Тапсырма 4 ЕГЭ по базалық математикаға: ФИПИ шешімдері қадамдық жауаптарымен

Расстояние по числу қадам

Зная длину своего шага, человек может приближённо подсчитать пройденное им расстояние $s$ по формуле $s = nl$, где $n$ — число шагов, $l$ — длина шага. Какое расстояние прошёл человек, если $l = 50$…

1. 1
   Переведём длину шага в метры:$$l = 50\text{ см} = 0{,}5\text{ м}$$
2. 2
   Подставим значения в формулу расстояния:$$s = nl = 1600 \cdot 0{,}5 = 800\text{ м}$$

Масса по силе и ускорению

Второй закон Ньютона можно записать в виде $F = ma$, где $F$ — сила (в ньютонах), действующая на тело, $m$ — его масса (в килограммах), $a$ — ускорение (в м/с^2), с которым движется тело. Найдите…

1. 1
   Выразим массу из формулы второго закона Ньютона:$$m = \dfrac{F}{a}$$
2. 2
   Подставим известные значения силы и ускорения:$$m = \dfrac{221}{17} = 13$$

Энергия заряженного конденсатора

Энергия заряженного конденсатора $W$ (в Дж) вычисляется по формуле $W = \dfrac{CU^2}{2}$, где $C$ — ёмкость конденсатора (в Ф), а $U$ — разность потенциалов на обкладках конденсатора (в В). Найдите…

1. 1
   Подставим в формулу значения $C = 0{,}5$ Ф и $U = 4$ В.$$W = \dfrac{0{,}5 \cdot 4^2}{2}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения.$$W = \dfrac{0{,}5 \cdot 16}{2} = 4$$

Расчёт количества теплоты

Количество теплоты (в джоулях), полученное однородным телом при нагревании, вычисляется по формуле $Q = cm(t_2 - t_1)$, где $c$ — удельная теплоёмкость тела (в…

1. 1
   Находим изменение температуры тела:$$t_2 - t_1 = 608 - 603 = 5\,\text{К}$$
2. 2
   Подставляем значения в формулу количества теплоты:$$Q = cm(t_2 - t_1) = 600 \cdot 3 \cdot 5 = 9000\,\text{Дж}$$

Площадь прямоугольника по диагонали

Площадь прямоугольника можно вычислить по формуле $S = \dfrac{d^2\sin\alpha}{2}$, где $d$ — длина диагонали, $\alpha$ — угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите площадь $S$, если…

1. 1
   Подставим в формулу значения диагонали и синуса угла:$$S = \dfrac{5^2 \cdot \frac{2}{5}}{2}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения:$$S = \dfrac{25 \cdot 2}{5 \cdot 2} = 5$$

Площадь трапеции по формуле

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \dfrac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — длины оснований трапеции, $h$ — её высота. Пользуясь этой формулой, найдите площадь $S$, если $a = 6$, $b = 4$ и…

1. 1
   Подставим заданные значения в формулу площади трапеции.$$S = \dfrac{6+4}{2} \cdot 6$$
2. 2
   Вычислим значение выражения.$$S = \dfrac{10}{2} \cdot 6 = 5 \cdot 6 = 30$$

Среднее гармоническое чисел

Среднее гармоническое трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $h = \left(\dfrac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}{3}\right)^{-1}$. Найдите среднее гармоническое чисел $\dfrac{1}{4}$…

1. 1
   Подставим числа в формулу:$$h = \left(\dfrac{\frac{1}{1/4}+\frac{1}{1/7}+\frac{1}{1}}{3}\right)^{-1}$$
2. 2
   Вычислим обратные величины и их среднее:$$h = \left(\dfrac{4+7+1}{3}\right)^{-1} = 4^{-1}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Нахождение медианы треугольника

Длина медианы $m_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $m_c = \dfrac{\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}}{2}$. Найдите медиану $m_c$, если $a = 4$…

1. 1
   Подставим значения сторон в формулу медианы.$$m_c = \dfrac{\sqrt{2 \cdot 4^2 + 2 \cdot (3\sqrt{2})^2 - 2^2}}{2}$$
2. 2
   Вычислим выражение под корнем.$$2 \cdot 16 + 2 \cdot 18 - 4 = 64$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Мощность постоянного тока

Мощность постоянного тока (в ваттах) можно вычислить по формуле $P = \dfrac{U^2}{R}$, где $U$ — напряжение (в вольтах), $R$ — сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите мощность…

1. 1
   Подставим в формулу $P = \dfrac{U^2}{R}$ значения $U = 12$ и $R = 6$.$$P = \dfrac{12^2}{6}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения.$$P = \dfrac{144}{6} = 24$$

Расстояние по числу қадам

Зная длину своего шага, человек может приближённо подсчитать пройденное им расстояние $s$ по формуле $s = nl$, где $n$ — число шагов, $l$ — длина шага. Какое расстояние прошёл человек, если $l = 80$…

1. 1
   Переведём длину шага в метры:$$l = 80\text{ см} = 0{,}8\text{ м}$$
2. 2
   Подставим значения в формулу расстояния:$$s = nl = 1600 \cdot 0{,}8 = 1280\text{ м}$$

Нахождение ребра параллелепипеда

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = abc$, где $a$, $b$ и $c$ — длины трёх его рёбер, выходящих из одной вершины. Пользуясь этой формулой, найдите $a$, если $V = 55$…

1. 1
   Из формулы $V = abc$ выразим длину ребра $a$:$$a = \dfrac{V}{bc}$$
2. 2
   Подставим известные значения:$$a = \dfrac{55}{2 \cdot 5{,}5} = \dfrac{55}{11} = 5$$

Среднее гармоническое чисел

Среднее гармоническое трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $h = \left(\dfrac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}{3}\right)^{-1}$. Найдите среднее гармоническое чисел $\dfrac{1}{4}$…

1. 1
   Находим обратные величины заданных чисел:$$\frac{1}{\frac{1}{4}}=4,\quad \frac{1}{\frac{1}{25}}=25,\quad \frac{1}{1}=1$$
2. 2
   Подставляем их в формулу среднего гармонического:$$h=\left(\frac{4+25+1}{3}\right)^{-1}=\left(\frac{30}{3}\right)^{-1}=10^{-1}=0.1$$

Среднее гармоническое чисел

Среднее гармоническое трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $h=\left(\dfrac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}{3}\right)^{-1}$. Найдите среднее гармоническое чисел $\dfrac{1}{9}$…

1. 1
   Подставим в формулу $a=\dfrac{1}{9}$, $b=\dfrac{1}{10}$, $c=\dfrac{1}{11}$:$$h=\left(\dfrac{\frac{1}{1/9}+\frac{1}{1/10}+\frac{1}{1/11}}{3}\right)^{-1}$$
2. 2
   Вычислим обратные величины и их среднее:$$h=\left(\dfrac{9+10+11}{3}\right)^{-1}=10^{-1}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Среднее гармоническое чисел

Среднее гармоническое трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $h = \left(\dfrac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}{3}\right)^{-1}$. Найдите среднее гармоническое чисел $\dfrac{1}{3}$…

1. 1
   Найдём обратные величины заданных чисел:$$\frac{1}{\frac{1}{3}} = 3,\quad \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4,\quad \frac{1}{1} = 1$$
2. 2
   Подставим их в формулу среднего гармонического:$$h = \left(\frac{3 + 4 + 1}{3}\right)^{-1} = \left(\frac{8}{3}\right)^{-1}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Радиус описанной окружности

Радиус окружности, описанной около треугольника, можно вычислить по формуле $R = \dfrac{a}{2\sin\alpha}$, где $a$ — сторона, а $\alpha$ — противолежащий ей угол треугольника. Пользуясь этой…

1. 1
   Подставим в формулу значения стороны и синуса угла:$$R = \dfrac{16}{2 \cdot \frac{2}{3}}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения:$$R = \dfrac{16}{\frac{4}{3}} = 16 \cdot \frac{3}{4} = 12$$

Среднее квадратичное чисел

Среднее квадратичное трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $q = \sqrt{\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}}$. Найдите среднее квадратичное чисел $8$, $9$ и $7\sqrt{2}$.

1. 1
   Подставим данные числа в формулу среднего квадратичного.$$q = \sqrt{\dfrac{8^2+9^2+(7\sqrt{2})^2}{3}}$$
2. 2
   Вычислим квадраты чисел и найдём значение под корнем.$$q = \sqrt{\dfrac{64+81+98}{3}} = \sqrt{81}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Теорема синусов

Теорему синусов можно записать в виде $\dfrac{a}{\sin\alpha}=\dfrac{b}{\sin\beta}$, где $a$ и $b$ — две стороны треугольника, а $\alpha$ и $\beta$ — углы треугольника, лежащие против них…

1. 1
   Выразим сторону $a$ из теоремы синусов:$$a=b\cdot\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}$$
2. 2
   Подставим данные тапсырма:$$a=15\cdot\frac{1/5}{1/4}=15\cdot\frac{4}{5}=12$$

Косинус угла треугольника

Теорему косинусов можно записать в виде $\cos \gamma = \dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$, где $a$, $b$ и $c$ — стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между сторонами $a$ и $b$. Пользуясь этой формулой…

1. 1
   Подставим значения $a=5$, $b=8$ и $c=7$ в формулу теоремы косинусов.$$\cos \gamma=\dfrac{5^2+8^2-7^2}{2\cdot5\cdot8}$$
2. 2
   Вычислим числитель и знаменатель дроби.$$\cos \gamma=\dfrac{25+64-49}{80}=\dfrac{40}{80}=0.5$$

Нахождение стороны треугольника

Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \dfrac{(a+b+c)r}{2}$, где $a$, $b$ и $c$ — стороны треугольника, а $r$ — радиус окружности, вписанной в этот треугольник. Пользуясь этой…

1. 1
   Подставим известные значения в формулу площади треугольника.$$10\sqrt{3}=\dfrac{(7+b+8)\sqrt{3}}{2}$$
2. 2
   Умножим обе части равенства на $2$ и сократим на $\sqrt{3}$.$$20=15+b$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Удлинение пружины по закону Гука

Закон Гука можно записать в виде $F = kx$, где $F$ — сила (в ньютонах), с которой растягивают пружину, $x$ — абсолютное удлинение пружины (в метрах), а $k$ — коэффициент упругости (в Н/м). Пользуясь…

1. 1
   Выразим абсолютное удлинение $x$ из закона Гука.$$x = \dfrac{F}{k}$$
2. 2
   Подставим значения силы и коэффициента упругости.$$x = \dfrac{51}{3} = 17$$