Решения заданий ФИПИ ОГЭ по математике: «Треугольники» — с ответами

Радиус описанной окружности

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $45^\circ$, $AB = 8\sqrt{2}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

1. 1
   Сторона $AB$ лежит напротив угла $C$. Применим теорему синусов в форме связи стороны с радиусом описанной окружности.$$AB = 2R\sin C$$
2. 2
   Подставим известные значения.$$8\sqrt{2} = 2R\sin 45^\circ = 2R\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = R\sqrt{2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Радиус описанной окружности

В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 20$, $BC = 21$, угол $C$ равен $90^\circ$. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой.$$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2}$$
2. 2
   Найдём длину гипотенузы:$$AB = \sqrt{20^2 + 21^2} = \sqrt{400 + 441} = \sqrt{841} = 29$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Радиус описанной окружности

В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 8$, $BC = 15$, угол $C$ равен $90^\circ$. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой.$$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2}$$
2. 2
   Найдём длину гипотенузы:$$AB = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{289} = 17$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Радиус вписанной окружности

Сторона равностороннего треугольника равна $20\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

1. 1
   Для равностороннего треугольника радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:$$r=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$$
2. 2
   Подставим длину стороны $a=20\sqrt{3}$ и упростим выражение:$$r=\dfrac{20\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{6}=\dfrac{20\cdot 3}{6}=10$$

Радиус описанной окружности

Сторона равностороннего треугольника равна $4\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

1. 1
   Для равностороннего треугольника радиус описанной окружности выражается через сторону формулой:$$R = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$$
2. 2
   Подставим значение стороны треугольника:$$R = \dfrac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4$$

Радиус описанной окружности

В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 40$, $BC = 30$, угол $C$ равен $90^\circ$. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

1. 1
   Так как угол $C$ равен $90^\circ$, треугольник $ABC$ прямоугольный, а сторона $AB$ является гипотенузой.$$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2}$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём длину гипотенузы.$$AB = \sqrt{40^2 + 30^2} = \sqrt{2500} = 50$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Средняя линия треугольника

Точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$, сторона $AB$ равна 20, сторона $BC$ равна 58, сторона $AC$ равна 64. Найдите $MN$.

1. 1
   Так как точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $BC$, отрезок $MN$ является средней линией треугольника $ABC$.$$MN \parallel AC$$
2. 2
   Средняя линия равна половине третьей стороны треугольника.$$MN = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{64}{2} = 32$$

Сторона равностороннего треугольника

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен $8\sqrt{3}$. Найдите длину стороны этого треугольника.

1. 1
   Используем формулу радиуса вписанной окружности в равносторонний треугольник.$$r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$$
2. 2
   Выразим длину стороны треугольника:$$a = \dfrac{6r}{\sqrt{3}} = 2r\sqrt{3}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Сторона равностороннего треугольника

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен $8\sqrt{3}$. Найдите длину стороны этого треугольника.

1. 1
   Для равностороннего треугольника радиус описанной окружности выражается формулой:$$R = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$$
2. 2
   Выразим длину стороны через радиус:$$a = R\sqrt{3}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Радиус описанной окружности

В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 6$, $BC = 8$, угол $C$ равен $90^\circ$. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой.$$AB^2 = AC^2 + BC^2$$
2. 2
   Найдём длину гипотенузы по теореме Пифагора.$$AB = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Радиус описанной окружности

Сторона равностороннего треугольника равна $2\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

1. 1
   Для равностороннего треугольника радиус описанной окружности выражается через сторону формулой:$$R = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$$
2. 2
   Подставим значение стороны треугольника:$$R = \dfrac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2$$

Сторона равностороннего треугольника

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен $7\sqrt{3}$. Найдите длину стороны этого треугольника.

1. 1
   Для равностороннего треугольника радиус описанной окружности выражается формулой:$$R = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$$
2. 2
   Выразим длину стороны треугольника и подставим значение радиуса:$$a = R\sqrt{3} = 7\sqrt{3}\cdot\sqrt{3} = 21$$

Радиус описанной окружности

Сторона равностороннего треугольника равна $14\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

1. 1
   Для равностороннего треугольника радиус описанной окружности вычисляется по формуле:$$R = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$$
2. 2
   Подставим длину стороны треугольника:$$R = \dfrac{14\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 14$$

Радиус описанной окружности

В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 30$, $BC = 16$, угол $C$ равен $90^\circ$. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

1. 1
   Треугольник $ABC$ прямоугольный, так как угол $C$ равен $90^\circ$. По теореме Пифагора найдём гипотенузу $AB$.$$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{30^2 + 16^2} = \sqrt{1156} = 34$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен половине гипотенузы.$$R = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{34}{2} = 17$$

Радиус вписанной окружности

Сторона равностороннего треугольника равна $16\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

1. 1
   Для равностороннего треугольника радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:$$r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$$
2. 2
   Подставим значение стороны треугольника:$$r = \dfrac{16\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{6} = \dfrac{16\cdot 3}{6} = 8$$

Радиус вписанной окружности

Сторона равностороннего треугольника равна $14\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

1. 1
   Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной $a$, вычисляется по формуле:$$r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$$
2. 2
   Подставим значение стороны треугольника:$$r = \dfrac{14\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{6} = \dfrac{14\cdot 3}{6} = 7$$

Радиус вписанной окружности

Сторона равностороннего треугольника равна $8\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

1. 1
   Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника вычисляется по формуле:$$r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$$
2. 2
   Подставим длину стороны треугольника:$$r = \dfrac{8\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{6} = \dfrac{24}{6} = 4$$

Сторона треугольника по радиусу

Углы $B$ и $C$ треугольника $ABC$ равны соответственно $71^\circ$ и $79^\circ$. Найдите $BC$, если радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, равен $8$.

1. 1
   Найдём третий угол треугольника:$$A=180^\circ-B-C=180^\circ-71^\circ-79^\circ=30^\circ$$
2. 2
   Сторона $BC$ лежит напротив угла $A$. По теореме синусов она равна произведению диаметра описанной окружности на синус угла $A$:$$BC=2R\sin A$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Радиус вписанной окружности

Сторона равностороннего треугольника равна $2\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

1. 1
   Для равностороннего треугольника радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:$$r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$$
2. 2
   Подставим длину стороны треугольника:$$r = \dfrac{2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{6} = \dfrac{6}{6} = 1$$

Сторона равностороннего треугольника

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен $9\sqrt{3}$. Найдите длину стороны этого треугольника.

1. 1
   Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника выражается через его сторону формулой:$$r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$$
2. 2
   Выразим длину стороны:$$a = \dfrac{6r}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}r$$

Ещё 1 шаг — в полном решении