В угол с вершиной $C$, равный $81^\circ$, вписана окружность с центром $O$, которая касается сторон угла в точках $A$ и $B$. Найдите угол $AOB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Поэтому углы $OAC$ и $OBC$ равны $90^\circ$.$$\angle OAC = \angle OBC = 90^\circ$$
- 2
Рассмотрим четырёхугольник $ACBO$. Сумма его углов равна $360^\circ$.$$\angle AOB = 360^\circ - 81^\circ - 90^\circ - 90^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AL$, угол $ALC$ равен $150^\circ$, угол $ABC$ равен $127^\circ$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Углы $ALC$ и $ALB$ смежные, поэтому$$\angle ALB = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
Рассмотрим треугольник $ABL$. По сумме его углов найдём угол $BAL$:$$\angle BAL = 180^\circ - 127^\circ - 30^\circ = 23^\circ$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 26$, $\sin A = \dfrac{5}{13}$. Найдите длину стороны $AC$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ — гипотенуза. По определению синуса:$$\sin A = \frac{BC}{AB}$$
- 2
Найдём длину катета $BC$:$$BC = AB \cdot \sin A = 26 \cdot \frac{5}{13} = 10$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны. Внешний угол при вершине $B$ равен $134^\circ$. Найдите угол $C$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Внутренний угол $B$ и внешний угол при вершине $B$ являются смежными.$$B = 180^\circ - 134^\circ = 46^\circ$$
- 2
Поскольку $AC = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный, поэтому углы при основании равны: $A = B = 46^\circ$.$$A = B = 46^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ медиана $BK = 10$, отрезок $MN$, соединяющий середины боковых сторон, равен 24. Найдите боковую сторону $AB$.
- 1
Отрезок $MN$ соединяет середины боковых сторон, поэтому он является средней линией треугольника и равен половине основания $AC$.$$AC = 2MN = 2 \cdot 24 = 48$$
- 2
Медиана $BK$ в равнобедренном треугольнике делит основание пополам.$$AK = \frac{AC}{2} = 24$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
На стороне $BC$ прямоугольника $ABCD$, у которого $AB = 12$ и $AD = 17$, отмечена точка $E$ так, что треугольник $ABE$ равнобедренный. Найдите $ED$.
- 1
В равнобедренном треугольнике $ABE$ равны боковые стороны, поэтому $BE = AB = 12$.
- 2
Так как $BC = AD = 17$, получаем $EC = BC - BE = 17 - 12 = 5$.
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Площадь прямоугольника $ABCD$ равна $32$, сторона $BC = 8$. Найдите тангенс угла $CAD$.
- 1
Площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Так как $BC = AD = 8$, найдём вторую сторону:$$CD = AB = \dfrac{32}{8} = 4$$
- 2
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD$. Для угла $CAD$ противолежащий катет — $CD$, а прилежащий — $AD$.$$\tan \angle CAD = \dfrac{CD}{AD} = \dfrac{4}{8} = 0{,}5$$
В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $BM$, проведённая к основанию, равна $7$, а $\tg A = 1{,}4$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой, поэтому $AM=MC$.$$AC=2AM$$
- 2
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM$. По определению тангенса угла $A$:$$\tg A=\dfrac{BM}{AM}$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В параллелограмме $ABCD$ диагонали перпендикулярны. Сумма углов $A$ и $C$ равна $120^\circ$, $AB = 44$. Найдите $BD$.
- 1
В параллелограмме противоположные углы равны, поэтому из условия $\angle A + \angle C = 120^\circ$ получаем:$$\angle A = \angle C = 60^\circ$$
- 2
Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями является ромбом. Диагональ $BD$ делит угол $B$ пополам, а соседние углы параллелограмма в сумме дают $180^\circ$:$$\angle B = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ, \quad \angle ABD = 60^\circ$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Прямые $m$ и $n$ параллельны (см. рисунок). Найдите $\angle 3$, если $\angle 1 = 109^\circ$, $\angle 2 = 57^\circ$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как прямые $m$ и $n$ параллельны, острый угол между первой наклонной прямой и горизонтальным направлением равен углу, смежному с углом $1$.$$180^\circ - 109^\circ = 71^\circ$$
- 2
Вторая наклонная прямая образует с параллельными прямыми угол $57^\circ$, равный углу $2$.
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Основания равнобедренной трапеции равны 62 и 92, боковая сторона равна 39. Найдите длину диагонали трапеции.
- 1
В равнобедренной трапеции выступы большего основания по краям равны.$$\dfrac{92 - 62}{2} = 15$$
- 2
Найдём высоту трапеции из прямоугольного треугольника с гипотенузой 39 и катетом 15.$$h = \sqrt{39^2 - 15^2} = \sqrt{1521 - 225} = 36$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В равнобедренном треугольнике $ABC$ угол $ABC$ равен $120^\circ$. Высота $BK$, проведённая к основанию, равна 24. Найдите боковую сторону $AB$.
- 1
Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, высота $BK$, проведённая к основанию, является также биссектрисой угла $ABC$.$$\angle ABK = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$$
- 2
Треугольник $ABK$ прямоугольный, поскольку $BK$ — высота. Для угла $ABK$ выразим косинус:$$\cos 60^\circ = \frac{BK}{AB}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Основания трапеции равны 10 и 22, боковая сторона, равная 9, образует с одним из оснований трапеции угол $150^\circ$. Найдите площадь трапеции.
- 1
Высота трапеции — это перпендикулярная составляющая боковой стороны.$$h = 9\sin150^\circ$$
- 2
Находим высоту трапеции:$$h = 9 \cdot \frac{1}{2} = 4{,}5$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Основания равнобедренной трапеции равны 9 и 51, боковая сторона равна 75. Найдите длину диагонали трапеции.
- 1
Разность оснований поровну распределяется между двумя прямоугольными треугольниками.$$x=\dfrac{51-9}{2}=21$$
- 2
Найдём высоту трапеции по теореме Пифагора.$$h=\sqrt{75^2-21^2}=\sqrt{5184}=72$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ медиана $BM$ перпендикулярна $AC$. Найдите $AB$, если $BM = 20$, $AC = 198$.
- 1
Так как $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой стороны $AC$.$$AM = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{198}{2} = 99$$
- 2
Поскольку $BM \perp AC$, треугольник $ABM$ прямоугольный. По теореме Пифагора:$$AB^2 = AM^2 + BM^2 = 99^2 + 20^2 = 9801 + 400 = 10201$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В угол с вершиной $C$, равный $118^\circ$, вписана окружность с центром $O$, которая касается сторон угла в точках $A$ и $B$. Найдите угол $AOB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Поэтому углы $OAC$ и $OBC$ равны $90^\circ$.$$\angle OAC = \angle OBC = 90^\circ$$
- 2
Рассмотрим четырёхугольник $ACBO$. Сумма его внутренних углов равна $360^\circ$.$$\angle AOB = 360^\circ - 118^\circ - 90^\circ - 90^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В прямоугольнике $ABCD$ сторона $AB$ равна 22, $\tg \angle CAD = 0{,}55$. Найдите площадь прямоугольника.
- 1
В прямоугольном треугольнике $CAD$ катет $CD$ равен стороне $AB$ прямоугольника.$$CD = AB = 22$$
- 2
По определению тангенса угла $CAD$ найдём сторону $AD$.$$\tg \angle CAD = \frac{CD}{AD} = \frac{22}{AD} = 0{,}55$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Обе диагонали параллелограмма равны 5. Одна из сторон параллелограмма равна 3. Найдите другую сторону параллелограмма.
- 1
Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.$$d = 5$$
- 2
По теореме Пифагора найдём вторую сторону прямоугольника:$$b = \sqrt{d^2 - a^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{16} = 4$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 15$, $AC = 9$. Найдите $\sin A$.
- 1
Сторона $AB$ — гипотенуза прямоугольного треугольника. Найдём катет $BC$ по теореме Пифагора.$$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{144} = 12$$
- 2
Синус угла $A$ равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.$$\sin A = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{12}{15} = 0{,}8$$
В прямоугольнике $ABCD$ сторона $AB$ равна $9$, $\tg\angle CAD = 0{,}3$. Найдите площадь прямоугольника.
- 1
В прямоугольном треугольнике $ACD$ катет $CD$ равен стороне $AB$ прямоугольника.$$CD = AB = 9$$
- 2
По определению тангенса угла $CAD$:$$\tg\angle CAD = \frac{CD}{AD} = \frac{9}{AD} = 0{,}3$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде