Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Логика и таблицы» — с ответами

Логические утверждения о рыбках

В зоомагазине в один из аквариумов запустили 30 рыбок. Длина каждой рыбки больше 2 см, но не превышает 8 см. Выберите все утверждения, которые верны при указанных условиях.

1. 1
   Пусть $l$ — длина рыбки. По условию для каждой рыбки выполняется $2 < l \leq 8$.
2. 2
   Для любых двух рыбок разность длин не может быть больше разности максимально возможной и минимальной границ: $8 - 2 = 6$ см. Первое утверждение верно.$$8 - 2 = 6$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Логика множеств детей

Детям, отдыхающим в лагере, можно купаться на речке или плавать в бассейне. Утром некоторые дети ходили купаться на речку. Днём некоторые дети пойдут плавать в бассейн, причём среди них не будет…

1. 1
   По условию среди детей, которые днём пойдут в бассейн, нет ни одного ребёнка, ходившего утром на речку.
2. 2
   Значит, каждый ребёнок, ходивший утром на речку, точно не пойдёт плавать в бассейн. Поэтому утверждение 4 верно.

Ещё 2 шага — в полном решении

Выращивание винограда и груш

Среди дачников в посёлке есть те, кто выращивает виноград, и есть те, кто выращивает груши. А также есть те, кто не выращивает ни виноград, ни груши. Некоторые дачники в этом посёлке, выращивающие…

1. 1
   Из условия следует, что в посёлке есть дачники, выращивающие виноград. Поэтому утверждение 2 верно.
2. 2
   Также сказано, что некоторые дачники, выращивающие виноград, выращивают и груши. Значит, существует хотя бы один дачник, выращивающий обе культуры, поэтому утверждение 3 верно.

Ещё 2 шага — в полном решении

Логические следствия условия

Когда какая-нибудь кошка идёт по забору, собака Жучка, живущая в будке возле дома, обязательно лает. Выберите все утверждения, которые верны при приведённом условии.

1. 1
   Пусть событие «кошка идёт по забору» обозначено как A, а событие «Жучка лает» — как B. Условие задачи имеет вид: если A, то B.$$A \Rightarrow B$$
2. 2
   Контрапозиция этого утверждения верна: если Жучка не лает, то кошка по забору не идёт. Поэтому утверждение 2 верно.

Ещё 3 шага — в полном решении

Логика посещения бассейна

Детям, отдыхающим в лагере, можно купаться на речке или плавать в бассейне. Утром некоторые дети ходили купаться на речку. Днём некоторые дети пойдут плавать в бассейн, причём среди них не будет…

1. 1
   По условию среди детей, которые пойдут плавать в бассейн, нет ни одного ребёнка, ходившего утром на речку. Следовательно, эти две группы не пересекаются.$$A \cap B = \varnothing$$
2. 2
   Утверждение 1 верно: не существует ребёнка, который входил бы одновременно в обе группы.

Ещё 2 шага — в полном решении

Сравнение цен покупок

Школа приобрела стол, доску, магнитофон и принтер. Известно, что принтер дороже магнитофона, а доска дешевле магнитофона и дешевле стола. Выберите все утверждения, которые верны при указанных…

1. 1
   Обозначим цены доски, магнитофона, принтера и стола соответственно через $d$, $m$, $p$ и $s$. Из условия получаем:$$p > m,\quad d < m,\quad d < s$$
2. 2
   Так как $d < m$ и $m < p$, то доска дешевле принтера:$$d < m < p$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Логические утверждения о поездке

Игорь Витальевич часто ездит на работу на велосипеде. Он не ездит на велосипеде в те дни, когда идёт дождь или снег, а также по четвергам, когда надевает парадный костюм.

1. 1
   Если Игорь Витальевич приехал на работу на велосипеде, значит, дождя не было: в дождливые дни он не ездит на велосипеде. Поэтому утверждение 1 верно.
2. 2
   Ясная погода сама по себе не гарантирует поездку на велосипеде: это может быть четверг, когда Игорь Витальевич надевает парадный костюм. Поэтому утверждение 2 неверно.

Ещё 2 шага — в полном решении

Совместная работа мастеров

Один мастер может выполнить заказ за 30 часов, а другой — за 15 часов. За сколько часов выполнят этот заказ оба мастера, работая вместе?

1. 1
   Первый мастер выполняет за один час $\dfrac{1}{30}$ заказа, а второй — $\dfrac{1}{15}$ заказа.$$\dfrac{1}{30}+\dfrac{1}{15}=\dfrac{1}{30}+\dfrac{2}{30}=\dfrac{1}{10}$$
2. 2
   Вместе мастера выполняют $\dfrac{1}{10}$ заказа за час, поэтому весь заказ они выполнят за 10 часов.$$t=\dfrac{1}{1/10}=10$$

Стоимость букетов для учителей

Выпускники 11 «А» покупают букеты цветов для последнего звонка: из 7 роз каждому учителю и из 11 роз классному руководителю и директору. Они собираются подарить букеты 15 учителям (включая директора…

1. 1
   Из 15 учителей двое — директор и классный руководитель — получают букеты по 11 роз. Остальным 13 учителям нужны букеты по 7 роз.$$15 - 2 = 13$$
2. 2
   Найдём общее количество роз.$$13 \cdot 7 + 2 \cdot 11 = 91 + 22 = 113$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение рационального выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{1{,}2}{6{,}7 - 7{,}3}$.

1. 1
   Вычислим знаменатель дроби.$$6{,}7 - 7{,}3 = -0{,}6$$
2. 2
   Разделим числитель на полученный знаменатель.$$\dfrac{1{,}2}{-0{,}6} = -2$$

Значение рационального выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{1{,}6}{2{,}6 - 1{,}8}$.

1. 1
   Вычислим разность в знаменателе.$$2{,}6 - 1{,}8 = 0{,}8$$
2. 2
   Разделим числитель на полученный знаменатель.$$\dfrac{1{,}6}{0{,}8} = 2$$

Сопоставление чисел и точек

На координатной прямой отмечены точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Каждой точке соответствует одно из чисел, приведённых в вариантах ответа. Установите соответствие между точками и числами.

1. 1
   Оценим первое выражение:$$\sqrt{3}+\sqrt{5}\approx1{,}73+2{,}24\approx3{,}97$$
2. 2
   Оценим второе выражение:$$\sqrt{3}:\sqrt{5}\approx1{,}73:2{,}24\approx0{,}77$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Выпавшие листы книги

Из книги выпало несколько идущих подряд листов. Номер последней страницы перед выпавшими листами — 276, номер первой страницы после выпавших листов записывается теми же цифрами, но в другом порядке…

1. 1
   Номер первой страницы после выпавших листов должен быть больше 276 и состоять из тех же цифр. Наименьшая подходящая перестановка — 627.
2. 2
   Определим количество выпавших страниц, не включая страницы 276 и 627:$$627 - 276 - 1 = 350$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Итоговая отметка Пети

В конце четверти Петя выписал подряд все свои отметки по одному из предметов, их оказалось 5, и поставил между некоторыми из них знаки умножения. Произведение получившихся чисел оказалось равным…

1. 1
   Разложим произведение на множители:$$3177 = 3 \cdot 1059 = 3 \cdot 3 \cdot 353$$
2. 2
   Так как все отметки являются цифрами от 2 до 5, число $353$ может быть одной группой из трёх последовательных отметок. Поэтому последовательность пяти отметок: $3, 3, 3, 5, 3$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Итоговая отметка Пети

В конце четверти Петя выписал подряд все свои отметки по одному из предметов, их оказалось 5, и поставил между некоторыми из них знаки умножения. Произведение получившихся чисел оказалось равным…

1. 1
   Разложим произведение на множители:$$2330 = 2 \cdot 5 \cdot 233$$
2. 2
   Числа, получившиеся после расстановки знаков умножения, составлены из пяти отметок, каждая из которых является цифрой от 2 до 5. Поэтому множители соответствуют отметкам $2$, $5$ и числу $233$, составленному из трёх отметок.

Ещё 3 шага — в полном решении

Розы в белой вазе

На прилавке цветочного магазина стоят 3 вазы с розами: белая, жёлтая и оранжевая. Слева от жёлтой вазы 22 розы, справа от оранжевой вазы 23 розы. Всего в вазах 35 роз. Сколько роз в белой вазе?

1. 1
   Из условий следует, что белая ваза входит и в число ваз слева от жёлтой, и в число ваз справа от оранжевой.
2. 2
   При сложении 22 и 23 розы розы в белой вазе учитываются дважды, а остальные розы — по одному разу. Поэтому из суммы нужно вычесть общее количество роз.$$22 + 23 - 35 = 10$$

Встреча на обратном пути

Два человека одновременно отправляются из одного дома на прогулку до опушки леса, находящейся в 2,6 км от дома. Один идёт со скоростью 3 км/ч, а другой — со скоростью 4,8 км/ч. Дойдя до опушки…

1. 1
   Найдём время, за которое второй человек дойдёт до опушки:$$t_1 = \dfrac{2{,}6}{4{,}8} = \dfrac{13}{24}\ \text{ч}$$
2. 2
   За это время первый человек пройдёт:$$s_1 = 3 \cdot \dfrac{13}{24} = 1{,}625\ \text{км}$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Стоимость бутылки с квасом

В магазине квас на разлив можно купить в бутылках, причём стоимость кваса в бутылке складывается из стоимости самой бутылки и кваса, налитого в неё. Цена бутылки не зависит от её объёма. Бутылка…

1. 1
   Пусть $b$ — стоимость пустой бутылки, а $q$ — стоимость 1 литра кваса.
2. 2
   По условию составим систему уравнений:$$b + q = 38,\quad b + 2q = 70$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Сплавы и массовая доля меди

Имеется два сплава. Первый сплав содержит 50 % меди, второй — 15 % меди. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 45 % меди. Масса первого сплава равна 30 кг. Найдите массу третьего…

1. 1
   Пусть масса второго сплава равна $x$ кг. Тогда масса третьего сплава равна $(30 + x)$ кг.$$m_3 = 30 + x$$
2. 2
   Масса меди в первом и втором сплавах в сумме равна массе меди в третьем сплаве.$$0{,}5 \cdot 30 + 0{,}15x = 0{,}45(30 + x)$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Встречное движение автомобилей

Из городов A и B, расстояние между которыми равно 270 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля и встретились через 2 часа на расстоянии 160 км от города B. Найдите скорость…

1. 1
   К моменту встречи автомобиль, выехавший из города A, прошёл расстояние от города A до места встречи.$$s_A = 270 - 160 = 110\ \text{км}$$
2. 2
   Найдём скорость автомобиля, разделив пройденное расстояние на время движения.$$v_A = \dfrac{s_A}{t} = \dfrac{110}{2} = 55\ \text{км/ч}$$