В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания 80 см, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите объём…
- 1
При полном погружении детали объём вытесненной жидкости равен объёму детали.$$V_{\text{детали}} = S_{\text{осн}} \cdot \Delta h$$
- 2
Основание бака — квадрат со стороной 80 см, поэтому его площадь равна:$$S_{\text{осн}} = 80^2 = 6400\ \text{см}^2$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Плоскость, проходящая через точки $A$, $B$ и $C$ (см. рисунок), разбивает тетраэдр на два многогранника. Сколько граней у получившегося многогранника с большим числом рёбер?
- 1
Плоскость через точки $A$, $B$ и $C$ создаёт треугольное сечение тетраэдра. Этот треугольник становится новой гранью у каждого из двух получившихся многогранников.
- 2
Подсчитаем грани двух частей по рисунку: у одной части 4 грани, а у другой — 5 граней.
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Сторона основания правильной треугольной призмы $ABC A_1B_1C_1$ равна $4$, а высота этой призмы равна $2\sqrt{3}$. Найдите объём призмы $ABC A_1B_1C_1$.
- 1
Основанием призмы является правильный треугольник со стороной $4$.$$S_{\text{осн}} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{4^2\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$$
- 2
Объём призмы равен произведению площади основания на высоту.$$V = S_{\text{осн}}h = 4\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 24$$
В треугольной пирамиде $ABCD$ рёбра $AB$, $AC$ и $AD$ взаимно перпендикулярны. Найдите объём этой пирамиды, если $AB = 2$, $AC = 15$ и $AD = 11$.
- 1
Так как рёбра $AB$, $AC$ и $AD$ взаимно перпендикулярны, объём треугольной пирамиды равен одной шестой произведения их длин.$$V = \dfrac{1}{6}AB \cdot AC \cdot AD$$
- 2
Подставим известные значения длин рёбер.$$V = \dfrac{1}{6} \cdot 2 \cdot 15 \cdot 11 = 55$$
Однородный шар диаметром 4 см весит 448 граммов. Сколько граммов весит шар диаметром 3 см, изготовленный из того же материала?
- 1
Шары изготовлены из одного материала, поэтому их плотности одинаковы, а массы пропорциональны объёмам.$$m \sim V$$
- 2
Объём шара пропорционален кубу диаметра. Поэтому отношение масс равно кубу отношения диаметров:$$\frac{m_2}{m_1}=\left(\frac{d_2}{d_1}\right)^3=\left(\frac{3}{4}\right)^3$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Прямолинейный участок длиной 4 м трубы, имеющей в сечении окружность, необходимо покрасить снаружи (торцы трубы открыты, их красить не нужно). Найдите площадь поверхности, которую необходимо…
- 1
Окрашивается только боковая поверхность трубы, поэтому её площадь равна произведению длины внешней окружности на длину участка.$$S = C \cdot h$$
- 2
Переведём длину трубы из метров в сантиметры.$$h = 4\ \text{м} = 400\ \text{см}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ рёбра $BC$, $BA$ и диагональ $BC_1$ боковой грани равны соответственно $5$, $7$ и $\sqrt{34}$. Найдите объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.
- 1
Рассмотрим прямоугольную боковую грань $BCC_1B_1$. По теореме Пифагора найдём её второе измерение:$$BB_1 = \sqrt{BC_1^2 - BC^2} = \sqrt{34 - 5^2} = \sqrt{9} = 3$$
- 2
Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений:$$V = BC \cdot BA \cdot BB_1 = 5 \cdot 7 \cdot 3 = 105$$
Даны две коробки, имеющие форму правильной четырёхугольной призмы, стоящей на основании. Первая коробка в полтора раза ниже второй, а вторая вдвое шире первой. Во сколько раз объём второй коробки…
- 1
Пусть сторона основания первой коробки равна $a$, а её высота — $h$. Тогда сторона основания второй коробки равна $2a$, а её высота — $1{,}5h$.$$V_1 = a^2h$$
- 2
Объём второй коробки равен:$$V_2 = (2a)^2 \cdot 1{,}5h = 4a^2 \cdot 1{,}5h$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 10 и 9, а объём параллелепипеда равен 450. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.
- 1
Обозначим третье ребро через $c$. По формуле объёма:$$c = \dfrac{450}{10 \cdot 9} = 5$$
- 2
Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна удвоенной сумме площадей трёх различных граней:$$S = 2(ab + bc + ac)$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Сторона основания правильной треугольной призмы $ABC A_1B_1C_1$ равна $3$, а высота этой призмы равна $4\sqrt{3}$. Найдите объём призмы $ABC A_1B_1C_1$.
- 1
Основанием призмы является равносторонний треугольник со стороной $3$.$$S_{\text{осн}} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{3^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{9\sqrt{3}}{4}$$
- 2
Объём призмы равен произведению площади основания на высоту.$$V = S_{\text{осн}}h = \dfrac{9\sqrt{3}}{4}\cdot 4\sqrt{3} = 27$$
В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания 90 см, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите объём…
- 1
При полном погружении деталь вытесняет объём жидкости, равный объёму детали.$$V_{\text{детали}} = V_{\text{вытесненной жидкости}}$$
- 2
Площадь квадратного основания бака равна:$$S_{\text{осн}} = 90^2 = 8100\ \text{см}^2$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{2}$ высоты. Объём сосуда равен 120 мл. Найдите объём налитой жидкости. Ответ дайте в миллилитрах.
- 1
Жидкость занимает часть сосуда в форме меньшего конуса, подобного исходному. Его высота и радиус основания в 2 раза меньше.$$k=\frac{1}{2}$$
- 2
Объём подобных тел изменяется пропорционально кубу коэффициента подобия.$$V_{\text{жидкости}}=120\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^3=15$$
В основании пирамиды $SABC$ лежит правильный треугольник $ABC$ со стороной 6, а боковое ребро $SA$ перпендикулярно основанию и равно $4\sqrt{3}$. Найдите объём пирамиды $SABC$.
- 1
Так как боковое ребро $SA$ перпендикулярно плоскости основания, оно является высотой пирамиды:$$h=SA=4\sqrt{3}$$
- 2
Основание — равносторонний треугольник со стороной 6. Его площадь равна:$$S_{\text{осн}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{6^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания 20 см, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите объём…
- 1
При полном погружении детали объём вытесненной жидкости равен объёму детали.$$V_{\text{детали}} = S_{\text{осн}} \cdot h$$
- 2
Основание бака — квадрат со стороной 20 см, поэтому его площадь равна:$$S_{\text{осн}} = 20 \cdot 20 = 400\ \text{см}^2$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В бак, имеющий форму цилиндра, налито 4 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке увеличился в 1,5 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная…
- 1
После погружения детали объём воды вместе с деталью стал в 1,5 раза больше начального объёма воды.$$V_{\text{итог}} = 1{,}5 \cdot 4 = 6\ \text{л}$$
- 2
Объём детали равен увеличению объёма содержимого бака.$$V_{\text{дет}} = 6 - 4 = 2\ \text{л}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{2}{3}$ высоты. Объём жидкости равен 60 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?
- 1
Жидкость образует конус, подобный сосуду. Отношение их высот равно $\dfrac{2}{3}$, поэтому отношение объёмов равно кубу этого отношения.$$\dfrac{V_{\text{жидк}}}{V_{\text{полн}}}=\left(\dfrac{2}{3}\right)^3=\dfrac{8}{27}$$
- 2
Найдём полный объём сосуда по известному объёму жидкости.$$V_{\text{полн}}=60\cdot\dfrac{27}{8}=202.5\ \text{мл}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В бак, имеющий форму цилиндра, налито 15 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке увеличился в 1,2 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная…
- 1
Найдём объём воды после погружения детали:$$V_2 = 15 \cdot 1{,}2 = 18\ \text{л}$$
- 2
Объём детали равен увеличению объёма воды:$$V_{\text{дет}} = 18 - 15 = 3\ \text{л}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания, равной 40 см, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите…
- 1
При полном погружении детали объём вытесненной жидкости равен объёму детали.$$V_{\text{детали}} = V_{\text{вытесненной жидкости}}$$
- 2
Площадь квадратного основания бака равна:$$S = 40^2 = 1600\ \text{см}^2$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{2}{5}$ высоты. Объём жидкости равен 80 мл. Найдите объём сосуда. Ответ дайте в миллилитрах.
- 1
Жидкость образует конус, подобный сосуду. Коэффициент подобия равен отношению высот:$$k=\frac{2}{5}$$
- 2
Объём подобных тел относится как куб коэффициента подобия:$$\frac{80}{V}=\left(\frac{2}{5}\right)^3=\frac{8}{125}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В основании пирамиды $SABC$ лежит правильный треугольник $ABC$ со стороной $6$, а боковое ребро $SA$ перпендикулярно основанию и равно $6\sqrt{3}$. Найдите объём пирамиды $SABC$.
- 1
Поскольку $SA$ перпендикулярно основанию, отрезок $SA$ является высотой пирамиды.$$h=SA=6\sqrt{3}$$
- 2
Основание — правильный треугольник со стороной $6$, поэтому его площадь равна:$$S_{\text{осн}}=\frac{6^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде