ФИПИ тапсырмаларының шешімдері ЕГЭ по базалық математикаға: «Стереометрия» — жауаптарымен

Отношение объёмов шаров

Даны два шара с радиусами 9 и 1. Во сколько раз объём большего шара больше объёма меньшего?

1. 1
   Объём шара пропорционален кубу его радиуса.$$V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$$
2. 2
   Находим отношение объёмов шаров:$$\dfrac{V_1}{V_2} = \left(\dfrac{9}{1}\right)^3 = 9^3 = 729$$

Объём треугольной пирамиды

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 2, а высота пирамиды равна $6\sqrt{3}$. Найдите объём этой пирамиды.

1. 1
   Найдём площадь основания — равностороннего треугольника со стороной 2.$$S_{\text{осн}}=\frac{2^2\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}$$
2. 2
   Используем формулу объёма пирамиды и подставим высоту $6\sqrt{3}$.$$V=\frac{1}{3}S_{\text{осн}}h=\frac{1}{3}\cdot\sqrt{3}\cdot6\sqrt{3}=6$$

Площадь поверхности параллелепипеда

Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 7 и 4, а объём параллелепипеда равен 140. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.

1. 1
   Обозначим третье ребро через $c$. По формуле объёма прямоугольного параллелепипеда:$$c = \dfrac{V}{ab} = \dfrac{140}{7 \cdot 4} = 5$$
2. 2
   Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна удвоенной сумме площадей его граней:$$S = 2(ab + bc + ac)$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Площадь сечения цилиндра

Радиус основания цилиндра равен 17, а его образующая равна 10. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от неё на расстояние, равное 8. Найдите площадь этого сечения.

1. 1
   Сечение, параллельное оси цилиндра, является прямоугольником. Его высота равна образующей цилиндра, то есть 10, а ширина равна длине хорды основания.$$S = l \cdot 10$$
2. 2
   Половина хорды, радиус основания и расстояние от оси до сечения образуют прямоугольный треугольник.$$\left(\dfrac{l}{2}\right)^2 = 17^2 - 8^2 = 225$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Объём шаров по радиусам

Даны два шара с радиусами 6 и 3. Во сколько раз объём большего шара больше объёма меньшего шара?

1. 1
   Объём шара пропорционален кубу его радиуса.$$V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$$
2. 2
   Найдём отношение объёма большего шара к объёму меньшего шара:$$\dfrac{V_б}{V_м} = \left(\dfrac{6}{3}\right)^3 = 2^3 = 8$$

Объёмы двух цилиндров

Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 9 и 3, а второго — 3 и 9. Во сколько раз объём первого цилиндра больше объёма второго?

1. 1
   Объём цилиндра вычисляется по формуле:$$V = \pi r^2 h$$
2. 2
   Найдём отношение объёма первого цилиндра к объёму второго:$$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\pi \cdot 9^2 \cdot 3}{\pi \cdot 3^2 \cdot 9} = \frac{243\pi}{81\pi} = 3$$

Площадь сечения цилиндра

Радиус основания цилиндра равен 25, а его образующая равна 12. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от неё на расстояние, равное 15. Найдите площадь этого сечения.

1. 1
   Сечение цилиндра плоскостью, параллельной оси, является прямоугольником. Одна его сторона равна образующей цилиндра, то есть 12.
2. 2
   Другая сторона является хордой основания. Половина хорды, радиус и расстояние от центра до хорды образуют прямоугольный треугольник.$$\frac{l}{2}=\sqrt{25^2-15^2}=20$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Радиус основания конуса

Объём конуса равен $60\pi$, а его высота равна 5. Найдите радиус основания конуса.

1. 1
   Объём конуса вычисляется по формуле:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$$
2. 2
   Подставим известные значения объёма и высоты:$$60\pi = \dfrac{1}{3}\pi r^2 \cdot 5$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Объём прямой призмы

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 4, а гипотенуза равна $\sqrt{65}$. Найдите объём призмы, если её высота равна 7.

1. 1
   По теореме Пифагора найдём второй катет прямоугольного треугольника:$$b^2 = (\sqrt{65})^2 - 4^2 = 65 - 16 = 49,\quad b = 7$$
2. 2
   Вычислим площадь основания призмы:$$S_{\text{осн}} = \frac{1}{2}\cdot4\cdot7 = 14$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Высота конуса по объёму

Объём конуса равен $9\pi$, а радиус его основания равен $3$. Найдите высоту конуса.

1. 1
   Объём конуса вычисляется по формуле:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
2. 2
   Подставим известные значения объёма и радиуса:$$9\pi = \dfrac{1}{3}\pi\cdot 3^2\cdot h$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Сравнение объёмов цилиндров

Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 4 и 1, а второго — 6 и 4. Во сколько раз объём второго цилиндра больше объёма первого цилиндра?

1. 1
   Объём цилиндра вычисляется по формуле:$$V = \pi r^2 h$$
2. 2
   Составим отношение объёма второго цилиндра к объёму первого:$$\frac{V_2}{V_1} = \frac{\pi \cdot 6^2 \cdot 4}{\pi \cdot 4^2 \cdot 1}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Объём прямой призмы

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, катеты которого равны 3 и 16. Найдите объём призмы, если её высота равна 3.

1. 1
   Площадь основания призмы — площадь прямоугольного треугольника с катетами 3 и 16.$$S_{\text{осн}} = \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 16 = 24$$
2. 2
   Объём прямой призмы равен произведению площади основания на высоту.$$V = S_{\text{осн}} \cdot h = 24 \cdot 3 = 72$$

Объём прямоугольного параллелепипеда

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = abc$, где $a$, $b$ и $c$ — длины трёх его рёбер, выходящих из одной вершины. Пользуясь этой формулой, найдите $a$, если $V = 27$…

1. 1
   Из формулы $V = abc$ выразим длину ребра $a$:$$a = \dfrac{V}{bc}$$
2. 2
   Подставим известные значения:$$a = \dfrac{27}{3 \cdot 4{,}5} = \dfrac{27}{13{,}5} = 2$$

Отношение объёмов конусов

Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно 3 и 4, а второго — 2 и 9. Во сколько раз объём второго конуса больше объёма первого?

1. 1
   Объём конуса вычисляется по формуле:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
2. 2
   Найдём отношение объёма второго конуса к объёму первого. Общий множитель $\dfrac{1}{3}\pi$ сократится:$$\dfrac{V_2}{V_1} = \dfrac{r_2^2h_2}{r_1^2h_1}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Площадь сечения цилиндра

Радиус основания цилиндра равен 15, а его образующая равна 14. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от неё на расстояние, равное 12. Найдите площадь этого сечения.

1. 1
   Сечение, параллельное оси цилиндра, является прямоугольником. Его высота равна образующей цилиндра, то есть $14$.
2. 2
   Ширина прямоугольника — длина хорды основания цилиндра, находящейся на расстоянии $12$ от центра круга радиуса $15$.$$\frac{a}{2}=\sqrt{15^2-12^2}=\sqrt{225-144}=9$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Площадь боковой поверхности конуса

Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 2 и 3, а второго — 4 и 6. Во сколько раз площадь боковой поверхности второго конуса больше площади боковой…

1. 1
   Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:$$S_{\text{бок}} = \pi r l$$
2. 2
   Составим отношение площади боковой поверхности второго конуса к площади первого:$$\frac{S_2}{S_1} = \frac{\pi \cdot 4 \cdot 6}{\pi \cdot 2 \cdot 3}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Площадь поверхности параллелепипеда

Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 1 и 2, а объём параллелепипеда равен 6. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.

1. 1
   Обозначим третье ребро через $c$. По формуле объёма:$$1 \cdot 2 \cdot c = 6$$
2. 2
   Находим третье ребро:$$c = \frac{6}{1 \cdot 2} = 3$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Объём прямоугольного параллелепипеда

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ рёбра $DA$, $DC$ и диагональ $DA_1$ боковой грани равны соответственно $2$, $6$ и $2\sqrt{10}$. Найдите объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

1. 1
   Рассмотрим прямоугольный треугольник $DAA_1$ на боковой грани. По теореме Пифагора найдём третье ребро параллелепипеда:$$AA_1 = \sqrt{DA_1^2 - DA^2} = \sqrt{(2\sqrt{10})^2 - 2^2} = \sqrt{40 - 4} = 6$$
2. 2
   Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений:$$V = DA \cdot DC \cdot AA_1 = 2 \cdot 6 \cdot 6 = 72$$

Объём правильной призмы

Сторона основания правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равна $1$, а высота этой призмы равна $5\sqrt{3}$. Найдите объём призмы $ABCA_1B_1C_1$.

1. 1
   Основание призмы — равносторонний треугольник со стороной $1$. Его площадь равна$$S_{\text{осн}}=\frac{1^2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{4}$$
2. 2
   Объём призмы равен произведению площади основания на высоту:$$V=S_{\text{осн}}h=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 5\sqrt{3}=\frac{15}{4}$$

Площадь поверхности параллелепипеда

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $S = 2(ab + ac + bc)$. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами 3, 5 и 8.

1. 1
   Подставим значения рёбер в формулу площади поверхности:$$S = 2(3 \cdot 5 + 3 \cdot 8 + 5 \cdot 8)$$
2. 2
   Вычислим сумму площадей трёх граней и умножим её на 2:$$S = 2(15 + 24 + 40) = 2 \cdot 79 = 158$$