ФИПИ тапсырмаларының шешімдері ОГЭ по математика: «Үшбұрыштар» — жауаптарымен

Длина медианы треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 32$, $BM$ — медиана, $BM = 23$. Найдите $AM$.

1. 1
   Медиана $BM$ делит сторону $AC$ пополам.$$AM = MC = \dfrac{AC}{2}$$
2. 2
   Подставим известную длину стороны $AC$.$$AM = \dfrac{32}{2} = 16$$

Сторона равностороннего треугольника

Биссектриса равностороннего треугольника равна $11\sqrt{3}$. Найдите сторону этого треугольника.

1. 1
   В равностороннем треугольнике биссектриса является также высотой.$$h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$$
2. 2
   Подставим известную длину биссектрисы и выразим сторону треугольника.$$a = \dfrac{2h}{\sqrt{3}} = \dfrac{2 \cdot 11\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 22$$

Гипотенуза прямоугольного треугольника

Катеты прямоугольного треугольника равны 7 и 24. Найдите гипотенузу этого треугольника.

1. 1
   По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.$$c^2 = 7^2 + 24^2$$
2. 2
   Вычислим длину гипотенузы:$$c = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$$

Гипотенуза прямоугольного треугольника

Катеты прямоугольного треугольника равны 12 и 5. Найдите гипотенузу этого треугольника.

1. 1
   Обозначим гипотенузу через $c$. По теореме Пифагора:$$c^2 = 12^2 + 5^2$$
2. 2
   Находим значение гипотенузы:$$c = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$$

Внешний угол треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $177^\circ$. Найдите внешний угол при вершине $C$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Внутренний и внешний углы при вершине $C$ — смежные, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$$\alpha_{\text{внешн.}} + 177^\circ = 180^\circ$$
2. 2
   Находим внешний угол:$$\alpha_{\text{внешн.}} = 180^\circ - 177^\circ = 3^\circ$$

Угол при биссектрисе

В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle BAC = 64^\circ$, $AD$ — биссектриса. Найдите угол $BAD$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как $AD$ — биссектриса угла $BAC$, она делит этот угол пополам.$$\angle BAD = \frac{1}{2}\angle BAC$$
2. 2
   Подставим известную величину угла:$$\angle BAD = \frac{64^\circ}{2} = 32^\circ$$

Сторона равностороннего треугольника

Биссектриса равностороннего треугольника равна $13\sqrt{3}$. Найдите сторону этого треугольника.

1. 1
   Биссектриса равностороннего треугольника является его высотой.$$h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$$
2. 2
   Подставим известную длину биссектрисы и найдём сторону треугольника.$$13\sqrt{3} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Угол равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC$, $\angle ABC = 126^\circ$. Найдите угол $BCA$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Поскольку $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный, поэтому углы при основании равны.$$\angle BAC = \angle BCA$$
2. 2
   Используем сумму углов треугольника и обозначим каждый угол при основании через $x$.$$x + x + 126^\circ = 180^\circ$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Средняя желі треугольника

Точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$. Сторона $AB$ равна 48, сторона $BC$ равна 57, сторона $AC$ равна 72. Найдите $MN$.

1. 1
   Точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $BC$, поэтому отрезок $MN$ является средней линией треугольника $ABC$.$$MN \parallel AC$$
2. 2
   Средняя желі треугольника равна половине третьей стороны.$$MN = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{72}{2} = 36$$

Косинус угла прямоугольного треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 30$, $AB = 40$. Найдите $\cos B$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой, а $BC$ — катетом, прилежащим к углу $B$.$$AB = 40,\quad BC = 30$$
2. 2
   Используем определение косинуса острого угла прямоугольного треугольника.$$\cos B = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{30}{40} = \dfrac{3}{4} = 0{,}75$$

Острые углы треугольника

Один из острых углов прямоугольного треугольника равен $18^\circ$. Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   В прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов равна $90^\circ$.$$\alpha + \beta = 90^\circ$$
2. 2
   Находим второй острый угол:$$\beta = 90^\circ - 18^\circ = 72^\circ$$

Средняя желі треугольника

Точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$, сторона $AB$ равна 95, сторона $BC$ равна 80, сторона $AC$ равна 128. Найдите $MN$.

1. 1
   Так как точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $BC$, отрезок $MN$ является средней линией треугольника $ABC$.$$MN \parallel AC$$
2. 2
   Средняя желі треугольника равна половине третьей стороны.$$MN = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{128}{2} = 64$$

Угол в треугольнике

В треугольнике проведена биссектриса. Найдите градусную меру угла, если даны два значения углов.

1. 1
   Биссектриса делит один из углов треугольника на два равных угла.$$\angle 1 = \angle 2$$
2. 2
   Для нахождения искомого угла также необходимо использовать равенство суммы углов треугольника $180^\circ$. Однако числовые значения углов в исходных данных отсутствуют.$$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$$

Катет прямоугольного треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\cos B = \dfrac{7}{9}$, $AB = 54$. Найдите $BC$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Для угла $B$ прилежащий катет — это $BC$.$$\cos B = \dfrac{BC}{AB}$$
2. 2
   Подставим известные значения и найдём длину катета.$$BC = AB \cdot \cos B = 54 \cdot \dfrac{7}{9} = 42$$

Катет прямоугольного треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\tg B = \dfrac{7}{4}$, $BC = 36$. Найдите $AC$.

1. 1
   В прямоугольном треугольнике тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему.$$\tg B = \dfrac{AC}{BC}$$
2. 2
   Подставим известные значения и найдём длину катета $AC$.$$\dfrac{7}{4} = \dfrac{AC}{36},\quad AC = 36 \cdot \dfrac{7}{4} = 63$$

Угол биссектрисы треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle BAC = 62^\circ$, $AD$ — биссектриса. Найдите угол $BAD$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как $AD$ — биссектриса угла $BAC$, она делит его пополам.$$\angle BAD = \frac{1}{2}\angle BAC$$
2. 2
   Подставим известную величину угла $BAC$:$$\angle BAD = \frac{62^\circ}{2} = 31^\circ$$

Угол при биссектрисе

В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle BAC = 82^\circ$, $AD$ — биссектриса. Найдите угол $BAD$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как $AD$ — биссектриса угла $BAC$, она делит этот угол на два равных угла.$$\angle BAD = \frac{1}{2}\angle BAC$$
2. 2
   Подставим известную величину угла:$$\angle BAD = \frac{82^\circ}{2} = 41^\circ$$

Средняя желі треугольника

Точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$, сторона $AB$ равна 66, сторона $BC$ равна 37, сторона $AC$ равна 74. Найдите $MN$.

1. 1
   Точки $M$ и $N$ — середины двух сторон треугольника, поэтому отрезок $MN$ является его средней линией.$$MN \parallel AC$$
2. 2
   Средняя желі треугольника равна половине третьей стороны.$$MN = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{74}{2} = 37$$

Другой острый угол треугольника

Один из острых углов прямоугольного треугольника равен $63^\circ$. Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   В прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов равна $90^\circ$.$$\alpha + \beta = 90^\circ$$
2. 2
   Находим второй острый угол:$$\beta = 90^\circ - 63^\circ = 27^\circ$$

Тангенс острого угла

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 5$, $AC = 2$. Найдите $\tg B$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, катеты треугольника — $AC$ и $BC$.
2. 2
   Для угла $B$ противолежащий катет — $AC$, а прилежащий катет — $BC$.$$\tg B = \dfrac{AC}{BC}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде