Информатика ЕГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Последняя цифра записи числа в системе счисления с основанием $p$ равна остатку от деления числа на $p$.$$22 \bmod p = 4$$

Следовательно, основание должно делить разность между числом и его последней цифрой.$$p \mid (22 - 4) = 18$$

Поскольку $15 \equiv 1 \pmod{14}$, каждая степень основания 15 сравнима с единицей по модулю 14. Поэтому остаток числа равен сумме его цифр.$$99658x29_{15}+102x023_{15} \equiv (48+x)+(8+x)=56+2x \pmod{14}$$

Для кратности выражения 14 необходимо, чтобы $56+2x$ делилось на 14. Следовательно, $2x$ делится на 14, то есть $x$ кратно 7. Допустимые значения: $0$, $7$, $14$; наибольшее значение — $x=14$.

Представим слагаемые как степени основания системы счисления:$$125 = 5^3,\quad 25^3 = (5^2)^3 = 5^6$$

Тогда выражение имеет вид:$$5^3 + 5^6 + 5^9$$

Выразим слагаемые через степени основания $64$: $512 = 8 \cdot 64$, поэтому $6 \cdot 512^{395} = 48 \cdot 64^{592}$; далее $3 \cdot 8^{398} = 3 \cdot 64^{199}$ и $5 \cdot 8^{393} = 40 \cdot 64^{196}$.

Разложим последнее слагаемое: $300 = 4 \cdot 64 + 44$. Все коэффициенты являются допустимыми цифрами системы счисления с основанием $64$, поэтому переносов нет.$$N = 48 \cdot 64^{592} + 7 \cdot 64^{396} + 3 \cdot 64^{199} + 40 \cdot 64^{196} + 4 \cdot 64^1 + 44$$

Заменим основания степеней на степени числа $7$:$$343^{515}=(7^3)^{515}=7^{1545},\quad 49^{520}=(7^2)^{520}=7^{1040},\quad 49^{510}=(7^2)^{510}=7^{1020}$$

Исходное выражение преобразуется к виду:$$N=7^{1545}-6\cdot 7^{1040}+5\cdot 7^{1020}-3\cdot 7^{530}-550$$

Внешняя импликация может быть ложной только при $x \in P$. Поэтому рассмотрим значения $x$ из отрезка $P$.

Внутренняя импликация $(x \in Q) \land \neg(x \in A) \to \neg(x \in P)$ будет ложной, если одновременно выполняются условия $x \in Q$, $x \notin A$ и $x \in P$.

Логическое выражение ложно только в том случае, если ложны все три части дизъюнкции.$$(69 \ne y + 2x) = 0,\quad (A > x) = 0,\quad (A > y) = 0$$

Следовательно, для проверки минимального значения $A$ нужно рассмотреть систему условий:$$y + 2x = 69,\quad x \ge A,\quad y \ge A$$

Если $x \notin B$, то условие $x \in B$ ложно, поэтому импликация истинна. Значит, достаточно рассмотреть целые числа $x$ из отрезка $[40;50]$.

Импликация $(x \in B) \to \neg\mathrm{ДЕЛ}(x,12)$ ложна, если $x$ принадлежит отрезку $B$ и делится на $12$.

Если $x \notin B$, то условие $x \in B$ ложно, поэтому импликация истинна автоматически. Рассмотрим только $x \in [70;90]$.

Импликация может быть ложной, когда одновременно $x \in B$ и $\mathrm{ДЕЛ}(x,22)$. В отрезке $[70;90]$ единственное число, делящееся на $22$, — $88$.

Рассмотрим левую часть импликации: $(X>3) \lor (X<3)$. Она ложна только при $X=3$, поскольку число 3 не больше и не меньше самого себя.$$(3>3) \lor (3<3) = 0 \lor 0 = 0$$

Импликация с ложной посылкой всегда истинна независимо от значения заключения.$$0 \to (3<1) = 1$$

Применим закон де Моргана к выражению $\neg(B \lor C)$.$$\neg(B \lor C) = \neg B \land \neg C$$

Подставим полученное равенство в исходное выражение.$$\neg A \lor \neg(B \lor C) = \neg A \lor (\neg B \land \neg C)$$

Логическое выражение может быть ложным только тогда, когда ложны все три части:$$(x\leq A)\land(y\leq A)\land(x+2y\geq 80)$$

При условиях $x\leq A$ и $y\leq A$ наибольшее значение выражения $x+2y$ достигается при $x=A$ и $y=A$:$$x+2y\leq A+2A=3A$$

Импликация $P \to Q$ ложна, когда $P$ истинно, а $Q$ ложно. Здесь при $x \notin A$ выражение должно оставаться истинным, значит при таких $x$ значения принадлежности $B$ и $C$ должны совпадать.

Принадлежность отрезкам различается на участках, входящих только в один из них: $[22; 32)$ и $(40; 50]$.

Дизъюнкция ложна только тогда, когда ложны все три её части одновременно:$$2x+y=110,\quad x\ge y,\quad A\ge x$$

Из условия $x\ge y$ получаем $y\le x$. Поэтому из равенства $2x+y=110$ следует:$$110=2x+y\le 3x$$

Импликация $A\to B$ ложна только тогда, когда первое высказывание истинно, а второе ложно. Поэтому её отрицание истинно при $A=1$ и $B=0$.$$\neg(A\to B)\equiv A\land\neg B$$

В данном выражении первое условие — $X>3$, а отрицание второго условия $X>4$ равносильно условию $X\leqslant4$.$$\neg\bigl((X>3)\to(X>4)\bigr)\equiv (X>3)\land(X\leqslant4)$$

Если $x \notin B$, то условие $x \in B$ ложно, поэтому импликация истинна автоматически. Проверять нужно только значения $x$ из отрезка $B$.

Чтобы выражение могло быть ложным, должно выполняться $\mathrm{ДЕЛ}(x,16)$, а также не выполняться $\mathrm{ДЕЛ}(x,A)$. Следовательно, найдём кратные $16$ на отрезке $[70;90]$.$$80 \text{ — единственное число на } [70;90], \text{ кратное } 16$$

Если $x \notin B$, то условие $x \in B$ ложно, поэтому импликация истинна автоматически.

При $x \in B$ импликация может быть ложной только тогда, когда $x$ делится на $15$. В отрезке $[65;85]$ единственное такое число — $75$.

Проверим значение $X = 2$. Условия $X > 2$ и $X < 2$ при этом ложны.$$(2 > 2) = 0,\quad (2 < 2) = 0$$

Дизъюнкция двух ложных высказываний ложна.$$(X > 2) \lor (X < 2) = 0$$

Чтобы дизъюнкция могла быть ложной, должны одновременно быть ложными второе и третье высказывания:$$\neg(x<y) \land \neg(9<x) \Longleftrightarrow x\geqslant y \land x\leqslant 9$$

При неотрицательных $x$ и $y$ в этой области максимальное значение произведения достигается при $x=y=9$:$$x\cdot y\leqslant 9\cdot 9=81$$

Применим закон де Моргана к отрицанию дизъюнкции:$$\neg(\neg A \lor B) = \neg\neg A \land \neg B$$

Устраним двойное отрицание:$$\neg\neg A \land \neg B = A \land \neg B$$