Задание 4 ЕГЭ по базовой математике: решения ФИПИ с ответами по шагам

Среднее квадратичное чисел

Среднее квадратичное трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $q = \sqrt{\dfrac{a^2 + b^2 + c^2}{3}}$. Найдите среднее квадратичное чисел $4$, $5\sqrt{2}$ и $9$.

1. 1
   Подставим данные числа в формулу среднего квадратичного:$$q = \sqrt{\dfrac{4^2 + (5\sqrt{2})^2 + 9^2}{3}}$$
2. 2
   Вычислим квадраты чисел:$$4^2 = 16, \quad (5\sqrt{2})^2 = 50, \quad 9^2 = 81$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Радиус вписанной окружности

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по формуле $r = \dfrac{a+b-c}{2}$, где $a$ и $b$ — катеты, $c$ — гипотенуза. Пользуясь этой формулой, найдите $r$, если $a = 60$…

1. 1
   Подставим известные значения в формулу радиуса:$$r = \dfrac{60+91-109}{2}$$
2. 2
   Вычислим значение числителя и разделим результат на 2:$$r = \dfrac{42}{2} = 21$$

Площадь треугольника по Герону

Площадь треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ можно найти по формуле Герона $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \dfrac{a+b+c}{2}$. Найдите площадь треугольника, если длины его сторон равны 4…

1. 1
   Найдём полупериметр треугольника:$$p = \dfrac{4+51+53}{2} = 54$$
2. 2
   Подставим значения в формулу Герона:$$S = \sqrt{54(54-4)(54-51)(54-53)} = \sqrt{54 \cdot 50 \cdot 3 \cdot 1}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Медиана треугольника по сторонам

Длина медианы $m_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $m_c = \dfrac{\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}}{2}$. Найдите медиану $m_c$, если $a = 6$…

1. 1
   Подставим значения сторон в формулу медианы.$$m_c = \dfrac{\sqrt{2 \cdot 6^2 + 2 \cdot (4\sqrt{2})^2 - 10^2}}{2}$$
2. 2
   Вычислим выражение под корнем.$$2 \cdot 6^2 + 2 \cdot (4\sqrt{2})^2 - 10^2 = 72 + 64 - 100 = 36$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь трапеции по формуле

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \dfrac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — длины оснований трапеции, $h$ — её высота. Пользуясь этой формулой, найдите площадь $S$, если $a = 4$, $b = 9$ и…

1. 1
   Подставим значения $a$, $b$ и $h$ в формулу площади трапеции.$$S = \dfrac{4+9}{2} \cdot 2$$
2. 2
   Вычислим значение выражения.$$S = \dfrac{13}{2} \cdot 2 = 13$$

Медиана треугольника

Длина медианы $m_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $m_c = \dfrac{\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}}{2}$. Найдите медиану $m_c$, если $a = 6$…

1. 1
   Подставим значения $a = 6$, $b = 7$ и $c = 11$ в формулу медианы.$$m_c = \dfrac{\sqrt{2 \cdot 6^2 + 2 \cdot 7^2 - 11^2}}{2}$$
2. 2
   Вычислим выражение под корнем.$$2 \cdot 6^2 + 2 \cdot 7^2 - 11^2 = 72 + 98 - 121 = 49$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь треугольника по Герону

Площадь треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ можно найти по формуле Герона $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \dfrac{a+b+c}{2}$. Найдите площадь треугольника, если длины его сторон равны 10…

1. 1
   Найдём полупериметр треугольника:$$p = \dfrac{10+17+21}{2} = 24$$
2. 2
   Применим формулу Герона:$$S = \sqrt{24(24-10)(24-17)(24-21)} = \sqrt{24 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 3}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Мощность постоянного тока

Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле $P = I^2R$, где $I$ — сила тока (в амперах), $R$ — сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите $P$ (в ваттах), если $R = 2$…

1. 1
   Подставим в формулу $P = I^2R$ значения $I = 8{,}5$ и $R = 2$.$$P = 8{,}5^2 \cdot 2$$
2. 2
   Вычислим значение выражения.$$P = 72{,}25 \cdot 2 = 144{,}5$$

Нахождение сопротивления по мощности

Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле $P = I^2R$, где $I$ — сила тока (в амперах), $R$ — сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите $R$ (в омах), если $P = 180$…

1. 1
   Выразим сопротивление из формулы мощности постоянного тока.$$R = \dfrac{P}{I^2}$$
2. 2
   Подставим известные значения мощности и силы тока.$$R = \dfrac{180}{6^2} = \dfrac{180}{36} = 5$$

Энергия заряженного конденсатора

Энергия заряженного конденсатора $W$ (в Дж) вычисляется по формуле $W = \dfrac{CU^2}{2}$, где $C$ — ёмкость конденсатора (в Ф), а $U$ — разность потенциалов на обкладках конденсатора (в В). Найдите…

1. 1
   Подставим значения ёмкости и разности потенциалов в формулу:$$W = \dfrac{10^{-4} \cdot 8^2}{2}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения:$$W = \dfrac{10^{-4} \cdot 64}{2} = 32 \cdot 10^{-4} = 0{,}0032$$

Радиус описанной окружности

Радиус окружности, описанной около треугольника, можно вычислить по формуле $R = \dfrac{a}{2\sin\alpha}$, где $a$ — сторона, $\alpha$ — противолежащий ей угол треугольника. Пользуясь этой формулой…

1. 1
   Подставим в формулу $R = \dfrac{a}{2\sin\alpha}$ значения $a = 10$ и $\sin\alpha = \dfrac{1}{3}$.$$R = \dfrac{10}{2 \cdot \frac{1}{3}}$$
2. 2
   Выполним вычисления.$$R = \dfrac{10}{\frac{2}{3}} = 10 \cdot \dfrac{3}{2} = 15$$

Радиус вписанной окружности

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности можно вычислить по формуле $r = \dfrac{a+b-c}{2}$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза. Пользуясь этой формулой, найдите радиус $r$…

1. 1
   Подставим заданные значения в формулу.$$r = \dfrac{15 + 112 - 113}{2}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения.$$r = \dfrac{14}{2} = 7$$

Мощность постоянного тока

Мощность постоянного тока (в ваттах) можно вычислить по формуле $P = \dfrac{U^2}{R}$, где $U$ — напряжение (в вольтах), $R$ — сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите мощность…

1. 1
   Подставим в формулу значения $U = 18$ В и $R = 6$ Ом.$$P = \dfrac{18^2}{6}$$
2. 2
   Вычислим квадрат напряжения и разделим результат на сопротивление.$$P = \dfrac{324}{6} = 54$$

Среднее квадратичное чисел

Среднее квадратичное трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $q=\sqrt{\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}}$. Найдите среднее квадратичное чисел $2\sqrt{7}$, $8$ и $10$.

1. 1
   Возводим данные числа в квадрат:$$(2\sqrt{7})^2=28,\quad 8^2=64,\quad 10^2=100$$
2. 2
   Подставляем значения в формулу среднего квадратичного:$$q=\sqrt{\dfrac{28+64+100}{3}}=\sqrt{\dfrac{192}{3}}=\sqrt{64}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Нахождение массы тела

Потенциальная энергия тела (в джоулях) в поле тяготения Земли вблизи её поверхности вычисляется по формуле $E = mgh$, где $m$ — масса тела (в килограммах), $g$ — ускорение свободного падения (в…

1. 1
   Выразим массу тела из формулы $E = mgh$.$$m = \dfrac{E}{gh}$$
2. 2
   Подставим известные значения.$$m = \dfrac{196}{9{,}8 \cdot 5} = \dfrac{196}{49} = 4$$

Кинетическая энергия тела

Кинетическая энергия тела (в джоулях) вычисляется по формуле $E = \dfrac{mv^2}{2}$, где $m$ — масса тела (в килограммах), а $v$ — его скорость (в $\text{м}/\text{с}$). Пользуясь этой формулой…

1. 1
   Подставим в формулу значения $m = 10$ кг и $v = 4$ м/с.$$E = \dfrac{10 \cdot 4^2}{2}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения.$$E = \dfrac{10 \cdot 16}{2} = 80\ \text{Дж}$$

Растяжение пружины по закону Гука

Закон Гука можно записать в виде $F = kx$, где $F$ — сила (в ньютонах), с которой растягивают (сжимают) пружину, $x$ — абсолютное растяжение (сжатие) пружины (в метрах), а $k$ — коэффициент…

1. 1
   Из закона Гука выразим растяжение пружины:$$x = \dfrac{F}{k}$$
2. 2
   Подставим значения силы и коэффициента упругости:$$x = \dfrac{28}{4} = 7\ \text{м}$$

Теорема синусов

Теорему синусов можно записать в виде $\dfrac{a}{\sin\alpha}=\dfrac{b}{\sin\beta}$, где $a$ и $b$ — две стороны треугольника, а $\alpha$ и $\beta$ — углы треугольника, лежащие против них…

1. 1
   Из теоремы синусов выразим $\sin\alpha$:$$\sin\alpha=\frac{a\sin\beta}{b}$$
2. 2
   Подставим известные значения:$$\sin\alpha=\frac{10\cdot\frac{22}{25}}{11}=\frac{220}{275}=0{,}8$$

Площадь треугольника по формуле

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \dfrac{1}{2}bc\sin\alpha$, где $b$ и $c$ — две стороны треугольника, а $\alpha$ — угол между ними. Пользуясь этой формулой, найдите площадь $S$, если…

1. 1
   Подставим данные в формулу площади треугольника.$$S = \dfrac{1}{2} \cdot 15 \cdot 14 \cdot \dfrac{1}{5}$$
2. 2
   Сократим множители и выполним вычисления.$$S = \dfrac{15 \cdot 14}{10} = 21$$

Длина биссектрисы треугольника

Длина биссектрисы $l_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $l_c = \dfrac{1}{a+b}\sqrt{ab\left((a+b)^2-c^2\right)}$. Найдите биссектрису…

1. 1
   Подставим данные в формулу:$$l_c=\dfrac{1}{3+6}\sqrt{3\cdot6\left((3+6)^2-(3\sqrt{7})^2\right)}$$
2. 2
   Вычислим выражение под корнем:$$(3+6)^2-(3\sqrt{7})^2=81-63=18$$

Ещё 1 шаг — в полном решении