Базовая математика ЕГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

В функции $y = kx + b$ угловой коэффициент $k$ определяет наклон прямой.

По графику А определяем положительный умеренный наклон, поэтому ему соответствует $k = 0{,}5$ — номер 3.

У параболы $y=ax^2+bx+c$ знак коэффициента $a$ определяют по направлению ветвей: вверх — $a>0$, вниз — $a<0$.

Коэффициент $c$ — это значение функции при $x=0$, то есть ордината точки пересечения графика с осью $Oy$.$$c=y(0)$$

Функция $y = 8x + 10$ — линейная, её угловой коэффициент равен $8 > 0$, поэтому она возрастающая.$$А \to 4$$

В функции $y = x^2 - 12x + 5$ коэффициент при $x^2$ положительный: $a = 1 > 0$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому функция имеет точку минимума.$$Б \to 3$$

На интервале А (60–120 с) график содержит участок, на котором скорость равна нулю в течение 15 секунд. Значит, батискаф оставался на одной глубине.

На интервале Б (120–180 с) скорость на всём интервале не является возрастающей: график сначала поднимается, затем опускается и снова изменяется.

На интервале $(a;b)$ график функции убывает, поэтому значение производной функции отрицательно.$$f'(x)<0$$

На интервале $(b;c)$ график находится ниже оси $Ox$, поэтому значение функции отрицательно.$$f(x)<0$$

Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику в этой точке.$$f'(x_0)=k$$

В точке $A$ касательная имеет положительный и наиболее крутой наклон среди возрастающих касательных, поэтому $f'(A)=1{,}6$.

Для функции А найдём координату вершины параболы:$$x_0=-\frac{3}{2\cdot(-1)}=\frac{3}{2}$$

Ветви параболы направлены вниз, поэтому в вершине достигается максимум. Его значение отрицательно:$$y\left(\frac{3}{2}\right)=-\left(\frac{3}{2}\right)^2+3\cdot\frac{3}{2}-8=-\frac{23}{4}<0$$

Функция $y = 8x - 10$ — линейная, её угловой коэффициент равен $8 > 0$, поэтому функция возрастает.$$А \rightarrow 3$$

В функции $y = x^2 + 12x + 5$ коэффициент при $x^2$ положительный, поэтому парабола направлена вверх и имеет точку минимума.$$Б \rightarrow 2$$

На интервале А от 0 до 60 с график скорости сначала возрастает, а затем остаётся постоянным. Скорость не уменьшается, поэтому погружение происходило без замедления.

На интервале Б от 60 до 120 с график совпадает с осью времени в течение 15 секунд. Это означает, что батискаф остановился ровно на 15 секунд.

На интервале 0–1 мин. график находится не выше отметки 100 ударов в минуту.

На интервале 1–2 мин. график поднимается наиболее резко, значит происходит наибольший рост частоты пульса.

График А — парабола с ветвями вверх. Её производная является возрастающей линейной функцией, поэтому графику А соответствует график 4.$$f'(x)=0 \text{ в вершине параболы}$$

График Б также имеет ветви вверх, но вершина расположена правее. Его производная — возрастающая прямая с другим наклоном; это график 1.$$f'(x)<0 \text{ слева от вершины},\quad f'(x)>0 \text{ справа от вершины}$$

В функции А коэффициент при $x$ положительный, поэтому линейная функция возрастает.$$5 > 0$$

Функция Б является параболой с отрицательным коэффициентом при $x^2$, поэтому её ветви направлены вниз и она имеет точку максимума.$$-1 < 0$$

Для функции $y = kx + b$ знак углового коэффициента определяется направлением графика: при движении слева направо возрастающая прямая имеет $k>0$, убывающая — $k<0$.$$y = kx + b$$

Графики А и Б возрастают, поэтому им соответствуют положительные коэффициенты $0{,}75$ и $2{,}5$. График Б круче графика А, значит ему соответствует большее значение $2{,}5$.

На интервале 0–4 мин график находится не выше уровня 20 км/ч, поэтому скорость автобуса была не больше 20 км/ч.$$А \to 2$$

На интервале 4–8 мин график совпадает с осью времени на участке от 6 до 7 минут. Это означает остановку длительностью 1 минута.$$Б \to 1$$

На интервале $(a;b)$ график функции расположен выше оси $Ox$, поэтому значение функции положительно.$$f(x)>0$$

На интервале $(b;c)$ график убывает, поэтому производная функции отрицательна.$$f'(x)<0$$

В точке $A$ значение функции равно нулю, а график убывает, поэтому производная отрицательна. Точке $A$ соответствует характеристика 3.$$f(A)=0,\quad f'(A)<0$$

В точке $B$ график имеет минимум ниже оси $Ox$. Значение функции отрицательно, а производная в точке экстремума равна нулю. Точке $B$ соответствует характеристика 2.$$f(B)<0,\quad f'(B)=0$$

У графика А функция сначала убывает, затем возрастает; в точке минимума её производная равна нулю. Поэтому производная — возрастающая прямая, пересекающая ось абсцисс справа от начала координат.$$f'(x)<0\text{ слева от минимума},\quad f'(x)>0\text{ справа}$$

Графику А соответствует график производной 2.

Для линейной функции $y = kx + b$ производная в любой точке равна угловому коэффициенту прямой:$$y' = k$$

На графике А прямая убывает с угловым коэффициентом $-0{,}6$.

Для каждой функции определяем её поведение на отрезке $[4; 10]$: возрастание, убывание или наличие точки экстремума.

Функции сопоставляются с характеристиками следующим образом: А имеет точку минимума, Б возрастает, В убывает, Г имеет точку максимума.

На графике А функция на всём отрезке $[-1; 1]$ расположена выше оси $x$, поэтому принимает положительные значения.

На графике Б функция на всём отрезке $[-1; 1]$ расположена ниже оси $x$, поэтому принимает отрицательные значения.