Тапсырма 4 ЕГЭ по базалық математикаға: ФИПИ шешімдері қадамдық жауаптарымен

Перевод температуры по шкалам

Перевести температуру из шкалы Фаренгейта в шкалу Цельсия позволяет формула $t_C = \dfrac{5}{9}(t_F - 32)$, где $t_C$ — температура в градусах по шкале Цельсия, $t_F$ — температура в градусах по…

1. 1
   Подставим $t_F = 77$ в формулу перевода температуры:$$t_C = \dfrac{5}{9}(77 - 32)$$
2. 2
   Вычислим значение выражения:$$t_C = \dfrac{5}{9} \cdot 45 = 25$$

Среднее геометрическое чисел

Среднее геометрическое трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $g = \sqrt[3]{abc}$. Вычислите среднее геометрическое чисел 3, 25, 45.

1. 1
   Подставим числа в формулу среднего геометрического:$$g = \sqrt[3]{3 \cdot 25 \cdot 45}$$
2. 2
   Вычислим произведение и извлечём кубический корень:$$g = \sqrt[3]{3375} = 15$$

Среднее квадратичное чисел

Среднее квадратичное трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $q = \sqrt{\dfrac{a^2 + b^2 + c^2}{3}}$. Найдите среднее квадратичное чисел $\sqrt{11}$, $6$ и $14$.

1. 1
   Подставим числа в формулу среднего квадратичного:$$q = \sqrt{\dfrac{(\sqrt{11})^2 + 6^2 + 14^2}{3}}$$
2. 2
   Вычислим значения под корнем:$$q = \sqrt{\dfrac{11 + 36 + 196}{3}} = \sqrt{81}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Нахождение массы тела

Потенциальная энергия тела (в джоулях) в поле тяготения Земли вблизи поверхности вычисляется по формуле $E = mgh$, где $m$ — масса тела (в килограммах), $g$ — ускорение свободного падения (в м/с^2)…

1. 1
   Выразим массу из формулы потенциальной энергии:$$m = \dfrac{E}{gh}$$
2. 2
   Подставим известные значения:$$m = \dfrac{294}{9{,}8 \cdot 5} = \dfrac{294}{49} = 6$$

Энергия заряженного конденсатора

Энергия заряженного конденсатора $W$ (в Дж) вычисляется по формуле $W = \dfrac{q^2}{2C}$, где $C$ — ёмкость конденсатора (в Ф), а $q$ — заряд на одной обкладке конденсатора (в Кл). Найдите $W$ (в…

1. 1
   Подставим в формулу значения $q = 0{,}1$ Кл и $C = 5 \cdot 10^{-4}$ Ф.$$W = \dfrac{(0{,}1)^2}{2 \cdot 5 \cdot 10^{-4}}$$
2. 2
   Вычислим числитель и знаменатель дроби.$$W = \dfrac{0{,}01}{10^{-3}} = 10$$

Теорема синусов

Теорему синусов можно записать в виде $\dfrac{a}{\sin\alpha}=\dfrac{b}{\sin\beta}$, где $a$ и $b$ — две стороны треугольника, а $\alpha$ и $\beta$ — углы треугольника, лежащие против них…

1. 1
   Выразим синус угла $\alpha$ из теоремы синусов.$$\sin\alpha=\frac{a\sin\beta}{b}$$
2. 2
   Подставим известные значения.$$\sin\alpha=\frac{5\cdot\frac{21}{25}}{7}=\frac{105}{175}=\frac{3}{5}=0{,}6$$

Косинус угла треугольника

Теорему косинусов можно записать в виде $\cos \alpha = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$, где $a$, $b$ и $c$ — стороны треугольника, а $\alpha$ — угол между сторонами $a$ и $b$. Пользуясь этой формулой…

1. 1
   Подставим значения $a = 5$, $b = 8$ и $c = 7$ в формулу теоремы косинусов.$$\cos \alpha = \dfrac{5^2 + 8^2 - 7^2}{2 \cdot 5 \cdot 8}$$
2. 2
   Вычислим числитель и знаменатель дроби.$$\cos \alpha = \dfrac{25 + 64 - 49}{80} = \dfrac{40}{80} = 0{,}5$$

Среднее квадратичное чисел

Среднее квадратичное трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $q=\sqrt{\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}}$. Найдите среднее квадратичное чисел $2$, $\sqrt{7}$ и $17$.

1. 1
   Подставим числа в формулу среднего квадратичного:$$q=\sqrt{\dfrac{2^2+(\sqrt{7})^2+17^2}{3}}$$
2. 2
   Вычислим квадраты чисел и упростим выражение:$$q=\sqrt{\dfrac{4+7+289}{3}}=\sqrt{100}=10$$

Площадь треугольника по формуле

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}bc\sin\alpha$, где $b$ и $c$ — длины двух сторон треугольника, $\alpha$ — угол между ними. Пользуясь этой формулой, найдите площадь $S$…

1. 1
   Подставим данные в формулу площади треугольника.$$S = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 9 \cdot \frac{1}{3}$$
2. 2
   Сократим множители и вычислим значение площади.$$S = 8 \cdot 3 = 24$$

Площадь треугольника по радиусу

Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \dfrac{abc}{4R}$, где $a$, $b$ и $c$ — стороны треугольника, а $R$ — радиус окружности, описанной около этого треугольника. Пользуясь этой…

1. 1
   Подставим заданные значения в формулу площади:$$S = \dfrac{11 \cdot 13 \cdot 20}{4 \cdot \frac{65}{6}}$$
2. 2
   Выполним вычисления и сократим дробь:$$S = \dfrac{2860}{\frac{130}{3}} = \dfrac{2860 \cdot 3}{130} = 66$$

Нахождение массы по силе

Второй закон Ньютона можно записать в виде $F = ma$, где $F$ — сила (в ньютонах), действующая на тело, $m$ — его масса (в килограммах), $a$ — ускорение (в м/с^2), с которым движется тело. Найдите…

1. 1
   Выразим массу из формулы $F = ma$.$$m = \dfrac{F}{a}$$
2. 2
   Подставим известные значения силы и ускорения.$$m = \dfrac{153}{17} = 9$$

Площадь трапеции по формуле

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \dfrac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — длины оснований трапеции, $h$ — её высота. Пользуясь этой формулой, найдите площадь $S$, если $a = 5$, $b = 3$ и…

1. 1
   Подставим значения оснований и высоты в формулу площади трапеции.$$S = \dfrac{5+3}{2} \cdot 6$$
2. 2
   Выполним вычисления.$$S = \dfrac{8}{2} \cdot 6 = 4 \cdot 6 = 24$$

Медиана треугольника

Длина медианы $m_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $m_c = \dfrac{\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}}{2}$. Найдите медиану $m_c$, если $a = 4$…

1. 1
   Подставим значения сторон в формулу медианы:$$m_c = \dfrac{\sqrt{2\cdot4^2 + 2\cdot(3\sqrt{2})^2 - 2^2}}{2}$$
2. 2
   Вычислим подкоренное выражение:$$2\cdot4^2 + 2\cdot(3\sqrt{2})^2 - 2^2 = 32 + 36 - 4 = 64$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Нахождение стороны треугольника

Радиус окружности, описанной около треугольника, можно вычислить по формуле $R = \dfrac{a}{2\sin\alpha}$, где $a$ — сторона, а $\alpha$ — противолежащий ей угол треугольника. Пользуясь этой…

1. 1
   Выразим сторону $a$ из формулы $R = \dfrac{a}{2\sin\alpha}$.$$a = 2R\sin\alpha$$
2. 2
   Подставим известные значения.$$a = 2 \cdot 12 \cdot \dfrac{2}{3} = 16$$

Теорема синусов

Теорему синусов можно записать в виде $\dfrac{a}{\sin\alpha}=\dfrac{b}{\sin\beta}$, где $a$ и $b$ — две стороны треугольника, а $\alpha$ и $\beta$ — углы треугольника, лежащие против них…

1. 1
   Из теоремы синусов выразим сторону $a$:$$a=b\cdot\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}$$
2. 2
   Подставим известные значения:$$a=20\cdot\frac{\frac{1}{10}}{\frac{1}{6}}=20\cdot\frac{1}{10}\cdot6=12$$

Ускорение при движении по окружности

Ускорение тела (в $\mathrm{м}/\mathrm{с}^2$) при равномерном движении по окружности можно вычислить по формуле $a = \omega^2 R$, где $\omega$ — угловая скорость вращения (в $\mathrm{с}^{-1}$), а $R$…

1. 1
   Подставим в формулу $a = \omega^2 R$ значения $\omega = 6$ и $R = 5$.$$a = 6^2 \cdot 5$$
2. 2
   Вычислим значение выражения.$$a = 36 \cdot 5 = 180$$

Длина биссектрисы треугольника

Длина биссектрисы $l_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $l_c = \dfrac{1}{a+b}\sqrt{ab\left((a+b)^2-c^2\right)}$. Найдите биссектрису…

1. 1
   Подставим значения $a=11$, $b=22$ и $c=21$ в формулу.$$l_c=\dfrac{1}{11+22}\sqrt{11\cdot22\left((11+22)^2-21^2\right)}$$
2. 2
   Вычислим выражение под корнем.$$11\cdot22\left(33^2-21^2\right)=242\cdot648=156816=396^2$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Нахождение стороны треугольника

Радиус окружности, описанной около треугольника, можно вычислить по формуле $R = \dfrac{a}{2\sin\alpha}$, где $a$ — сторона, $\alpha$ — противолежащий ей угол треугольника. Пользуясь этой формулой…

1. 1
   Выразим сторону $a$ из формулы радиуса описанной окружности.$$a = 2R\sin\alpha$$
2. 2
   Подставим известные значения.$$a = 2 \cdot 15 \cdot \dfrac{4}{5} = 24$$

Длина биссектрисы треугольника

Длина биссектрисы $l_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $l_c = \dfrac{1}{a+b}\sqrt{ab\bigl((a+b)^2-c^2\bigr)}$. Найдите биссектрису $l_c$…

1. 1
   Вычислим сумму и произведение двух сторон:$$a+b=14+21=35,\quad ab=14\cdot21=294$$
2. 2
   Найдём выражение под корнем:$$(a+b)^2-c^2=35^2-25^2=1225-625=600$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Скорость падения камня

Скорость камня (в м/с), падающего с высоты $h$ (в м), в момент удара о землю можно найти по формуле $v = \sqrt{2gh}$. Найдите скорость (в м/с), с которой ударится о землю камень, падающий с высоты…

1. 1
   Подставим в формулу значения ускорения свободного падения и высоты:$$v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \cdot 9{,}8 \cdot 22{,}5}$$
2. 2
   Вычислим подкоренное выражение и извлечём квадратный корень:$$v = \sqrt{441} = 21$$