Решение: Делимость числа в системе счисления
Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 15: $99658x29_{15} + 102x023_{15}$. В записи чисел переменной $x$ обозначена неизвестная цифра из алфавита 15-ричной системы счисления. Определите наибольшее значение $x$, при котором значение выражения кратно 14. Для найденного значения $x$ вычислите частное от деления значения выражения на 14 и укажите его в десятичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.
Решение по шагам
4 шагаПоскольку $15 \equiv 1 \pmod{14}$, каждая степень основания 15 сравнима с единицей по модулю 14. Поэтому остаток числа равен сумме его цифр.
$$99658x29_{15}+102x023_{15} \equiv (48+x)+(8+x)=56+2x \pmod{14}$$Для кратности выражения 14 необходимо, чтобы $56+2x$ делилось на 14. Следовательно, $2x$ делится на 14, то есть $x$ кратно 7. Допустимые значения: $0$, $7$, $14$; наибольшее значение — $x=14$.
Переведём выражение в десятичную систему при $x=14$:
$$99658E29_{15}+102E023_{15}=165662872$$Вычислим частное от деления на 14:
$$\frac{165662872}{14}=118330623$$Где здесь ошибаются
Забывают, что цифра $x$ может принимать значение 14, обозначаемое в 15-ричной системе буквой E.
Используют сумму цифр без обоснования сравнения $15$ и $1$ по модулю $14$.
Находят значение $x$, но не вычисляют частное от деления выражения на 14.