можно перевозить не больше 20 пассажиров. Какое наименьшее количество таких автобусов понадобится, чтобы за один раз перевезти всех из…

1. 1
   Найдём общее количество пассажиров:$$150 + 16 = 166$$
2. 2
   Определим количество автобусов. Частное $166 : 20 = 8{,}3$ округляем вверх, поскольку автобусов должно хватить для всех пассажиров.$$\left\lceil \frac{166}{20} \right\rceil = 9$$

Стоимость поездок и проездного

Стоимость проездного билета на месяц составляет 570 рублей, а стоимость билета на одну поездку — 24 рубля. Аня купила проездной и сделала за месяц 35 поездок. На сколько рублей больше она бы…

1. 1
   Вычислим, сколько стоили бы 35 поездок при покупке отдельных билетов:$$24 \cdot 35 = 840$$
2. 2
   Вычтем стоимость проездного билета:$$840 - 570 = 270$$

Автобусы для лагеря

В летнем лагере 179 детей и 25 воспитателей. В одном автобусе можно перевозить не больше 28 пассажиров. Какое наименьшее количество таких автобусов понадобится, чтобы за один раз перевезти всех из…

1. 1
   Найдём общее количество людей, которых нужно перевезти:$$179 + 25 = 204$$
2. 2
   Разделим количество пассажиров на вместимость одного автобуса:$$\dfrac{204}{28} \approx 7{,}29$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Стоимость бутылки кваса

В магазине квас на разлив можно купить в бутылках, причём стоимость кваса в бутылке складывается из стоимости самой бутылки и кваса, налитого в неё. Цена бутылки не зависит от её объёма. Бутылка…

1. 1
   Пусть $b$ — стоимость пустой бутылки, а $c$ — стоимость 1 литра кваса.$$b + c = 36$$
2. 2
   Для бутылки объёмом 2 литра получаем второе уравнение.$$b + 2c = 66$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Стоимость бутылки кваса

В магазине квас на розлив можно купить в бутылках, причём стоимость кваса в бутылке складывается из стоимости самой бутылки и кваса, налитого в неё. Цена бутылки не зависит от её объёма. Бутылка…

1. 1
   Пусть $b$ — стоимость бутылки, а $q$ — стоимость одного литра кваса.
2. 2
   По условию для бутылок объёмом 1 и 2 литра составим систему:$$\begin{cases} b+q=90 \\ b+2q=150 \end{cases}$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Перевозка пассажиров автобусами

В летнем лагере 162 ребёнка и 26 воспитателей. В одном автобусе можно перевозить не больше 30 пассажиров. Какое наименьшее количество таких автобусов понадобится, чтобы за один раз перевезти всех из…

1. 1
   Найдём общее количество людей, которых нужно перевезти.$$162 + 26 = 188$$
2. 2
   Определим количество автобусов. Шести автобусов недостаточно, поскольку $6 \cdot 30 = 180 < 188$. Следовательно, нужен ещё один автобус.$$\left\lceil \dfrac{188}{30} \right\rceil = 7$$

Значение тригонометрического выражения

Найдите значение выражения $20\sqrt{3}\cos 390^\circ$.

1. 1
   Сократим угол с учётом периода косинуса:$$\cos 390^\circ=\cos(360^\circ+30^\circ)=\cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$
2. 2
   Подставим найденное значение в выражение:$$20\sqrt{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=10\cdot3=30$$